PYTHIA8/pythia8170/htmldoc/FourVectors.html

   1 <html>
   2 <head>
   3 <title>Four-Vectors</title>
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   6 </head>
   7 <body>
   8
   9 <h2>Four-Vectors</h2>
  10
  11 The <code>Vec4</code> class gives a simple implementation of four-vectors.
  12 The member function names are based on the assumption that these
  13 represent four-momentum vectors. Thus one can get or set
  14 <i>p_x, p_y, p_z</i> and <i>e</i>, but not <i>x, y, z</i>
  15 or <i>t</i>. This is only a matter of naming, however; a
  16 <code>Vec4</code> can equally well be used to store a space-time
  17 four-vector.
  18
  19 <p/>
  20 The <code>Particle</code> object contains a <code>Vec4 p</code> that
  21 stores the particle four-momentum, and another <code>Vec4 vProd</code>
  22 for the production vertex. For the latter the input/output method
  23 names are adapted to the space-time character rather than the normal
  24 energy-momentum one. Thus a user would not normally access the
  25 <code>Vec4</code> classes directly, but only via the methods of the
  26 <code>Particle</code> class,
  27 see <a href="ParticleProperties.html" target="page">Particle Properties</a>.
  28
  29 <p/>
  30 Nevertheless you are free to use the PYTHIA four-vectors, e.g. as
  31 part of some simple analysis code based directly on the PYTHIA output,
  32 say to define the four-vector sum of a set of particles. But note that
  33 this class was never set up to allow complete generality, only  to
  34 provide the operations that are of use inside PYTHIA. There is no
  35 separate class for three-vectors, since such can easily be represented
  36 by four-vectors where the fourth component is not used.
  37
  38 <p/>
  39 Four-vectors have the expected functionality: they can be created,
  40 copied, added, multiplied, rotated, boosted, and manipulated in other
  41 ways. Operator overloading is implemented where reasonable. Properties
  42 can be read out, not only the components themselves but also for derived
  43 quantities such as absolute momentum and direction angles.
  44
  45 <h3>Constructors and basic operators</h3>
  46
  47 A few methods are available to create or copy a four-vector:
  48
  49 <a name="method1"></a>
  50 <p/><strong>Vec4::Vec4() &nbsp;</strong> <br/>
  51 creates a four-vector with all components set to 0.
  52
  53
  54 <a name="method2"></a>
  55 <p/><strong>Vec4::Vec4(const Vec4& v) &nbsp;</strong> <br/>
  56 creates a four-vector copy of the input four-vector.
  57
  58
  59 <a name="method3"></a>
  60 <p/><strong>Vec4& Vec4::operator=(const Vec4& v) &nbsp;</strong> <br/>
  61 copies the input four-vector.
  62
  63
  64 <a name="method4"></a>
  65 <p/><strong>Vec4& Vec4::operator=(double value) &nbsp;</strong> <br/>
  66 gives a  four-vector with all components set to <i>value</i>.
  67
  68
  69 <h3>Member methods for input</h3>
  70
  71 The values stored in a four-vector can be modified in a few different
  72 ways:
  73
  74 <a name="method5"></a>
  75 <p/><strong>void Vec4::reset() &nbsp;</strong> <br/>
  76 sets all components to 0.
  77
  78
  79 <a name="method6"></a>
  80 <p/><strong>void Vec4::p(double pxIn, double pyIn, double pzIn, double eIn) &nbsp;</strong> <br/>
  81 sets all components to their input values.
  82
  83
  84 <a name="method7"></a>
  85 <p/><strong>void Vec4::p(Vec4 pIn) &nbsp;</strong> <br/>
  86 sets all components equal to those of the input four-vector.
  87
  88
  89 <a name="method8"></a>
  90 <p/><strong>void Vec4::px(double pxIn) &nbsp;</strong> <br/>
  91
  92 <strong>void Vec4::py(double pyIn) &nbsp;</strong> <br/>
  93
  94 <strong>void Vec4::pz(double pzIn) &nbsp;</strong> <br/>
  95
  96 <strong>void Vec4::e(double eIn) &nbsp;</strong> <br/>
  97 sets the respective component to the input value.
