FMD/doc/fmd_signal_path.tex

   1 \documentclass[11pt]{article}
   2 \usepackage[margin=2cm,twoside]{geometry}
   3 \usepackage{amsmath}
   4 \usepackage{amstext}
   5 \usepackage{units}
   6 \usepackage{graphicx}
   7 \title{Calculation of signals in the FMD simulation and reconstruction}
   8 \author{Christian Holm Christensen}
   9 \date{\today}
  10 \def\MeV#1{\unit[#1]{MeV}}
  11 \def\N#1{\unit[#1]{N}}
  12 \def\Q#1{\unit[#1]{Q}}
  13 \def\ALTRO{{\scshape altro}}
  14 \def\RCU{{\scshape rcu}}
  15 \def\FMD{{\scshape fmd}}
  16 \def\VA{{\scshape va1}}
  17 \def\class#1{{\small\ttfamily #1}}
  18 \def\DeltaMip{\ensuremath{\bar{\Delta}_{mip}}}
  19 \begin{document}
  20 \maketitle
  21
  22 \section*{Introduction}
  23
  24 This is meant as a reminder of what kind of manipulations we do in the
  25 simulation and reconstruction of \FMD{} data.   Please refer to
  26 \tablename~\ref{tab:conventions} for conventions and constants used in
  27 this document.
  28
  29 \begin{table}[Htbp]
  30   \begingroup
  31   \centering
  32   \begin{tabular}{|l|c|r|p{.6\textwidth}|}
  33     \hline
  34     \textbf{Symbol} & \textbf{Unit} & \textbf{Value} & \textbf{Description}\\
  35     \hline
  36     $\delta_{ij}$  & \MeV{}    &  & Energy loss by particle $j$ in strip $i$\\
  37     $\Delta_i$     & \MeV{}    &  & Summed energy loss in strip $i$\\
  38     ${}_{mc}$      &           &  & Monte-Carlo mark\\
  39     $q_{mip}$      & \Q{}       & 29.67 & Number of $e^-$ charges for a MIP\\
  40     $\DeltaMip{}$ & \MeV{}    & 0.124 & Average energy deposition by a MIP\\
  41     $c_i$          & \N{}      &  $[0,10^2-1]$ & ADC counts in strip $i$\\
  42     $g_i$          & \N{}/\Q{} & $~2.2$ & Pulser calibrated gain for strip $i$\\
  43     $p_i$          & \N{}      & $~100$ & Pedestal value in strip $i$\\
  44     $n_i$          & \N{}      & $2-4$ & Noise value of strip $i$\\
  45     $f_{ol}$       &           & 4 & On--line noise suppression factor\\
  46     $f_{reco}$     &            & 4 & Reconstruction noise suppression
  47     factor\\
  48     $b$           &           &  6 & Shaping time parameter\\
  49     $\rho$        & \unit[g\,cm\textsuperscript{-3}] & 2.33 & Density of silicon\\
  50     $T$           & \unit[cm] & 0.032 & Thickness of sensors\\
  51     \hline
  52   \end{tabular}
  53   \endgroup
  54   \vspace{1ex}
  55   \par
  56   \noindent Here,
  57   \begin{align*}
  58     \DeltaMip{} &= \unit[1.664]{MeV cm^2 g^{-1}} \rho\,T\\
  59     &= \unit[1.664]{MeV cm^2 g^{-1}} \unit[2.33]{g\,cm^{-3}}
  60     \unit[0.032]{cm} \\
  61     &= \MeV{0.124}
  62   \end{align*}
  63   where $\rho=\unit[2.33]{g\,cm^{-3}}$ is the density of silicon, and
  64   $T=\unit[320]{\mu{}m}$ the thickness of the silicon sensor.
  65
  66   The factor $q_{mip}$ is given by the electronics of the front--end
  67   cards of the \FMD{} and was measured in the laboratory in August 2008.
  68   It is a digital--to--analogue setting corresponding to 1 MIP in the
  69   pulser injection circuit on the front--end electronics.
  70   \caption{Conventions used in this document, and constant values.}
  71   \label{tab:conventions}
  72 \end{table}
  73
  74
  75 \section*{Simulations}
  76
  77 In the hits (\class{AliFMDHit}) are generated per strip for each
  78 particle that impinges on a strip.  Stored in the hit are the energy
  79 loss $\delta_{i,mc}$ of the particle impinging as well as the path
  80 length $l_{i,mc}$ of the particle track through the strip.
  81
  82 When generating simulated detector signal (\class{AliFMDSDigit} or
  83 \class{AliFMDDigit}) the energy loss in all hits in a single strip is
  84 summed to a total energy loss in the strip.
