RALICE/AliMath.cxx

   1 /**************************************************************************
   2  * Copyright(c) 1998-1999, ALICE Experiment at CERN, All rights reserved. *
   3  *                                                                        *
   4  * Author: The ALICE Off-line Project.                                    *
   5  * Contributors are mentioned in the code where appropriate.              *
   6  *                                                                        *
   7  * Permission to use, copy, modify and distribute this software and its   *
   8  * documentation strictly for non-commercial purposes is hereby granted   *
   9  * without fee, provided that the above copyright notice appears in all   *
  10  * copies and that both the copyright notice and this permission notice   *
  11  * appear in the supporting documentation. The authors make no claims     *
  12  * about the suitability of this software for any purpose. It is          *
  13  * provided "as is" without express or implied warranty.                  *
  14  **************************************************************************/
  15
  16 // $Id$
  17
  18 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  19 // Class AliMath
  20 // Various mathematical tools which may be very convenient while
  21 // performing physics analysis.
  22 //
  23 // Example : Probability of a Chi-squared value
  24 // =========
  25 //
  26 // AliMath M;
  27 // Float_t chi2=20;            // The chi-squared value
  28 // Int_t ndf=12;               // The number of degrees of freedom
  29 // Float_t p=M.Prob(chi2,ndf); // The probability that at least a Chi-squared
  30 //                             // value of chi2 will be observed, even for a
  31 //                             // correct model
  32 //
  33 //--- Author: Nick van Eijndhoven 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
  34 //- Modified: NvE $Date$ UU-SAP Utrecht
  35 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  36
  37 #include "AliMath.h"
  38 #include "Riostream.h"
  39
  40 ClassImp(AliMath) // Class implementation to enable ROOT I/O
  41
  42 AliMath::AliMath() : TObject()
  43 {
  44 // Default constructor
  45 }
  46 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  47 AliMath::~AliMath()
  48 {
  49 // Destructor
  50 }
  51 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  52 AliMath::AliMath(const AliMath& m) : TObject(m)
  53 {
  54 // Copy constructor
  55 }
  56 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  57 Double_t AliMath::Gamma(Double_t z) const
  58 {
  59 // Computation of gamma(z) for all z>0.
  60 //
  61 // The algorithm is based on the article by C.Lanczos [1] as denoted in
  62 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 207 (W.H.Press et al.).
  63 //
  64 // [1] C.Lanczos, SIAM Journal of Numerical Analysis B1 (1964), 86.
  65 //
  66 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
  67
  68  if (z<=0.)
  69  {
  70   cout << "*Gamma(z)* Wrong argument z = " << z << endl;
  71   return 0;
  72  }
  73
  74  Double_t v=LnGamma(z);
  75  return exp(v);
  76 }
  77 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  78 Double_t AliMath::Gamma(Double_t a,Double_t x) const
  79 {
  80 // Computation of the incomplete gamma function P(a,x)
  81 //
  82 // The algorithm is based on the formulas and code as denoted in
  83 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 210-212 (W.H.Press et al.).
  84 //
  85 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
  86
  87  if (a<=0.)
  88  {
  89   cout << "*Gamma(a,x)* Invalid argument a = " << a << endl;
  90   return 0;
  91  }
  92
  93  if (x<=0.)
  94  {
  95   if (x<0) cout << "*Gamma(a,x)* Invalid argument x = " << x << endl;
  96   return 0;
  97  }
  98
  99  if (x<(a+1.))
 100  {
 101   return GamSer(a,x);
 102  }
 103  else
 104  {
 105   return GamCf(a,x);
 106  }
 107 }
 108 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 109 Double_t AliMath::LnGamma(Double_t z) const
 110 {
 111 // Computation of ln[gamma(z)] for all z>0.
 112 //
 113 // The algorithm is based on the article by C.Lanczos [1] as denoted in
 114 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 207 (W.H.Press et al.).
 115 //
 116 // [1] C.Lanczos, SIAM Journal of Numerical Analysis B1 (1964), 86.
 117 //
 118 // The accuracy of the result is better than 2e-10.
 119 //
 120 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 121
 122  if (z<=0.)
 123  {
 124   cout << "*LnGamma(z)* Wrong argument z = " << z << endl;
 125   return 0;
 126  }
 127
 128  // Coefficients for the series expansion
 129  Double_t c[7];
 130  c[0]=  2.5066282746310005;
 131  c[1]= 76.18009172947146;
 132  c[2]=-86.50532032941677;
 133  c[3]= 24.01409824083091;
 134  c[4]= -1.231739572450155;
 135  c[5]=  0.1208650973866179e-2;
 136  c[6]= -0.5395239384953e-5;
 137
 138  Double_t x=z;
 139  Double_t y=x;
 140  Double_t tmp=x+5.5;
 141  tmp=(x+0.5)*log(tmp)-tmp;
 142  Double_t ser=1.000000000190015;
 143  for (Int_t i=1; i<7; i++)
 144  {
 145   y+=1.;
 146   ser+=c[i]/y;
 147  }
 148  Double_t v=tmp+log(c[0]*ser/x);
 149  return v;
 150 }
 151 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 152 Double_t AliMath::GamSer(Double_t a,Double_t x) const
 153 {
 154 // Computation of the incomplete gamma function P(a,x)
 155 // via its series representation.
 156 //
 157 // The algorithm is based on the formulas and code as denoted in
 158 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 210-212 (W.H.Press et al.).
 159 //
 160 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 161
 162  Int_t itmax=100;   // Maximum number of iterations
 163  Double_t eps=3.e-7; // Relative accuracy
 164
 165  if (a<=0.)
 166  {
 167   cout << "*GamSer(a,x)* Invalid argument a = " << a << endl;
 168   return 0;
 169  }
 170
 171  if (x<=0.)
 172  {
 173   if (x<0) cout << "*GamSer(a,x)* Invalid argument x = " << x << endl;
 174   return 0;
 175  }
 176
 177  Double_t gln=LnGamma(a);
 178  Double_t ap=a;
 179  Double_t sum=1./a;
 180  Double_t del=sum;
 181  for (Int_t n=1; n<=itmax; n++)
 182  {
 183   ap+=1.;
 184   del=del*x/ap;
 185   sum+=del;
 186   if (fabs(del)<fabs(sum*eps)) break;
 187   if (n==itmax) cout << "*GamSer(a,x)* a too large or itmax too small" << endl;
 188  }
 189  Double_t v=sum*exp(-x+a*log(x)-gln);
 190  return v;
 191 }
 192 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 193 Double_t AliMath::GamCf(Double_t a,Double_t x) const
 194 {
 195 // Computation of the incomplete gamma function P(a,x)
 196 // via its continued fraction representation.
