RALICE/AliMath.cxx

   1 /**************************************************************************
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   3  *                                                                        *
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   8  * documentation strictly for non-commercial purposes is hereby granted   *
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  13  * provided "as is" without express or implied warranty.                  *
  14  **************************************************************************/
  15
  16 // $Id$
  17
  18 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  19 // Class AliMath
  20 // Various mathematical tools which may be very convenient while
  21 // performing physics analysis.
  22 //
  23 // Example : Probability of a Chi-squared value
  24 // =========
  25 //
  26 // AliMath M;
  27 // Float_t chi2=20;            // The chi-squared value
  28 // Int_t ndf=12;               // The number of degrees of freedom
  29 // Float_t p=M.Prob(chi2,ndf); // The probability that at least a Chi-squared
  30 //                             // value of chi2 will be observed, even for a
  31 //                             // correct model
  32 //
  33 //--- Author: Nick van Eijndhoven 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
  34 //- Modified: NvE $Date$ UU-SAP Utrecht
  35 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  36
  37 #include "AliMath.h"
  38
  39 ClassImp(AliMath) // Class implementation to enable ROOT I/O
  40
  41 AliMath::AliMath()
  42 {
  43 // Default constructor
  44 }
  45 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  46 AliMath::~AliMath()
  47 {
  48 // Destructor
  49 }
  50 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  51 Double_t AliMath::Gamma(Double_t z)
  52 {
  53 // Computation of gamma(z) for all z>0.
  54 //
  55 // The algorithm is based on the article by C.Lanczos [1] as denoted in
  56 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 207 (W.H.Press et al.).
  57 //
  58 // [1] C.Lanczos, SIAM Journal of Numerical Analysis B1 (1964), 86.
  59 //
  60 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
  61
  62  if (z<=0.)
  63  {
  64   cout << "*Gamma(z)* Wrong argument z = " << z << endl;
  65   return 0;
  66  }
  67
  68  Double_t v=LnGamma(z);
  69  return exp(v);
  70 }
  71 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  72 Double_t AliMath::Gamma(Double_t a,Double_t x)
  73 {
  74 // Computation of the incomplete gamma function P(a,x)
  75 //
  76 // The algorithm is based on the formulas and code as denoted in
  77 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 210-212 (W.H.Press et al.).
  78 //
  79 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
  80
  81  if (a<=0.)
  82  {
  83   cout << "*Gamma(a,x)* Invalid argument a = " << a << endl;
  84   return 0;
  85  }
  86
  87  if (x<=0.)
  88  {
  89   if (x<0) cout << "*Gamma(a,x)* Invalid argument x = " << x << endl;
  90   return 0;
  91  }
  92
  93  if (x<(a+1.))
  94  {
  95   return GamSer(a,x);
  96  }
  97  else
  98  {
  99   return GamCf(a,x);
 100  }
 101 }
 102 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 103 Double_t AliMath::LnGamma(Double_t z)
 104 {
 105 // Computation of ln[gamma(z)] for all z>0.
 106 //
 107 // The algorithm is based on the article by C.Lanczos [1] as denoted in
 108 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 207 (W.H.Press et al.).
 109 //
 110 // [1] C.Lanczos, SIAM Journal of Numerical Analysis B1 (1964), 86.
 111 //
 112 // The accuracy of the result is better than 2e-10.
 113 //
 114 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 115
 116  if (z<=0.)
 117  {
 118   cout << "*LnGamma(z)* Wrong argument z = " << z << endl;
 119   return 0;
 120  }
 121
 122  // Coefficients for the series expansion
 123  Double_t c[7];
 124  c[0]=  2.5066282746310005;
 125  c[1]= 76.18009172947146;
 126  c[2]=-86.50532032941677;
 127  c[3]= 24.01409824083091;
 128  c[4]= -1.231739572450155;
 129  c[5]=  0.1208650973866179e-2;
 130  c[6]= -0.5395239384953e-5;
 131
 132  Double_t x=z;
 133  Double_t y=x;
 134  Double_t tmp=x+5.5;
 135  tmp=(x+0.5)*log(tmp)-tmp;
 136  Double_t ser=1.000000000190015;
 137  for (Int_t i=1; i<7; i++)
 138  {
 139   y+=1.;
 140   ser+=c[i]/y;
 141  }
 142  Double_t v=tmp+log(c[0]*ser/x);
 143  return v;
 144 }
 145 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 146 Double_t AliMath::GamSer(Double_t a,Double_t x)
 147 {
 148 // Computation of the incomplete gamma function P(a,x)
 149 // via its series representation.