  98
  99
 100 <h3>Member methods for output</h3>
 101
 102 A number of methods provides output of basic or derived quantities:
 103
 104 <a name="method9"></a>
 105 <p/><strong>double Vec4::px() &nbsp;</strong> <br/>
 106
 107 <strong>double Vec4::py() &nbsp;</strong> <br/>
 108
 109 <strong>double Vec4::pz() &nbsp;</strong> <br/>
 110
 111 <strong>double Vec4::e() &nbsp;</strong> <br/>
 112 gets the respective component.
 113
 114
 115 <a name="method10"></a>
 116 <p/><strong>double Vec4::mCalc() &nbsp;</strong> <br/>
 117
 118 <strong>double Vec4::m2Calc() &nbsp;</strong> <br/>
 119 the (squared) mass, calculated from the four-vectors.
 120 If <i>m^2 &lt; 0</i> the mass is given with a minus sign,
 121 <i>-sqrt(-m^2)</i>.  Note the possible loss of precision
 122 in the calculation of <i>E^2 - p^2</i>; for particles the
 123 correct mass is stored separately to avoid such problems.
 124
 125
 126 <a name="method11"></a>
 127 <p/><strong>double Vec4::pT() &nbsp;</strong> <br/>
 128
 129 <strong>double Vec4::pT2() &nbsp;</strong> <br/>
 130 the (squared) transverse momentum.
 131
 132
 133 <a name="method12"></a>
 134 <p/><strong>double Vec4::pAbs() &nbsp;</strong> <br/>
 135
 136 <strong>double Vec4::pAbs2() &nbsp;</strong> <br/>
 137 the (squared) absolute momentum.
 138
 139
 140 <a name="method13"></a>
 141 <p/><strong>double Vec4::eT() &nbsp;</strong> <br/>
 142
 143 <strong>double Vec4::eT2() &nbsp;</strong> <br/>
 144 the (squared) transverse energy,
 145 <i>eT = e * sin(theta) = e * pT / pAbs</i>.
 146
 147
 148 <a name="method14"></a>
 149 <p/><strong>double Vec4::theta() &nbsp;</strong> <br/>
 150 the polar angle, in the range 0 through
 151 <i>pi</i>.
 152
 153
 154 <a name="method15"></a>
 155 <p/><strong>double Vec4::phi() &nbsp;</strong> <br/>
 156 the azimuthal angle, in the range <i>-pi</i> through <i>pi</i>.
 157
 158
 159 <a name="method16"></a>
 160 <p/><strong>double Vec4::thetaXZ() &nbsp;</strong> <br/>
 161 the angle in the <i>xz</i> plane, in the range <i>-pi</i> through
 162 <i>pi</i>, with 0 along the <i>+z</i> axis.
 163
 164
 165 <a name="method17"></a>
 166 <p/><strong>double Vec4::pPos() &nbsp;</strong> <br/>
 167
 168 <strong>double Vec4::pNeg() &nbsp;</strong> <br/>
 169 the combinations <i>E+-p_z</i>.
 170
 171 <h3>Friend methods for output</h3>
 172
 173 There are also some <code>friend</code> methods that take one, two
 174 or three four-vectors as argument. Several of them only use the
 175 three-vector part of the four-vector.
 176
 177 <a name="method18"></a>
 178 <p/><strong>friend ostream& operator&lt;&lt;(ostream&, const Vec4& v) &nbsp;</strong> <br/>
 179 writes out the values of the four components of a <code>Vec4</code> and,
 180 within brackets, a fifth component being the invariant length of the
 181 four-vector, as provided by <code>mCalc()</code> above, and it all
 182 ended with a newline.
 183
 184
 185 <a name="method19"></a>
 186 <p/><strong>friend double m(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 187
 188 <strong>friend double m2(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 189 the (squared) invariant mass.
 190
 191
 192 <a name="method20"></a>
 193 <p/><strong>friend double dot3(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 194 the three-product.
 195
 196
 197 <a name="method21"></a>
 198 <p/><strong>friend double cross3(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 199 the cross-product.
 200
 201
 202 <a name="method22"></a>
 203 <p/><strong>friend double theta(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 204
 205 <strong>friend double costheta(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 206 the (cosine) of the opening angle between the vectors,
 207 in the range 0 through <i>pi</i>.