 197 //
 198 // The algorithm is based on the formulas and code as denoted in
 199 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 210-212 (W.H.Press et al.).
 200 //
 201 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 202
 203  Int_t itmax=100;      // Maximum number of iterations
 204  Double_t eps=3.e-7;    // Relative accuracy
 205  Double_t fpmin=1.e-30; // Smallest Double_t value allowed here
 206
 207  if (a<=0.)
 208  {
 209   cout << "*GamCf(a,x)* Invalid argument a = " << a << endl;
 210   return 0;
 211  }
 212
 213  if (x<=0.)
 214  {
 215   if (x<0) cout << "*GamCf(a,x)* Invalid argument x = " << x << endl;
 216   return 0;
 217  }
 218
 219  Double_t gln=LnGamma(a);
 220  Double_t b=x+1.-a;
 221  Double_t c=1./fpmin;
 222  Double_t d=1./b;
 223  Double_t h=d;
 224  Double_t an,del;
 225  for (Int_t i=1; i<=itmax; i++)
 226  {
 227   an=double(-i)*(double(i)-a);
 228   b+=2.;
 229   d=an*d+b;
 230   if (fabs(d)<fpmin) d=fpmin;
 231   c=b+an/c;
 232   if (fabs(c)<fpmin) c=fpmin;
 233   d=1./d;
 234   del=d*c;
 235   h=h*del;
 236   if (fabs(del-1.)<eps) break;
 237   if (i==itmax) cout << "*GamCf(a,x)* a too large or itmax too small" << endl;
 238  }
 239  Double_t v=exp(-x+a*log(x)-gln)*h;
 240  return (1.-v);
 241 }
 242 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 243 Double_t AliMath::Erf(Double_t x) const
 244 {
 245 // Computation of the error function erf(x).
 246 //
 247 //--- NvE 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 248
 249  return (1.-Erfc(x));
 250 }
 251 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 252 Double_t AliMath::Erfc(Double_t x) const
 253 {
 254 // Computation of the complementary error function erfc(x).
 255 //
 256 // The algorithm is based on a Chebyshev fit as denoted in
 257 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 214 (W.H.Press et al.).
 258 //
 259 // The fractional error is always less than 1.2e-7.
 260 //
 261 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 262
 263  // The parameters of the Chebyshev fit
 264  const Double_t ka1=-1.26551223,  ka2=1.00002368,
 265                 ka3= 0.37409196,  ka4=0.09678418,
 266                 ka5=-0.18628806,  ka6=0.27886807,
 267                 ka7=-1.13520398,  ka8=1.48851587,
 268                 ka9=-0.82215223, ka10=0.17087277;
 269
 270  Double_t v=1.; // The return value
 271
 272  Double_t z=fabs(x);
 273
 274  if (z <= 0.) return v; // erfc(0)=1
 275
 276  Double_t t=1./(1.+0.5*z);
 277
 278  v=t*exp((-z*z)
 279    +ka1+t*(ka2+t*(ka3+t*(ka4+t*(ka5+t*(ka6+t*(ka7+t*(ka8+t*(ka9+t*ka10)))))))));
 280
 281  if (x < 0.) v=2.-v; // erfc(-x)=2-erfc(x)
 282
 283  return v;
 284 }
 285 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 286 Double_t AliMath::Prob(Double_t chi2,Int_t ndf,Int_t mode) const
 287 {
 288 // Computation of the probability for a certain Chi-squared (chi2)
 289 // and number of degrees of freedom (ndf).
 290 //
 291 // A more clear and flexible facility is offered by Chi2Pvalue.
 292 //
 293 // According to the value of the parameter "mode" various algorithms
 294 // can be selected.
 295 //
 296 // mode = 0 : Calculations are based on the incomplete gamma function P(a,x),
 297 //            where a=ndf/2 and x=chi2/2.
 298 //
 299 //        1 : Same as for mode=0. However, in case ndf=1 an exact expression
 300 //            based on the error function Erf() is used.
 301 //
 302 //        2 : Same as for mode=0. However, in case ndf>30 a Gaussian approximation
 303 //            is used instead of the gamma function.
 304 //
 305 // When invoked as Prob(chi2,ndf) the default mode=1 is used.
 306 //
 307 // P(a,x) represents the probability that the observed Chi-squared
 308 // for a correct model should be less than the value chi2.
 309 //
 310 // The returned probability corresponds to 1-P(a,x),
 311 // which denotes the probability that an observed Chi-squared exceeds
 312 // the value chi2 by chance, even for a correct model.
 313 //
 314 //--- NvE 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 315
 316  if (ndf <= 0) return 0; // Set CL to zero in case ndf<=0
 317
 318  if (chi2 <= 0.)
 319  {
 320   if (chi2 < 0.)
 321   {
 322     return 0;
 323   }
 324   else
 325   {
 326    return 1;
 327   }
 328  }
 329
 330  Double_t v=-1.;
 331
 332  switch (mode)
 333  {
 334   case 1: // Exact expression for ndf=1 as alternative for the gamma function
 335    if (ndf==1) v=1.-Erf(sqrt(chi2)/sqrt(2.));
 336    break;
 337
 338   case 2: // Gaussian approximation for large ndf (i.e. ndf>30) as alternative for the gamma function
 339    if (ndf>30)
 340    {
 341     Double_t q=sqrt(2.*chi2)-sqrt(double(2*ndf-1));
 342     if (q>0.) v=0.5*(1.-Erf(q/sqrt(2.)));
 343    }
 344    break;
 345  }
 346
 347  if (v<0.)
 348  {
 349   // Evaluate the incomplete gamma function
 350   Double_t a=double(ndf)/2.;
 351   Double_t x=chi2/2.;
 352   v=1.-Gamma(a,x);
 353  }
 354
 355  return v;
 356 }
 357 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 358 Double_t AliMath::BesselI0(Double_t x) const
 359 {
 360 // Computation of the modified Bessel function I_0(x) for any real x.
 361 //
 362 // The algorithm is based on the article by Abramowitz and Stegun [1]
 363 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 230 (W.H.Press et al.).
 364 //
 365 // [1] M.Abramowitz and I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions,
 366 //     Applied Mathematics Series vol. 55 (1964), Washington.