 150 //
 151 // The algorithm is based on the formulas and code as denoted in
 152 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 210-212 (W.H.Press et al.).
 153 //
 154 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 155
 156  Int_t itmax=100;   // Maximum number of iterations
 157  Double_t eps=3.e-7; // Relative accuracy
 158
 159  if (a<=0.)
 160  {
 161   cout << "*GamSer(a,x)* Invalid argument a = " << a << endl;
 162   return 0;
 163  }
 164
 165  if (x<=0.)
 166  {
 167   if (x<0) cout << "*GamSer(a,x)* Invalid argument x = " << x << endl;
 168   return 0;
 169  }
 170
 171  Double_t gln=LnGamma(a);
 172  Double_t ap=a;
 173  Double_t sum=1./a;
 174  Double_t del=sum;
 175  for (Int_t n=1; n<=itmax; n++)
 176  {
 177   ap+=1.;
 178   del=del*x/ap;
 179   sum+=del;
 180   if (fabs(del)<fabs(sum*eps)) break;
 181   if (n==itmax) cout << "*GamSer(a,x)* a too large or itmax too small" << endl;
 182  }
 183  Double_t v=sum*exp(-x+a*log(x)-gln);
 184  return v;
 185 }
 186 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 187 Double_t AliMath::GamCf(Double_t a,Double_t x)
 188 {
 189 // Computation of the incomplete gamma function P(a,x)
 190 // via its continued fraction representation.
 191 //
 192 // The algorithm is based on the formulas and code as denoted in
 193 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 210-212 (W.H.Press et al.).
 194 //
 195 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 196
 197  Int_t itmax=100;      // Maximum number of iterations
 198  Double_t eps=3.e-7;    // Relative accuracy
 199  Double_t fpmin=1.e-30; // Smallest Double_t value allowed here
 200
 201  if (a<=0.)
 202  {
 203   cout << "*GamCf(a,x)* Invalid argument a = " << a << endl;
 204   return 0;
 205  }
 206
 207  if (x<=0.)
 208  {
 209   if (x<0) cout << "*GamCf(a,x)* Invalid argument x = " << x << endl;
 210   return 0;
 211  }
 212
 213  Double_t gln=LnGamma(a);
 214  Double_t b=x+1.-a;
 215  Double_t c=1./fpmin;
 216  Double_t d=1./b;
 217  Double_t h=d;
 218  Double_t an,del;
 219  for (Int_t i=1; i<=itmax; i++)
 220  {
 221   an=double(-i)*(double(i)-a);
 222   b+=2.;
 223   d=an*d+b;
 224   if (fabs(d)<fpmin) d=fpmin;
 225   c=b+an/c;
 226   if (fabs(c)<fpmin) c=fpmin;
 227   d=1./d;
 228   del=d*c;
 229   h=h*del;
 230   if (fabs(del-1.)<eps) break;
 231   if (i==itmax) cout << "*GamCf(a,x)* a too large or itmax too small" << endl;
 232  }
 233  Double_t v=exp(-x+a*log(x)-gln)*h;
 234  return (1.-v);
 235 }
 236 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 237 Double_t AliMath::Erf(Double_t x)
 238 {
 239 // Computation of the error function erf(x).
 240 //
 241 //--- NvE 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 242
 243  return (1.-Erfc(x));
 244 }
 245 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 246 Double_t AliMath::Erfc(Double_t x)
 247 {
 248 // Computation of the complementary error function erfc(x).
 249 //
 250 // The algorithm is based on a Chebyshev fit as denoted in
 251 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 214 (W.H.Press et al.).
 252 //
 253 // The fractional error is always less than 1.2e-7.