 208
 209
 210 <a name="method23"></a>
 211 <p/><strong>friend double phi(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 212
 213 <strong>friend double cosphi(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 214 the (cosine) of the azimuthal angle between the vectors around the
 215 <i>z</i> axis, in the range 0 through <i>pi</i>.
 216
 217
 218 <a name="method24"></a>
 219 <p/><strong>friend double phi(const Vec4& v1, const Vec4& v2, const Vec4& v3) &nbsp;</strong> <br/>
 220
 221 <strong>friend double cosphi(const Vec4& v1, const Vec4& v2, const Vec4& v3) &nbsp;</strong> <br/>
 222 the (cosine) of the azimuthal angle between the first two vectors
 223 around the direction of the third, in the range 0 through <i>pi</i>.
 224
 225
 226 <h3>Operations with four-vectors</h3>
 227
 228 Of course one should be able to add, subtract and scale four-vectors,
 229 and more:
 230
 231 <a name="method25"></a>
 232 <p/><strong>Vec4 Vec4::operator-() &nbsp;</strong> <br/>
 233 return a vector with flipped sign for all components, while leaving
 234 the original vector unchanged.
 235
 236
 237 <a name="method26"></a>
 238 <p/><strong>Vec4& Vec4::operator+=(const Vec4& v) &nbsp;</strong> <br/>
 239 add a four-vector to an existing one.
 240
 241
 242 <a name="method27"></a>
 243 <p/><strong>Vec4& Vec4::operator-=(const Vec4& v) &nbsp;</strong> <br/>
 244 subtract a four-vector from an existing one.
 245
 246
 247 <a name="method28"></a>
 248 <p/><strong>Vec4& Vec4::operator*=(double f) &nbsp;</strong> <br/>
 249 multiply all four-vector components by a real number.
 250
 251
 252 <a name="method29"></a>
 253 <p/><strong>Vec4& Vec4::operator/=(double f) &nbsp;</strong> <br/>
 254 divide all four-vector components by a real number.
 255
 256
 257 <a name="method30"></a>
 258 <p/><strong>friend Vec4 operator+(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 259 add two four-vectors.
 260
 261
 262 <a name="method31"></a>
 263 <p/><strong>friend Vec4 operator-(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 264 subtract two four-vectors.
 265
 266
 267 <a name="method32"></a>
 268 <p/><strong>friend Vec4 operator*(double f, const Vec4& v) &nbsp;</strong> <br/>
 269
 270 <strong>friend Vec4 operator*(const Vec4& v, double f) &nbsp;</strong> <br/>
 271 multiply a four-vector by a real number.
 272
 273
 274 <a name="method33"></a>
 275 <p/><strong>friend Vec4 operator/(const Vec4& v, double f) &nbsp;</strong> <br/>
 276 divide a four-vector by a real number.
 277
 278
 279 <a name="method34"></a>
 280 <p/><strong>friend double operator*(const Vec4& v1, const Vec4 v2) &nbsp;</strong> <br/>
 281 four-vector product.
 282
 283
 284 <p/>
 285 There are also a few related operations that are normal member methods:
 286
 287 <a name="method35"></a>
 288 <p/><strong>void Vec4::rescale3(double f) &nbsp;</strong> <br/>
 289 multiply the three-vector components by <i>f</i>, but keep the
 290 fourth component unchanged.
 291
 292
 293 <a name="method36"></a>
 294 <p/><strong>void Vec4::rescale4(double f) &nbsp;</strong> <br/>
 295 multiply all four-vector components by <i>f</i>.
 296
 297
 298 <a name="method37"></a>
 299 <p/><strong>void Vec4::flip3() &nbsp;</strong> <br/>
 300 flip the sign of the three-vector components, but keep the
 301 fourth component unchanged.
 302
 303
 304 <a name="method38"></a>
 305 <p/><strong>void Vec4::flip4() &nbsp;</strong> <br/>
 306 flip the sign of all four-vector components.
 307
 308
 309 <h3>Rotations and boosts</h3>
 310
 311 A common task is to rotate or boost four-vectors. In case only one
 312 four-vector is affected the operation may be performed directly on it.
 313 However, in case many particles are affected, the helper class
 314 <code>RotBstMatrix</code> can be used to speed up operations.