 367 //
 368 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 369
 370  // Parameters of the polynomial approximation
 371  const Double_t kp1=1.0,          kp2=3.5156229,    kp3=3.0899424,
 372                 kp4=1.2067492,    kp5=0.2659732,    kp6=3.60768e-2,  kp7=4.5813e-3;
 373
 374  const Double_t kq1= 0.39894228,  kq2= 1.328592e-2, kq3= 2.25319e-3,
 375                 kq4=-1.57565e-3,  kq5= 9.16281e-3,  kq6=-2.057706e-2,
 376                 kq7= 2.635537e-2, kq8=-1.647633e-2, kq9= 3.92377e-3;
 377
 378  Double_t ax=fabs(x);
 379
 380  Double_t y=0,result=0;
 381
 382  if (ax < 3.75)
 383  {
 384   y=pow(x/3.75,2);
 385   result=kp1+y*(kp2+y*(kp3+y*(kp4+y*(kp5+y*(kp6+y*kp7)))));
 386  }
 387  else
 388  {
 389   y=3.75/ax;
 390   result=(exp(ax)/sqrt(ax))
 391          *(kq1+y*(kq2+y*(kq3+y*(kq4+y*(kq5+y*(kq6+y*(kq7+y*(kq8+y*kq9))))))));
 392  }
 393
 394  return result;
 395 }
 396 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 397 Double_t AliMath::BesselK0(Double_t x) const
 398 {
 399 // Computation of the modified Bessel function K_0(x) for positive real x.
 400 //
 401 // The algorithm is based on the article by Abramowitz and Stegun [1]
 402 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 230 (W.H.Press et al.).
 403 //
 404 // [1] M.Abramowitz and I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions,
 405 //     Applied Mathematics Series vol. 55 (1964), Washington.
 406 //
 407 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 408
 409  // Parameters of the polynomial approximation
 410  const Double_t kp1=-0.57721566,  kp2=0.42278420,   kp3=0.23069756,
 411                 kp4= 3.488590e-2, kp5=2.62698e-3,   kp6=1.0750e-4,    kp7=7.4e-6;
 412
 413  const Double_t kq1= 1.25331414,  kq2=-7.832358e-2, kq3= 2.189568e-2,
 414                 kq4=-1.062446e-2, kq5= 5.87872e-3,  kq6=-2.51540e-3,  kq7=5.3208e-4;
 415
 416  if (x <= 0)
 417  {
 418   cout << " *BesselK0* Invalid argument x = " << x << endl;
 419   return 0;
 420  }
 421
 422  Double_t y=0,result=0;
 423
 424  if (x <= 2)
 425  {
 426   y=x*x/4.;
 427   result=(-log(x/2.)*BesselI0(x))
 428          +(kp1+y*(kp2+y*(kp3+y*(kp4+y*(kp5+y*(kp6+y*kp7))))));
 429  }
 430  else
 431  {
 432   y=2./x;
 433   result=(exp(-x)/sqrt(x))
 434          *(kq1+y*(kq2+y*(kq3+y*(kq4+y*(kq5+y*(kq6+y*kq7))))));
 435  }
 436
 437  return result;
 438 }
 439 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 440 Double_t AliMath::BesselI1(Double_t x) const
 441 {
 442 // Computation of the modified Bessel function I_1(x) for any real x.
 443 //
 444 // The algorithm is based on the article by Abramowitz and Stegun [1]
 445 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 230 (W.H.Press et al.).
 446 //
 447 // [1] M.Abramowitz and I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions,
 448 //     Applied Mathematics Series vol. 55 (1964), Washington.
 449 //
 450 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 451
 452  // Parameters of the polynomial approximation
 453  const Double_t kp1=0.5,          kp2=0.87890594,   kp3=0.51498869,
 454                 kp4=0.15084934,   kp5=2.658733e-2,  kp6=3.01532e-3,  kp7=3.2411e-4;
 455
 456  const Double_t kq1= 0.39894228,  kq2=-3.988024e-2, kq3=-3.62018e-3,
 457                 kq4= 1.63801e-3,  kq5=-1.031555e-2, kq6= 2.282967e-2,
 458                 kq7=-2.895312e-2, kq8= 1.787654e-2, kq9=-4.20059e-3;
 459
 460  Double_t ax=fabs(x);
 461
 462  Double_t y=0,result=0;
 463
 464  if (ax < 3.75)
 465  {
 466   y=pow(x/3.75,2);
 467   result=x*(kp1+y*(kp2+y*(kp3+y*(kp4+y*(kp5+y*(kp6+y*kp7))))));
 468  }
 469  else
 470  {
 471   y=3.75/ax;
 472   result=(exp(ax)/sqrt(ax))
 473          *(kq1+y*(kq2+y*(kq3+y*(kq4+y*(kq5+y*(kq6+y*(kq7+y*(kq8+y*kq9))))))));
 474   if (x < 0) result=-result;
 475  }
 476
 477  return result;
 478 }
 479 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 480 Double_t AliMath::BesselK1(Double_t x) const
 481 {
 482 // Computation of the modified Bessel function K_1(x) for positive real x.
 483 //
 484 // The algorithm is based on the article by Abramowitz and Stegun [1]
 485 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 230 (W.H.Press et al.).
 486 //
 487 // [1] M.Abramowitz and I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions,
 488 //     Applied Mathematics Series vol. 55 (1964), Washington.
 489 //
 490 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 491
 492  // Parameters of the polynomial approximation
 493  const Double_t kp1= 1.,          kp2= 0.15443144,  kp3=-0.67278579,
 494                 kp4=-0.18156897,  kp5=-1.919402e-2, kp6=-1.10404e-3,  kp7=-4.686e-5;
 495
 496  const Double_t kq1= 1.25331414,  kq2= 0.23498619,  kq3=-3.655620e-2,
 497                 kq4= 1.504268e-2, kq5=-7.80353e-3,  kq6= 3.25614e-3,  kq7=-6.8245e-4;
 498
 499  if (x <= 0)
 500  {
 501   cout << " *BesselK1* Invalid argument x = " << x << endl;
 502   return 0;
 503  }
 504
 505  Double_t y=0,result=0;
 506
 507  if (x <= 2)
 508  {
 509   y=x*x/4.;
 510   result=(log(x/2.)*BesselI1(x))
 511          +(1./x)*(kp1+y*(kp2+y*(kp3+y*(kp4+y*(kp5+y*(kp6+y*kp7))))));
 512  }
 513  else
 514  {
 515   y=2./x;
 516   result=(exp(-x)/sqrt(x))
 517          *(kq1+y*(kq2+y*(kq3+y*(kq4+y*(kq5+y*(kq6+y*kq7))))));
 518  }
 519
 520  return result;
 521 }
 522 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 523 Double_t AliMath::BesselK(Int_t n,Double_t x) const
 524 {
 525 // Computation of the Integer Order Modified Bessel function K_n(x)
 526 // for n=0,1,2,... and positive real x.