 254 //
 255 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 256
 257  // The parameters of the Chebyshev fit
 258  const Double_t a1=-1.26551223,  a2=1.00002368,
 259                 a3= 0.37409196,  a4=0.09678418,
 260                 a5=-0.18628806,  a6=0.27886807,
 261                 a7=-1.13520398,  a8=1.48851587,
 262                 a9=-0.82215223, a10=0.17087277;
 263
 264  Double_t v=1.; // The return value
 265
 266  Double_t z=fabs(x);
 267
 268  if (z <= 0.) return v; // erfc(0)=1
 269
 270  Double_t t=1./(1.+0.5*z);
 271
 272  v=t*exp((-z*z)
 273          +a1+t*(a2+t*(a3+t*(a4+t*(a5+t*(a6+t*(a7+t*(a8+t*(a9+t*a10)))))))));
 274
 275  if (x < 0.) v=2.-v; // erfc(-x)=2-erfc(x)
 276
 277  return v;
 278 }
 279 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 280 Double_t AliMath::Prob(Double_t chi2,Int_t ndf)
 281 {
 282 // Computation of the probability for a certain Chi-squared (chi2)
 283 // and number of degrees of freedom (ndf).
 284 //
 285 // Calculations are based on the incomplete gamma function P(a,x),
 286 // where a=ndf/2 and x=chi2/2.
 287 //
 288 // P(a,x) represents the probability that the observed Chi-squared
 289 // for a correct model should be less than the value chi2.
 290 //
 291 // The returned probability corresponds to 1-P(a,x),
 292 // which denotes the probability that an observed Chi-squared exceeds
 293 // the value chi2 by chance, even for a correct model.
 294 //
 295 //--- NvE 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 296
 297  if (ndf <= 0) return 0; // Set CL to zero in case ndf<=0
 298
 299  if (chi2 <= 0.)
 300  {
 301   if (chi2 < 0.)
 302   {
 303     return 0;
 304   }
 305   else
 306   {
 307    return 1;
 308   }
 309  }
 310
 311 // Alternative which is exact
 312 // This code may be activated in case the gamma function gives problems
 313 // if (ndf==1)
 314 // {
 315 //  Double_t v=1.-Erf(sqrt(chi2)/sqrt(2.));
 316 //  return v;
 317 // }
 318
 319 // Gaussian approximation for large ndf
 320 // This code may be activated in case the gamma function shows a problem
 321 // Double_t q=sqrt(2.*chi2)-sqrt(double(2*ndf-1));
 322 // if (n>30 && q>0.)
 323 // {
 324 //  Double_t v=0.5*(1.-Erf(q/sqrt(2.)));
 325 //  return v;
 326 // }
 327
 328  // Evaluate the incomplete gamma function
 329  Double_t a=double(ndf)/2.;
 330  Double_t x=chi2/2.;
 331  return (1.-Gamma(a,x));
 332 }
 333 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 334 Double_t AliMath::BesselI0(Double_t x)
 335 {
 336 // Computation of the modified Bessel function I_0(x) for any real x.
 337 //
 338 // The algorithm is based on the article by Abramowitz and Stegun [1]
 339 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 230 (W.H.Press et al.).
 340 //
 341 // [1] M.Abramowitz and I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions,
 342 //     Applied Mathematics Series vol. 55 (1964), Washington.
 343 //
 344 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 345
 346  // Parameters of the polynomial approximation
 347  const Double_t p1=1.0,          p2=3.5156229,    p3=3.0899424,
 348                 p4=1.2067492,    p5=0.2659732,    p6=3.60768e-2,  p7=4.5813e-3;
 349
 350  const Double_t q1= 0.39894228,  q2= 1.328592e-2, q3= 2.25319e-3,
 351                 q4=-1.57565e-3,  q5= 9.16281e-3,  q6=-2.057706e-2,
 352                 q7= 2.635537e-2, q8=-1.647633e-2, q9= 3.92377e-3;
 353
 354  Double_t ax=fabs(x);
 355
 356  Double_t y=0,result=0;
 357
 358  if (ax < 3.75)
 359  {
 360   y=pow(x/3.75,2);
 361   result=p1+y*(p2+y*(p3+y*(p4+y*(p5+y*(p6+y*p7)))));
 362  }
 363  else
 364  {
 365   y=3.75/ax;
 366   result=(exp(ax)/sqrt(ax))*(q1+y*(q2+y*(q3+y*(q4+y*(q5+y*(q6+y*(q7+y*(q8+y*q9))))))));
 367  }
 368
 369  return result;
 370 }
 371 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 372 Double_t AliMath::BesselK0(Double_t x)
 373 {
 374 // Computation of the modified Bessel function K_0(x) for positive real x.