  85 \begin{equation}
  86   \label{eq:sim:sum_eloss}
  87   \Delta_{i,mc} = \sum_j \delta_{ij,mc} \quad[\MeV{}]
  88 \end{equation}
  89
  90 The detector signal (ADC counts) is then calculated using the fixed
  91 gain of the \VA{} pre-amplifiers ($q_{mip}$), the average
  92 energy deposition of a MIP $\DeltaMip{}$, and the pulser calibrated
  93 gain of the strip $g_i$.   These numbers combine to a conversion
  94 factor $f_{i,mc}$ given by
  95
  96 \begin{equation}
  97   \label{eq:sim:conversion_factor}
  98   f_{i,mc} = \frac{q_{mip} g_i}{\DeltaMip{}} \quad [\N{} \MeV{}^{-1}]
  99 \end{equation}
 100
 101 This factor and the constant value $C_i$ is then used to calculate the
 102 number of ADC counts
 103
 104 \begin{equation}
 105   \label{eq:sim:adc_counts}
 106   c_i = \Delta_{i,mc} f_{i,mc} + C_i \quad[\N{}]
 107 \end{equation}
 108
 109 In case of multiple samples ($r$) of the same strip, each sample $j$ is
 110 given by
 111 \begin{equation}
 112   \label{eq:sim:sub_adc_counts}
 113   c_{ij,mc} = f_{i,mc} \left(\Delta_{i,mc} + (\Delta_{i-1,mc}-\Delta_i) e^{-b
 114       \frac{j}{r}}\right)+C_i \quad[\N{}]
 115 \end{equation}
 116 where $j$ runs from 1 to $r$ (the number of samples), and $b$ is a
 117 constant that depends on the shaping time of the \VA{}
 118 pre-amplifier (see also \figurename~\ref{fig:sim:va1_response}).
 119
 120 \begin{figure}[Htbp]
 121   \centering
 122   \includegraphics[keepaspectratio,width=.45\textwidth]{va1_response}
 123   \includegraphics[keepaspectratio,width=.45\textwidth]{va1_train}
 124   \caption{Left: Shaping function of \VA{}, right: the resulting train
 125     of signals from \eqref{eq:sim:sub_adc_counts}. Note, that the
 126     signal value used is just before the turn to the next value.}
 127   \label{fig:sim:va1_response}
 128 \end{figure}
 129
 130 Since the ADC has a limited range of 10bits ($=10^2-1=1024-1$) all
 131 signals are truncated at 1023.
 132
 133 For summable digits (\class{AliFMDSDigit}) $C_i=0$, but for
 134 fully simulated digits $c'_i$ (\class{AliFMDDigit}) it is given by
 135 the pedestal $p_i$ and noise $n_i$ of the strip
 136
 137 \begin{equation}
 138   \label{eq:sim:pedestal_value}
 139   C_i = \text{gaus}(p_i,n_i)\quad[\N{}]
 140 \end{equation}
 141 that is, a Gaussian distributed number with $\mu=p_i$ (pedestal) and
 142 $\sigma=n_i$ (noise).
 143
 144 \section*{Raw data}
 145
 146 The raw data, whether from simulation or the experiment, is stored in
 147 the \ALTRO{}/\RCU{} data format.  The \ALTRO{} has 10 bit (maximum
 148 count value of $\N{10^2-1}=\N{1023}$) ADC with up to 1024 consecutive
 149 samples of the input signal.  The 128 input strip signals of \VA{}
 150 chips, are multiplexed into a single \ALTRO{} channel in such a way
 151 that each strip signal is sampled 1, 2, or 4 times\footnote{Currently,
 152   the default is to sample 2 times.}.
 153
 154 The signal is then pedestal subtracted
 155 \begin{equation}
 156   \label{eq:sim:pedestal_subtraction}
 157   d_i = c_i - p_i + f_{ol} n_i\quad[\N{}]
 158 \end{equation}
 159 where $p_i$ and $n_i$ are the pedestal and noise value, evaluated
 160 on--line in special calibration runs, and $f_{ol}$ is a integer factor
 161 selected when configuring the detector\footnote{Typically $f_{ol}=4$.}
 162
 163 After pedestal subtraction, which ensures that strips not hit by a
 164 particle has a 0 signals, an zero--suppression filter is applied by
 165 the \ALTRO{}.  This filter throws away all 0s from the data and
 166 replaces them with markers that allows one to reconstruct the position
 167 of the remaining signals in the sample sequence.
 168
 169 The signals from each \ALTRO{} input channel is then packed into
 170 blocks and shipped to the \RCU{} and eventually the data acquisition
 171 system.
 172
 173 In simulations a similar filter is applied to the data to simulate the
 174 \ALTRO{} channels.  The total signal from the a strip
 175 \eqref{eq:sim:adc_counts} is then given by
 176 \begin{equation}
 177   \label{eq:raw:sim_digits}
 178   c_i = \Delta_{i,mc} f_{i,mc} + \text{gaus}(p_i,n_i) - p_i - f_{ol} n_i \quad[\N{}]
 179 \end{equation}
 180 and similar for $c_{ij}$ \eqref{eq:sim:sub_adc_counts}.