 527 //
 528 // The algorithm uses the recurrence relation
 529 //
 530 //               K_n+1(x) = (2n/x)*K_n(x) + K_n-1(x)
 531 //
 532 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 232 (W.H.Press et al.).
 533 //
 534 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 535
 536  if (x <= 0 || n < 0)
 537  {
 538   cout << " *BesselK* Invalid argument(s) (n,x) = (" << n << " , " << x << ")" << endl;
 539   return 0;
 540  }
 541
 542  if (n==0) return BesselK0(x);
 543
 544  if (n==1) return BesselK1(x);
 545
 546  // Perform upward recurrence for all x
 547  Double_t tox=2./x;
 548  Double_t bkm=BesselK0(x);
 549  Double_t bk=BesselK1(x);
 550  Double_t bkp=0;
 551  for (Int_t j=1; j<n; j++)
 552  {
 553   bkp=bkm+double(j)*tox*bk;
 554   bkm=bk;
 555   bk=bkp;
 556  }
 557
 558  return bk;
 559 }
 560 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 561 Double_t AliMath::BesselI(Int_t n,Double_t x) const
 562 {
 563 // Computation of the Integer Order Modified Bessel function I_n(x)
 564 // for n=0,1,2,... and any real x.
 565 //
 566 // The algorithm uses the recurrence relation
 567 //
 568 //               I_n+1(x) = (-2n/x)*I_n(x) + I_n-1(x)
 569 //
 570 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 232 (W.H.Press et al.).
 571 //
 572 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 573
 574  Int_t iacc=40; // Increase to enhance accuracy
 575  Double_t bigno=1.e10, bigni=1.e-10;
 576
 577  if (n < 0)
 578  {
 579   cout << " *BesselI* Invalid argument (n,x) = (" << n << " , " << x << ")" << endl;
 580   return 0;
 581  }
 582
 583  if (n==0) return BesselI0(x);
 584
 585  if (n==1) return BesselI1(x);
 586
 587  if (fabs(x) < 1.e-10) return 0;
 588
 589  Double_t tox=2./fabs(x);
 590  Double_t bip=0,bim=0;
 591  Double_t bi=1;
 592  Double_t result=0;
 593  Int_t m=2*((n+int(sqrt(float(iacc*n))))); // Downward recurrence from even m
 594  for (Int_t j=m; j<=1; j--)
 595  {
 596   bim=bip+double(j)*tox*bi;
 597   bip=bi;
 598   bi=bim;
 599   if (fabs(bi) > bigno) // Renormalise to prevent overflows
 600   {
 601    result*=bigni;
 602    bi*=bigni;
 603    bip*=bigni;
 604   }
 605   if (j==n) result=bip;
 606  }
 607
 608  result*=BesselI0(x)/bi; // Normalise with I0(x)
 609  if ((x < 0) && (n%2 == 1)) result=-result;
 610
 611  return result;
 612 }
 613 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 614 TF1 AliMath::Chi2Dist(Int_t ndf) const
 615 {
 616 // Provide the Chi-squared distribution function corresponding to the
 617 // specified ndf degrees of freedom.
 618 //
 619 // Details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
 620 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 621 //
 622 // Note : <chi2>=ndf  Var(chi2)=2*ndf
 623
 624  TF1 chi2dist("chi2dist","1./(TMath::Gamma([0]/2.)*pow(2,[0]/2.))*pow(x,[0]/2.-1.)*exp(-x/2.)");
 625  TString title="#chi^{2} distribution for ndf = ";
 626  title+=ndf;
 627  chi2dist.SetTitle(title.Data());
 628  chi2dist.SetParName(0,"ndf");
 629  chi2dist.SetParameter(0,ndf);
 630
 631  return chi2dist;
 632 }
 633 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 634 TF1 AliMath::StudentDist(Double_t ndf) const
 635 {
 636 // Provide the Student's T distribution function corresponding to the
 637 // specified ndf degrees of freedom.
 638 //
 639 // In a frequentist approach, the Student's T distribution is particularly
 640 // useful in making inferences about the mean of an underlying population
 641 // based on the data from a random sample.
 642 //
 643 // In a Bayesian context it is used to characterise the posterior PDF
 644 // for a particular state of information.
 645 //
 646 // Note : ndf is not restricted to integer values
 647 //
 648 // Details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
 649 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 650 //
 651 // Note : <T>=0  Var(T)=ndf/(ndf-2)
 652
 653  TF1 tdist("tdist","(TMath::Gamma(([0]+1.)/2.)/(sqrt(pi*[0])*TMath::Gamma([0]/2.)))*pow(1.+x*x/[0],-([0]+1.)/2.)");
 654  TString title="Student's t distribution for ndf = ";
 655  title+=ndf;
 656  tdist.SetTitle(title.Data());
 657  tdist.SetParName(0,"ndf");
 658  tdist.SetParameter(0,ndf);
 659
 660  return tdist;
 661 }
 662 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 663 TF1 AliMath::FratioDist(Int_t ndf1,Int_t ndf2) const
 664 {
 665 // Provide the F (ratio) distribution function corresponding to the
 666 // specified ndf1 and ndf2 degrees of freedom of the two samples.
 667 //
 668 // In a frequentist approach, the F (ratio) distribution is particularly useful
 669 // in making inferences about the ratio of the variances of two underlying
 670 // populations based on a measurement of the variance of a random sample taken
 671 // from each one of the two populations.
 672 // So the F test provides a means to investigate the degree of equality of
 673 // two populations.
 674 //
 675 // Details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
 676 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 677 //
 678 // Note : <F>=ndf2/(ndf2-2)  Var(F)=2*ndf2*ndf2*(ndf2+ndf1-2)/(ndf1*(ndf2-1)*(ndf2-1)*(ndf2-4))
 679
 680  TF1 fdist("fdist",
 681  "(TMath::Gamma(([0]+[1])/2.)/(TMath::Gamma([0]/2.)*TMath::Gamma([1]/2.)))*pow([0]/[1],[0]/2.)*pow(x,([0]-2.)/2.)/pow(1.+x*[0]/[1],([0]+[1])/2.)");
 682  TString title="F (ratio) distribution for ndf1 = ";
 683  title+=ndf1;
 684  title+=" ndf2 = ";
 685  title+=ndf2;
 686  fdist.SetTitle(title.Data());
 687  fdist.SetParName(0,"ndf1");
 688  fdist.SetParameter(0,ndf1);
 689  fdist.SetParName(1,"ndf2");
 690  fdist.SetParameter(1,ndf2);
 691
 692  return fdist;
 693 }
 694 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 695 TF1 AliMath::BinomialDist(Int_t n,Double_t p) const
 696 {
 697 // Provide the Binomial distribution function corresponding to the
 698 // specified number of trials n and probability p of success.