 375 //
 376 // The algorithm is based on the article by Abramowitz and Stegun [1]
 377 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 230 (W.H.Press et al.).
 378 //
 379 // [1] M.Abramowitz and I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions,
 380 //     Applied Mathematics Series vol. 55 (1964), Washington.
 381 //
 382 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 383
 384  // Parameters of the polynomial approximation
 385  const Double_t p1=-0.57721566,  p2=0.42278420,   p3=0.23069756,
 386                 p4= 3.488590e-2, p5=2.62698e-3,   p6=1.0750e-4,    p7=7.4e-5;
 387
 388  const Double_t q1= 1.25331414,  q2=-7.832358e-2, q3= 2.189568e-2,
 389                 q4=-1.062446e-2, q5= 5.87872e-3,  q6=-2.51540e-3,  q7=5.3208e-4;
 390
 391  if (x <= 0)
 392  {
 393   cout << " *BesselK0* Invalid argument x = " << x << endl;
 394   return 0;
 395  }
 396
 397  Double_t y=0,result=0;
 398
 399  if (x <= 2)
 400  {
 401   y=x*x/4.;
 402   result=(-log(x/2.)*BesselI0(x))+(p1+y*(p2+y*(p3+y*(p4+y*(p5+y*(p6+y*p7))))));
 403  }
 404  else
 405  {
 406   y=2./x;
 407   result=(exp(-x)/sqrt(x))*(q1+y*(q2+y*(q3+y*(q4+y*(q5+y*(q6+y*q7))))));
 408  }
 409
 410  return result;
 411 }
 412 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 413 Double_t AliMath::BesselI1(Double_t x)
 414 {
 415 // Computation of the modified Bessel function I_1(x) for any real x.
 416 //
 417 // The algorithm is based on the article by Abramowitz and Stegun [1]
 418 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 230 (W.H.Press et al.).
 419 //
 420 // [1] M.Abramowitz and I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions,
 421 //     Applied Mathematics Series vol. 55 (1964), Washington.
 422 //
 423 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 424
 425  // Parameters of the polynomial approximation
 426  const Double_t p1=0.5,          p2=0.87890594,   p3=0.51498869,
 427                 p4=0.15084934,   p5=2.658733e-2,  p6=3.01532e-3,  p7=3.2411e-4;
 428
 429  const Double_t q1= 0.39894228,  q2=-3.988024e-2, q3=-3.62018e-3,
 430                 q4= 1.63801e-3,  q5=-1.031555e-2, q6= 2.282967e-2,
 431                 q7=-2.895312e-2, q8= 1.787654e-2, q9=-4.20059e-3;
 432
 433  Double_t ax=fabs(x);
 434
 435  Double_t y=0,result=0;
 436
 437  if (ax < 3.75)
 438  {
 439   y=pow(x/3.75,2);
 440   result=x*(p1+y*(p2+y*(p3+y*(p4+y*(p5+y*(p6+y*p7))))));
 441  }
 442  else
 443  {
 444   y=3.75/ax;
 445   result=(exp(ax)/sqrt(ax))*(q1+y*(q2+y*(q3+y*(q4+y*(q5+y*(q6+y*(q7+y*(q8+y*q9))))))));
 446   if (x < 0) result=-result;
 447  }
 448
 449  return result;
 450 }
 451 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 452 Double_t AliMath::BesselK1(Double_t x)
 453 {
 454 // Computation of the modified Bessel function K_1(x) for positive real x.
 455 //
 456 // The algorithm is based on the article by Abramowitz and Stegun [1]
 457 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 230 (W.H.Press et al.).
 458 //
 459 // [1] M.Abramowitz and I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions,
 460 //     Applied Mathematics Series vol. 55 (1964), Washington.