 315
 316 <a name="method39"></a>
 317 <p/><strong>void Vec4::rot(double theta, double phi) &nbsp;</strong> <br/>
 318 rotate the three-momentum with the polar angle <i>theta</i>
 319 and the azimuthal angle <i>phi</i>.
 320
 321
 322 <a name="method40"></a>
 323 <p/><strong>void Vec4::rotaxis(double phi, double nx, double ny, double nz) &nbsp;</strong> <br/>
 324 rotate the three-momentum with the azimuthal angle <i>phi</i>
 325 around the direction defined by the <i>(n_x, n_y, n_z)</i>
 326 three-vector.
 327
 328
 329 <a name="method41"></a>
 330 <p/><strong>void Vec4::rotaxis(double phi, Vec4& n) &nbsp;</strong> <br/>
 331 rotate the three-momentum with the azimuthal angle <i>phi</i>
 332 around the direction defined by the three-vector part of <i>n</i>.
 333
 334
 335 <a name="method42"></a>
 336 <p/><strong>void Vec4::bst(double betaX, double betaY, double betaZ) &nbsp;</strong> <br/>
 337 boost the four-momentum by <i>beta = (beta_x, beta_y, beta_z)</i>.
 338
 339
 340 <a name="method43"></a>
 341 <p/><strong>void Vec4::bst(double betaX, double betaY, double betaZ,double gamma) &nbsp;</strong> <br/>
 342 boost the four-momentum by <i>beta = (beta_x, beta_y, beta_z)</i>,
 343 where the <i>gamma = 1/sqrt(1 - beta^2)</i> is also input to allow
 344 better precision when <i>beta</i> is close to unity.
 345
 346
 347 <a name="method44"></a>
 348 <p/><strong>void Vec4::bst(const Vec4& p) &nbsp;</strong> <br/>
 349 boost the four-momentum by <i>beta = (p_x/E, p_y/E, p_z/E)</i>.
 350
 351
 352 <a name="method45"></a>
 353 <p/><strong>void Vec4::bst(const Vec4& p, double m) &nbsp;</strong> <br/>
 354 boost the four-momentum by <i>beta = (p_x/E, p_y/E, p_z/E)</i>,
 355 where the <i>gamma = E/m</i> is also calculated from input to allow
 356 better precision when <i>beta</i> is close to unity.
 357
 358
 359 <a name="method46"></a>
 360 <p/><strong>void Vec4::bstback(const Vec4& p) &nbsp;</strong> <br/>
 361 boost the four-momentum by <i>beta = (-p_x/E, -p_y/E, -p_z/E)</i>.
 362
 363
 364 <a name="method47"></a>
 365 <p/><strong>void Vec4::bstback(const Vec4& p, double m) &nbsp;</strong> <br/>
 366 boost the four-momentum by <i>beta = (-p_x/E, -p_y/E, -p_z/E)</i>,
 367 where the <i>gamma = E/m</i> is also calculated from input to allow
 368 better precision when <i>beta</i> is close to unity.
 369
 370
 371 <a name="method48"></a>
 372 <p/><strong>void Vec4::rotbst(const RotBstMatrix& M) &nbsp;</strong> <br/>
 373 perform a combined rotation and boost; see below for a description
 374 of the <code>RotBstMatrix</code>.
 375
 376
 377 <p/>
 378 For a longer sequence of rotations and boosts, and where several
 379 <code>Vec4</code> are to be rotated and boosted in the same way,
 380 a more efficient approach is to define a <code>RotBstMatrix</code>,
 381 which forms a separate auxiliary class. You can build up this
 382 4-by-4 matrix by successive calls to the methods of the class,
 383 such that the matrix encodes the full sequence of operations.
 384 The order in which you do these calls must agree with the imagined
 385 order in which the rotations/boosts should be applied to a
 386 four-momentum, since in general the operations do not commute.
 387
 388 <a name="method49"></a>
 389 <p/><strong>RotBstMatrix::RotBstMatrix() &nbsp;</strong> <br/>
 390 creates a diagonal unit matrix, i.e. one that leaves a four-vector
 391 unchanged.
 392
 393
 394 <a name="method50"></a>
 395 <p/><strong>RotBstMatrix::RotBstMatrix(const RotBstMatrix& Min) &nbsp;</strong> <br/>
 396 creates a copy of the input matrix.