 699 //
 700 // p(k|n,p) = probability to obtain exactly k successes in n trials.
 701 //
 702 // Details can be found in the excelent textbook of Phil Gregory
 703 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 704 //
 705 // Note : <k>=n*p  Var(k)=n*p*(1-p)
 706
 707  TF1 bindist("bindist","TMath::Binomial(int([0]),int(x))*pow([1],int(x))*pow(1.-[1],int([0])-int(x))");
 708  TString title="Binomial distribution for n = ";
 709  title+=n;
 710  title+=" p = ";
 711  title+=p;
 712  bindist.SetTitle(title.Data());
 713  bindist.SetParName(0,"n");
 714  bindist.SetParameter(0,n);
 715  bindist.SetParName(1,"p");
 716  bindist.SetParameter(1,p);
 717
 718  return bindist;
 719 }
 720 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 721 TF1 AliMath::NegBinomialDist(Int_t k,Double_t p) const
 722 {
 723 // Provide the Negative Binomial distribution function corresponding to the
 724 // specified number of successes k and probability p of success.
 725 //
 726 // p(n|k,p) = probability to have reached k successes after n trials.
 727 //
 728 // Details can be found in the excelent textbook of Phil Gregory
 729 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 730 //
 731 // Note : <n>=k*(1-p)/p  Var(n)=k*(1-p)/(p*p)
 732
 733  TF1 negbindist("negbindist","TMath::Binomial(int(x)-1,int([0])-1)*pow([1],int([0]))*pow(1.-[1],int(x)-int([0]))");
 734  TString title="Negative Binomial distribution for k = ";
 735  title+=k;
 736  title+=" p = ";
 737  title+=p;
 738  negbindist.SetTitle(title.Data());
 739  negbindist.SetParName(0,"k");
 740  negbindist.SetParameter(0,k);
 741  negbindist.SetParName(1,"p");
 742  negbindist.SetParameter(1,p);
 743
 744  return negbindist;
 745 }
 746 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 747 TF1 AliMath::PoissonDist(Double_t mu) const
 748 {
 749 // Provide the Poisson distribution function corresponding to the
 750 // specified average rate (in time or space) mu of occurrences.
 751 //
 752 // p(n|mu) = probability for n occurrences in a certain time or space interval.
 753 //
 754 // Details can be found in the excelent textbook of Phil Gregory
 755 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 756 //
 757 // Note : <n>=mu  Var(n)=mu
 758
 759  TF1 poissdist("poissdist","exp(-[0])*pow([0],int(x))/TMath::Factorial(int(x))");
 760  TString title="Poisson distribution for mu = ";
 761  title+=mu;
 762  poissdist.SetTitle(title.Data());
 763  poissdist.SetParName(0,"mu");
 764  poissdist.SetParameter(0,mu);
 765
 766  return poissdist;
 767 }
 768 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 769 Double_t AliMath::Chi2Pvalue(Double_t chi2,Int_t ndf,Int_t sides,Int_t sigma,Int_t mode) const
 770 {
 771 // Computation of the P-value for a certain specified Chi-squared (chi2) value
 772 // for a Chi-squared distribution with ndf degrees of freedom.
 773 //
 774 // The P-value for a certain Chi-squared value chi2 corresponds to the fraction of
 775 // repeatedly drawn equivalent samples from a certain population, which is expected
 776 // to yield a Chi-squared value exceeding (less than) the value chi2 for an
 777 // upper (lower) tail test in case a certain hypothesis is true.
 778 //
 779 // Further details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
 780 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 781 //
 782 // Note : <Chi2>=ndf  Var(Chi2)=2*ndf
 783 //
 784 // With the "sides" parameter a one-sided or two-sided test can be selected
 785 // using either the upper or lower tail contents.
 786 // In case of automatic upper/lower selection the decision is made on basis
 787 // of the location of the input chi2 value w.r.t. <Chi2> of the distribution.
 788 //
 789 // sides =  1 : One-sided test using the upper tail contents
 790 //          2 : Two-sided test using the upper tail contents
 791 //         -1 : One-sided test using the lower tail contents
 792 //         -2 : Two-sided test using the lower tail contents
 793 //          0 : One-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
 794 //          3 : Two-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
 795 //
 796 // The argument "sigma" allows for the following return values :
 797 //
 798 // sigma = 0 : P-value is returned as the above specified fraction
 799 //         1 : The difference chi2-<Chi2> expressed in units of sigma
 800 //             Note : This difference may be negative.
 801 //
 802 // According to the value of the parameter "mode" various algorithms
 803 // can be selected.
 804 //
 805 // mode = 0 : Calculations are based on the incomplete gamma function.
 806 //
 807 //        1 : Same as for mode=0. However, in case ndf=1 an exact expression
 808 //            based on the error function Erf() is used.
 809 //
 810 //        2 : Same as for mode=0. However, in case ndf>30 a Gaussian approximation
 811 //            is used instead of the gamma function.
 812 //
 813 // The default values are sides=0, sigma=0 and mode=1.
 814 //
 815 //--- NvE 21-may-2005 Utrecht University
 816
 817  if (ndf<=0) return 0;
 818
 819  Double_t mean=ndf;
 820
 821  if (!sides) // Automatic one-sided test
 822  {
 823   sides=1;
 824   if (chi2<mean) sides=-1;
 825  }
 826
 827  if (sides==3) // Automatic two-sided test
 828  {
 829   sides=2;
 830   if (chi2<mean) sides=-2;
 831  }
 832
 833  Double_t val=0;
 834  if (sigma) // P-value in units of sigma
 835  {
 836   Double_t s=sqrt(double(2*ndf));
 837   val=(chi2-mean)/s;
 838  }
 839  else // P-value from tail contents
 840  {
 841   if (sides>0) // Upper tail
 842   {
 843    val=Prob(chi2,ndf,mode);
 844   }
 845   else // Lower tail
 846   {
 847    val=1.-Prob(chi2,ndf,mode);
 848   }
 849  }
 850
 851  if (abs(sides)==2) val=val*2.;
 852
 853  return val;
 854 }
 855 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 856 Double_t AliMath::StudentPvalue(Double_t t,Double_t ndf,Int_t sides,Int_t sigma) const
 857 {
 858 // Computation of the P-value for a certain specified Student's t value
 859 // for a Student's T distribution with ndf degrees of freedom.
 860 //
 861 // In a frequentist approach, the Student's T distribution is particularly
 862 // useful in making inferences about the mean of an underlying population
 863 // based on the data from a random sample.