 181
 182 \section*{Reconstruction}
 183
 184 When reconstructing of either simulated data or data from the
 185 experiment, the first thing is to read in the raw data stored in the
 186 \ALTRO{}/\RCU{} data format\footnote{There is an option to reconstruct
 187   from the simulated \class{AliFMDDigit} objects directly, in which
 188   case this step is skipped entirely.}.  This is done by the
 189 \class{AliFMDRawReader} class.
 190
 191 Depending on whether or not the data was zero--suppressed, the
 192 \class{AliFMDRawReader} code will do a pedestal subtraction, or add in
 193 the noise previously subtracted in the \ALTRO{} (or simulation there
 194 of)
 195
 196 \begin{equation}
 197   \label{eq:reco:pedestal_subtraction}
 198   s'_i = c_i + C_i = c_i + \left\{
 199     \begin{array}{cl}
 200       - p_i & \text{not zero--suppressed}\\
 201       + f_{ol} n_i & \text{zero-suppressed}
 202     \end{array}\right.\quad[\N{}]
 203 \end{equation}
 204 where $f_{ol}$ is the noise factor applied by the \ALTRO{}\footnote{This
 205   factor is stored in the event header and read by the
 206   \class{AliFMDRawReader} --- thus ensuring consistency.}, and $p_i$
 207 and $n_i$ are the pedestal and noise value of the strip in question.
 208
 209 In the reconstruction it is possible (via a \class{AliFMDRecoParam}
 210 object) to specify a stronger noise suppression factor $f_{reco}$.  If
 211 the signal $s'_i$ is smaller than the noise $n_i$ times the greater of
 212 the two noise suppression factors, it is explicitly set to 0
 213 \begin{equation}
 214   \label{eq:reco:low_signal_cut}
 215   s_i = \left\{\begin{array}{cl}
 216     s'_i & s'_i > n_i \max{f_{ol},f_{reco}}\\
 217       0 & \text{otherwise}
 218     \end{array}\right.\quad[\N{}]
 219   \end{equation}
 220
 221 We now have a signal $s_i$ which is akin to $f_{i,mc}\Delta_{i,mc}$ of
 222 \eqref{eq:raw:sim_digits}.  We therefor calculate the energy loss in
 223 the $i^{\text{th}}$ strip using the factor
 224 \begin{equation}
 225   \label{eq:reco:conversion_factor}
 226   f_{i,reco} = \frac{\DeltaMip{}}{q_{mip} g_i} = f_{i,mc}^{-1}
 227   \quad[\N{}^{-1}\MeV{}]
 228 \end{equation}
 229 which is the inverse of \eqref{eq:sim:conversion_factor}, and the
 230 energy loss is then
 231 \begin{equation}
 232   \label{eq:reco:energy_loss}
 233   \Delta_{i,reco} = s_i f_{i,reco}\quad[\MeV{}]
 234 \end{equation}
 235
 236 \section*{From energy loss to ADC counts and back}
 237
 238 If we take \eqref{eq:sim:adc_counts} and \eqref{eq:reco:energy_loss}
 239 and assume
 240 \begin{itemize}
 241 \item that $s_i$ is not suppressed by \eqref{eq:reco:low_signal_cut}
 242 \item \eqref{eq:reco:pedestal_subtraction} removes the fluctuations
 243   put in \eqref{eq:sim:pedestal_value}
 244 \end{itemize}
 245 and put them together we get
 246 \begin{align}
 247   \label{eq:all:all}
 248   \Delta_{i,reco} &= s_i f_{i,reco}\nonumber\\
 249   &= (c_i + C_i) \frac{\DeltaMip{}}{q_{mip} g_i}\nonumber\\
 250   &= \Delta_{i,mc} f_{i,mc}  f_{i,mc}^{-1}\nonumber\\
 251   &= \Delta_{i,mc}
 252 \end{align}
 253
 254 \section*{Some calculations}
 255
 256 Assuming a typical energy loss of \unit[2.9]{MeV\,cm\textsuperscript{-1}} and
 257 applying \eqref{eq:sim:adc_counts} and
 258 \eqref{eq:sim:conversion_factor}, we get a signal value over pedestal of
 259 \begin{align}
 260   c_i &= \unit[2.9]{MeV\,cm^{-1}}\,T\, f_{i,mc}\nonumber\\
 261   &= \MeV{0.0928}\frac{\Q{29.67}\
 262     \unit[2.2]{N\,Q^{-1}}}{\MeV{0.124}}\nonumber\\
 263   &= \MeV{0.0928}\ \unit[526.40]{N MeV\textsuperscript{-1}}\nonumber\\
 264   &= \N{48.85}
 265 \end{align}
 266
 267 \end{document}