 397
 398
 399 <a name="method51"></a>
 400 <p/><strong>RotBstMatrix& RotBstMatrix::operator=(const RotBstMatrix4& Min) &nbsp;</strong> <br/>
 401 copies the input matrix.
 402
 403
 404 <a name="method52"></a>
 405 <p/><strong>void RotBstMatrix::rot(double theta = 0., double phi = 0.) &nbsp;</strong> <br/>
 406 rotate by this polar and azimuthal angle.
 407
 408
 409 <a name="method53"></a>
 410 <p/><strong>void RotBstMatrix::rot(const Vec4& p) &nbsp;</strong> <br/>
 411 rotate so that a vector originally along the <i>+z</i> axis becomes
 412 parallel with <i>p</i>. More specifically, rotate by <i>-phi</i>,
 413 <i>theta</i> and <i>phi</i>, with angles defined by <i>p</i>.
 414
 415
 416 <a name="method54"></a>
 417 <p/><strong>void RotBstMatrix::bst(double betaX = 0., double betaY = 0., double betaZ = 0.) &nbsp;</strong> <br/>
 418 boost by this <i>beta</i> vector.
 419
 420
 421 <a name="method55"></a>
 422 <p/><strong>void RotBstMatrix::bst(const Vec4&) &nbsp;</strong> <br/>
 423
 424 <strong>void RotBstMatrix::bstback(const Vec4&) &nbsp;</strong> <br/>
 425 boost with a <i>beta = p/E</i> or <i>beta = -p/E</i>, respectively.
 426
 427
 428 <a name="method56"></a>
 429 <p/><strong>void RotBstMatrix::bst(const Vec4& p1, const Vec4& p2) &nbsp;</strong> <br/>
 430 boost so that <i>p_1</i> is transformed to <i>p_2</i>. It is assumed
 431 that the two vectors obey <i>p_1^2 = p_2^2</i>.
 432
 433
 434 <a name="method57"></a>
 435 <p/><strong>void RotBstMatrix::toCMframe(const Vec4& p1, const Vec4& p2) &nbsp;</strong> <br/>
 436 boost and rotate to the rest frame of <i>p_1</i> and <i>p_2</i>,
 437 with <i>p_1</i> along the <i>+z</i> axis.
 438
 439
 440 <a name="method58"></a>
 441 <p/><strong>void RotBstMatrix::fromCMframe(const Vec4& p1, const Vec4& p2) &nbsp;</strong> <br/>
 442 rotate and boost from the rest frame of <i>p_1</i> and <i>p_2</i>,
 443 with <i>p_1</i> along the <i>+z</i> axis, to the actual frame of
 444 <i>p_1</i> and <i>p_2</i>, i.e. the inverse of the above.
 445
 446
 447 <a name="method59"></a>
 448 <p/><strong>void RotBstMatrix::rotbst(const RotBstMatrix& Min); &nbsp;</strong> <br/>
 449 combine the current matrix with another one.
 450
 451
 452 <a name="method60"></a>
 453 <p/><strong>void RotBstMatrix::invert() &nbsp;</strong> <br/>
 454 invert the matrix, which corresponds to an opposite sequence and sign
 455 of rotations and boosts.
 456
 457
 458 <a name="method61"></a>
 459 <p/><strong>void RotBstMatrix::reset() &nbsp;</strong> <br/>
 460 reset to no rotation/boost; i.e. the default at creation.
 461
 462
 463 <a name="method62"></a>
 464 <p/><strong>double RotBstMatrix::deviation() &nbsp;</strong> <br/>
 465 crude estimate how much a matrix deviates from the unit matrix:
 466 the sum of the absolute values of all non-diagonal matrix elements
 467 plus the sum of the absolute deviation of the diagonal matrix
 468 elements from unity.
 469
 470
 471 <a name="method63"></a>
 472 <p/><strong>friend ostream& operator&lt;&lt;(ostream&, const RotBstMatrix& M) &nbsp;</strong> <br/>
 473 writes out the values of the sixteen components of a
 474 <code>RotBstMatrix</code>, on four consecutive lines and
 475 ended with a newline.
 476
 477
 478 </body>
 479 </html>
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