 864 //
 865 // The P-value for a certain t value corresponds to the fraction of
 866 // repeatedly drawn equivalent samples from a certain population, which is expected
 867 // to yield a T value exceeding (less than) the value t for an upper (lower)
 868 // tail test in case a certain hypothesis is true.
 869 //
 870 // Further details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
 871 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 872 //
 873 // Note : <T>=0  Var(T)=ndf/(ndf-2)
 874 //
 875 // With the "sides" parameter a one-sided or two-sided test can be selected
 876 // using either the upper or lower tail contents.
 877 // In case of automatic upper/lower selection the decision is made on basis
 878 // of the location of the input t value w.r.t. <T> of the distribution.
 879 //
 880 // sides =  1 : One-sided test using the upper tail contents
 881 //          2 : Two-sided test using the upper tail contents
 882 //         -1 : One-sided test using the lower tail contents
 883 //         -2 : Two-sided test using the lower tail contents
 884 //          0 : One-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
 885 //          3 : Two-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
 886 //
 887 // The argument "sigma" allows for the following return values :
 888 //
 889 // sigma = 0 : P-value is returned as the above specified fraction
 890 //         1 : The difference t-<T> expressed in units of sigma
 891 //             Note : This difference may be negative and sigma
 892 //                    is only defined for ndf>2.
 893 //
 894 // The default values are sides=0 and sigma=0.
 895 //
 896 //--- NvE 21-may-2005 Utrecht University
 897
 898  if (ndf<=0) return 0;
 899
 900  Double_t mean=0;
 901
 902  if (!sides) // Automatic one-sided test
 903  {
 904   sides=1;
 905   if (t<mean) sides=-1;
 906  }
 907
 908  if (sides==3) // Automatic two-sided test
 909  {
 910   sides=2;
 911   if (t<mean) sides=-2;
 912  }
 913
 914  Double_t val=0;
 915  if (sigma) // P-value in units of sigma
 916  {
 917   if (ndf>2) // Sigma is only defined for ndf>2
 918   {
 919    Double_t s=sqrt(ndf/(ndf-2.));
 920    val=t/s;
 921   }
 922  }
 923  else // P-value from tail contents
 924  {
 925   if (sides>0) // Upper tail
 926   {
 927    val=1.-TMath::StudentI(t,ndf);
 928   }
 929   else // Lower tail
 930   {
 931    val=TMath::StudentI(t,ndf);
 932   }
 933  }
 934
 935  if (abs(sides)==2) val=val*2.;
 936
 937  return val;
 938 }
 939 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 940 Double_t AliMath::FratioPvalue(Double_t f,Int_t ndf1,Int_t ndf2,Int_t sides,Int_t sigma) const
 941 {
 942 // Computation of the P-value for a certain specified F ratio f value
 943 // for an F (ratio) distribution with ndf1 and ndf2 degrees of freedom
 944 // for the two samples X,Y respectively to be compared in the ratio X/Y.
 945 //
 946 // In a frequentist approach, the F (ratio) distribution is particularly useful
 947 // in making inferences about the ratio of the variances of two underlying
 948 // populations based on a measurement of the variance of a random sample taken
 949 // from each one of the two populations.
 950 // So the F test provides a means to investigate the degree of equality of
 951 // two populations.
 952 //
 953 // The P-value for a certain f value corresponds to the fraction of
 954 // repeatedly drawn equivalent samples from a certain population, which is expected
 955 // to yield an F value exceeding (less than) the value f for an upper (lower)
 956 // tail test in case a certain hypothesis is true.
 957 //
 958 // Further details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
 959 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 960 //
 961 // Note : <F>=ndf2/(ndf2-2)  Var(F)=2*ndf2*ndf2*(ndf2+ndf1-2)/(ndf1*(ndf2-1)*(ndf2-1)*(ndf2-4))
 962 //
 963 // With the "sides" parameter a one-sided or two-sided test can be selected
 964 // using either the upper or lower tail contents.
 965 // In case of automatic upper/lower selection the decision is made on basis
 966 // of the location of the input f value w.r.t. <F> of the distribution.
 967 //
 968 // sides =  1 : One-sided test using the upper tail contents
 969 //          2 : Two-sided test using the upper tail contents
 970 //         -1 : One-sided test using the lower tail contents
 971 //         -2 : Two-sided test using the lower tail contents
 972 //          0 : One-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
 973 //          3 : Two-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
 974 //
 975 // The argument "sigma" allows for the following return values :
 976 //
 977 // sigma = 0 : P-value is returned as the above specified fraction
 978 //         1 : The difference f-<F> expressed in units of sigma
 979 //             Note : This difference may be negative and sigma
 980 //                    is only defined for ndf2>4.
 981 //
 982 // The default values are sides=0 and sigma=0.
 983 //
 984 //--- NvE 21-may-2005 Utrecht University
 985
 986  if (ndf1<=0 || ndf2<=0 || f<=0) return 0;
 987
 988  Double_t mean=double(ndf2/(ndf2-2));
 989
 990  if (!sides) // Automatic one-sided test
 991  {
 992   sides=1;
 993   if (f<mean) sides=-1;
 994  }
 995
 996  if (sides==3) // Automatic two-sided test
 997  {
 998   sides=2;
 999   if (f<mean) sides=-2;
1000  }
1001
1002  Double_t val=0;
1003  if (sigma) // P-value in units of sigma
1004  {
1005   // Sigma is only defined for ndf2>4
1006   if (ndf2>4)
1007   {
1008    Double_t s=sqrt(double(ndf2*ndf2*(2*ndf2+2*ndf1-4))/double(ndf1*pow(double(ndf2-1),2)*(ndf2-4)));
1009    val=(f-mean)/s;
1010   }
1011  }
1012  else // P-value from tail contents
1013  {
1014   if (sides>0) // Upper tail
1015   {
1016    val=1.-TMath::FDistI(f,ndf1,ndf2);
1017   }
1018   else // Lower tail
1019   {
1020    val=TMath::FDistI(f,ndf1,ndf2);
1021   }
1022  }
1023
1024  if (abs(sides)==2) val=val*2.;
1025
1026  return val;
1027 }
1028 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1029 Double_t AliMath::BinomialPvalue(Int_t k,Int_t n,Double_t p,Int_t sides,Int_t sigma,Int_t mode) const
1030 {
1031 // Computation of the P-value for a certain specified number of successes k
1032 // for a Binomial distribution with n trials and success probability p.
1033 //
1034 // The P-value for a certain number of successes k corresponds to the fraction of
1035 // repeatedly drawn equivalent samples from a certain population, which is expected
1036 // to yield a number of successes exceeding (less than) the value k for an
1037 // upper (lower) tail test in case a certain hypothesis is true.