 461 //
 462 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 463
 464  // Parameters of the polynomial approximation
 465  const Double_t p1= 1.,          p2= 0.15443144,  p3=-0.67278579,
 466                 p4=-0.18156897,  p5=-1.919402e-2, p6=-1.10404e-3,  p7=-4.686e-5;
 467
 468  const Double_t q1= 1.25331414,  q2= 0.23498619,  q3=-3.655620e-2,
 469                 q4= 1.504268e-2, q5=-7.80353e-3,  q6= 3.25614e-3,  q7=-6.8245e-4;
 470
 471  if (x <= 0)
 472  {
 473   cout << " *BesselK1* Invalid argument x = " << x << endl;
 474   return 0;
 475  }
 476
 477  Double_t y=0,result=0;
 478
 479  if (x <= 2)
 480  {
 481   y=x*x/4.;
 482   result=(log(x/2.)*BesselI1(x))+(1./x)*(p1+y*(p2+y*(p3+y*(p4+y*(p5+y*(p6+y*p7))))));
 483  }
 484  else
 485  {
 486   y=2./x;
 487   result=(exp(-x)/sqrt(x))*(q1+y*(q2+y*(q3+y*(q4+y*(q5+y*(q6+y*q7))))));
 488  }
 489
 490  return result;
 491 }
 492 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 493 Double_t AliMath::BesselK(Int_t n,Double_t x)
 494 {
 495 // Computation of the Integer Order Modified Bessel function K_n(x)
 496 // for n=0,1,2,... and positive real x.
 497 //
 498 // The algorithm uses the recurrence relation
 499 //
 500 //               K_n+1(x) = (2n/x)*K_n(x) + K_n-1(x)
 501 //
 502 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 232 (W.H.Press et al.).
 503 //
 504 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 505
 506  if (x <= 0 || n < 0)
 507  {
 508   cout << " *BesselK* Invalid argument(s) (n,x) = (" << n << " , " << x << ")" << endl;
 509   return 0;
 510  }
 511
 512  if (n==0) return BesselK0(x);
 513
 514  if (n==1) return BesselK1(x);
 515
 516  // Perform upward recurrence for all x
 517  Double_t tox=2./x;
 518  Double_t bkm=BesselK0(x);
 519  Double_t bk=BesselK1(x);
 520  Double_t bkp=0;
 521  for (Int_t j=1; j<n; j++)
 522  {
 523   bkp=bkm+double(j)*tox*bk;
 524   bkm=bk;
 525   bk=bkp;
 526  }
 527
 528  return bk;
 529 }
 530 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 531 Double_t AliMath::BesselI(Int_t n,Double_t x)
 532 {
 533 // Computation of the Integer Order Modified Bessel function I_n(x)
 534 // for n=0,1,2,... and any real x.
 535 //
 536 // The algorithm uses the recurrence relation
 537 //
 538 //               I_n+1(x) = (-2n/x)*I_n(x) + I_n-1(x)
 539 //
 540 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 232 (W.H.Press et al.).
 541 //
 542 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 543
 544  Int_t iacc=40; // Increase to enhance accuracy
 545  Double_t bigno=1.e10, bigni=1.e-10;
 546
 547  if (n < 0)
 548  {
 549   cout << " *BesselI* Invalid argument (n,x) = (" << n << " , " << x << ")" << endl;
 550   return 0;
 551  }
 552
 553  if (n==0) return BesselI0(x);
 554
 555  if (n==1) return BesselI1(x);
 556
 557  if (fabs(x) < 1.e-10) return 0;
 558
 559  Double_t tox=2./fabs(x);
 560  Double_t bip=0,bim=0;
 561  Double_t bi=1;
 562  Double_t result=0;
 563  Int_t m=2*((n+int(sqrt(float(iacc*n))))); // Downward recurrence from even m
 564  for (Int_t j=m; j<=1; j--)
 565  {
 566   bim=bip+double(j)*tox*bi;
 567   bip=bi;
 568   bi=bim;
 569   if (fabs(bi) > bigno) // Renormalise to prevent overflows
 570   {
 571    result*=bigni;
 572    bi*=bigni;
 573    bip*=bigni;
 574   }
 575   if (j==n) result=bip;
 576  }
 577
 578  result*=BesselI0(x)/bi; // Normalise with I0(x)
 579  if ((x < 0) && (n%2 == 1)) result=-result;
 580
 581  return result;
 582 }
 583 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////