1038 //
1039 // Further details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
1040 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
1041 //
1042 // Note : <K>=n*p  Var(K)=n*p*(1-p)
1043 //
1044 // With the "sides" parameter a one-sided or two-sided test can be selected
1045 // using either the upper or lower tail contents.
1046 // In case of automatic upper/lower selection the decision is made on basis
1047 // of the location of the input k value w.r.t. <K> of the distribution.
1048 //
1049 // sides =  1 : One-sided test using the upper tail contents
1050 //          2 : Two-sided test using the upper tail contents
1051 //         -1 : One-sided test using the lower tail contents
1052 //         -2 : Two-sided test using the lower tail contents
1053 //          0 : One-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
1054 //          3 : Two-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
1055 //
1056 // The argument "sigma" allows for the following return values :
1057 //
1058 // sigma = 0 : P-value is returned as the above specified fraction
1059 //         1 : The difference k-<K> expressed in units of sigma
1060 //             Note : This difference may be negative.
1061 //
1062 // mode = 0 : Incomplete Beta function will be used to calculate the tail content.
1063 //        1 : Straightforward summation of the Binomial terms is used.
1064 //
1065 // The Incomplete Beta function in general provides the most accurate values.
1066 //
1067 // The default values are sides=0, sigma=0 and mode=0.
1068 //
1069 //--- NvE 24-may-2005 Utrecht University
1070
1071  Double_t mean=double(n)*p;
1072
1073  if (!sides) // Automatic one-sided test
1074  {
1075   sides=1;
1076   if (k<mean) sides=-1;
1077  }
1078
1079  if (sides==3) // Automatic two-sided test
1080  {
1081   sides=2;
1082   if (k<mean) sides=-2;
1083  }
1084
1085  Double_t val=0;
1086
1087  if (sigma) // P-value in units of sigma
1088  {
1089   Double_t s=sqrt(double(n)*p*(1.-p));
1090   val=(double(k)-mean)/s;
1091  }
1092  else // P-value from tail contents
1093  {
1094   if (sides>0)
1095   {
1096    if (!mode) // Use Incomplete Beta function
1097    {
1098     val=TMath::BetaIncomplete(p,k+1,n-k);
1099    }
1100    else // Use straightforward summation
1101    {
1102     for (Int_t i=k+1; i<=n; i++)
1103     {
1104      val+=TMath::Binomial(n,i)*pow(p,i)*pow(1.-p,n-i);
1105     }
1106    }
1107   }
1108   else
1109   {
1110    if (!mode) // Use Incomplete Beta function
1111    {
1112     val=1.-TMath::BetaIncomplete(p,k+1,n-k);
1113    }
1114    else
1115    {
1116     for (Int_t j=0; j<=k; j++)
1117     {
1118      val+=TMath::Binomial(n,j)*pow(p,j)*pow(1.-p,n-j);
1119     }
1120    }
1121   }
1122  }
1123
1124  if (abs(sides)==2) val=val*2.;
1125
1126  return val;
1127 }
1128 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1129 Double_t AliMath::PoissonPvalue(Int_t k,Double_t mu,Int_t sides,Int_t sigma) const
1130 {
1131 // Computation of the P-value for a certain specified number of occurrences k
1132 // for a Poisson distribution with a specified average rate (in time or space)
1133 // mu of occurrences.
1134 //
1135 // The P-value for a certain number of occurrences k corresponds to the fraction of
1136 // repeatedly drawn equivalent samples from a certain population, which is expected
1137 // to yield a number of occurrences exceeding (less than) the value k for an
1138 // upper (lower) tail test in case a certain hypothesis is true.
1139 //
1140 // Further details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
1141 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
1142 //
1143 // Note : <K>=mu  Var(K)=mu
1144 //
1145 // With the "sides" parameter a one-sided or two-sided test can be selected
1146 // using either the upper or lower tail contents.
1147 // In case of automatic upper/lower selection the decision is made on basis
1148 // of the location of the input k value w.r.t. <K> of the distribution.
1149 //
1150 // sides =  1 : One-sided test using the upper tail contents
1151 //          2 : Two-sided test using the upper tail contents
1152 //         -1 : One-sided test using the lower tail contents
1153 //         -2 : Two-sided test using the lower tail contents
1154 //          0 : One-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
1155 //          3 : Two-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
1156 //
1157 // The argument "sigma" allows for the following return values :
1158 //
1159 // sigma = 0 : P-value is returned as the above specified fraction
1160 //         1 : The difference k-<K> expressed in units of sigma
1161 //             Note : This difference may be negative.
1162 //
1163 // The default values are sides=0 and sigma=0.
1164 //
1165 // Note : The tail contents are given by the incomplete Gamma function P(a,x).
1166 //        Lower tail contents = 1-P(k,mu)
1167 //        Upper tail contents = P(k,mu)
1168 //
1169 //--- NvE 24-may-2005 Utrecht University
1170
1171  Double_t mean=mu;
1172
1173  if (!sides) // Automatic one-sided test
1174  {
1175   sides=1;
1176   if (k<mean) sides=-1;
1177  }
1178
1179  if (sides==3) // Automatic two-sided test
1180  {
1181   sides=2;
1182   if (k<mean) sides=-2;
1183  }
1184
1185  Double_t val=0;
1186
1187  if (sigma) // P-value in units of sigma
1188  {
1189   Double_t s=sqrt(mu);
1190   val=(double(k)-mean)/s;
1191  }
1192  else // P-value from tail contents
1193  {
1194   if (sides>0) // Upper tail
1195   {
1196    val=Gamma(k,mu);
1197   }
1198   else // Lower tail
1199   {
1200    val=1.-Gamma(k,mu);
1201   }
1202  }
1203
1204  if (abs(sides)==2) val=val*2.;
1205
1206  return val;
1207 }
1208 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1209 Double_t AliMath::NegBinomialPvalue(Int_t n,Int_t k,Double_t p,Int_t sides,Int_t sigma,Int_t mode) const
1210 {
1211 // Computation of the P-value for a certain specified number of trials n
1212 // for a Negative Binomial distribution where exactly k successes are to
1213 // be reached which have each a probability p.
1214 //
1215 // The P-value for a certain number of trials n corresponds to the fraction of
1216 // repeatedly drawn equivalent samples from a certain population, which is expected
1217 // to yield a number of trials exceeding (less than) the value n for an
1218 // upper (lower) tail test in case a certain hypothesis is true.
1219 //
1220 // Further details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
1221 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
1222 //
1223 // Note : <N>=k*(1-p)/p  Var(N)=k*(1-p)/(p*p)
1224 //
1225 // With the "sides" parameter a one-sided or two-sided test can be selected
1226 // using either the upper or lower tail contents.
1227 // In case of automatic upper/lower selection the decision is made on basis
1228 // of the location of the input n value w.r.t. <N> of the distribution.
1229 //
1230 // sides =  1 : One-sided test using the upper tail contents
1231 //          2 : Two-sided test using the upper tail contents
1232 //         -1 : One-sided test using the lower tail contents
1233 //         -2 : Two-sided test using the lower tail contents
1234 //          0 : One-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
1235 //          3 : Two-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
1236 //
1237 // The argument "sigma" allows for the following return values :
1238 //
1239 // sigma = 0 : P-value is returned as the above specified fraction
1240 //         1 : The difference n-<N> expressed in units of sigma
1241 //             Note : This difference may be negative.
1242 //
1243 // mode = 0 : Incomplete Beta function will be used to calculate the tail content.
1244 //        1 : Straightforward summation of the Negative Binomial terms is used.
1245 //
1246 // The Incomplete Beta function in general provides the most accurate values.
1247 //
1248 // The default values are sides=0, sigma=0 and mode=0.
1249 //
1250 //--- NvE 24-may-2005 Utrecht University
1251
1252  Double_t mean=double(k)*(1.-p)/p;
1253
1254  if (!sides) // Automatic one-sided test
1255  {
1256   sides=1;
1257   if (n<mean) sides=-1;
1258  }
1259
1260  if (sides==3) // Automatic two-sided test
1261  {
1262   sides=2;
1263   if (n<mean) sides=-2;
1264  }
1265
1266  Double_t val=0;
1267
1268  if (sigma) // P-value in units of sigma
1269  {
1270   Double_t s=sqrt(double(k)*(1.-p)/(p*p));
1271   val=(double(n)-mean)/s;
1272  }
1273  else // P-value from tail contents
1274  {
1275   if (sides>0) // Upper tail
1276   {
1277    if (!mode) // Use Incomplete Beta function
1278    {
1279     val=1.-TMath::BetaIncomplete(p,k,n-k);
1280    }
1281    else // Use straightforward summation
1282    {
1283     for (Int_t i=1; i<n; i++)
1284     {
1285      val+=TMath::Binomial(i-1,k-1)*pow(p,k)*pow(1.-p,i-k);
1286     }
1287     val=1.-val;
1288    }
1289   }
1290   else // Lower tail
1291   {
1292    if (!mode) // Use Incomplete Beta function
1293    {
1294     val=TMath::BetaIncomplete(p,k,n-k);
1295    }
1296    else
1297    {
1298     for (Int_t j=1; j<n; j++)
1299     {
1300      val+=TMath::Binomial(j-1,k-1)*pow(p,k)*pow(1.-p,j-k);
1301     }
1302    }
1303   }
1304  }
1305
1306  if (abs(sides)==2) val=val*2.;
1307
1308  return val;
1309 }
1310 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1311 Double_t AliMath::Nfac(Int_t n,Int_t mode) const
1312 {
1313 // Compute n!.
1314 // The algorithm can be selected by the "mode" input argument.
1315 //
1316 // mode : 0 ==> Calculation by means of straightforward multiplication
1317 //      : 1 ==> Calculation by means of Stirling's approximation
1318 //      : 2 ==> Calculation by means of n!=Gamma(n+1)
1319 //
1320 // For large n the calculation modes 1 and 2 will in general be faster.
1321 // By default mode=0 is used.
1322 // For n<0 the value 0 will be returned.
1323 //
1324 // Note : Because of Double_t value overflow the maximum value is n=170.
1325 //
1326 //--- NvE 20-jan-2007 Utrecht University
1327
1328  if (n<0) return 0;
1329  if (n==0) return 1;
1330
1331  Double_t twopi=2.*acos(-1.);
1332  Double_t z=0;
1333  Double_t nfac=1;
1334  Int_t i=n;
1335
1336  switch (mode)
1337  {
1338   case 0: // Straightforward multiplication
1339    while (i>1)
1340    {
1341     nfac*=Double_t(i);
1342     i--;
1343    }
1344    break;
1345
1346   case 1: // Stirling's approximation
1347    z=n;
1348    nfac=sqrt(twopi)*pow(z,z+0.5)*exp(-z)*(1.+1./(12.*z));
1349    break;
1350
1351   case 2: // Use of Gamma(n+1)
1352    z=n+1;
1353    nfac=Gamma(z);
1354    break;
1355
1356   default:
1357    nfac=0;
1358    break;
1359  }
1360
1361  return nfac;
1362 }
1363 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1364 Double_t AliMath::LnNfac(Int_t n,Int_t mode) const
1365 {
1366 // Compute ln(n!).
1367 // The algorithm can be selected by the "mode" input argument.
1368 //
1369 // mode : 0 ==>  Calculation via evaluation of n! followed by taking ln(n!)
1370 //      : 1 ==>  Calculation via Stirling's approximation ln(n!)=0.5*ln(2*pi)+(n+0.5)*ln(n)-n+1/(12*n)
1371 //      : 2 ==>  Calculation by means of ln(n!)=LnGamma(n+1)
1372 //
1373 // Note : Because of Double_t value overflow the maximum value is n=170 for mode=0.
1374 //
1375 // For mode=2 rather accurate results are obtained for both small and large n.
1376 // By default mode=2 is used.
1377 // For n<1 the value 0 will be returned.
1378 //
1379 //--- NvE 20-jan-2007 Utrecht University
1380
1381  if (n<=1) return 0;
1382
1383  Double_t twopi=2.*acos(-1.);
1384  Double_t z=0;
1385  Double_t lognfac=0;
1386
1387  switch (mode)
1388  {
1389   case 0: // Straightforward ln(n!)
1390    z=Nfac(n);
1391    lognfac=log(z);
1392    break;
1393
1394   case 1: // Stirling's approximation
1395    z=n;
1396    lognfac=0.5*log(twopi)+(z+0.5)*log(z)-z+1./(12.*z);
1397    break;
1398
1399   case 2: // Use of LnGamma(n+1)
1400    z=n+1;
1401    lognfac=LnGamma(z);
1402    break;
1403
1404   default:
1405    lognfac=0;
1406    break;
1407  }
1408
1409  return lognfac;
1410 }
1411 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1412 Double_t AliMath::LogNfac(Int_t n,Int_t mode) const
1413 {
1414 // Compute log_10(n!).
1415 // First ln(n!) is evaluated via invokation of LnNfac(n,mode).
1416 // Then the algorithm log_10(z)=ln(z)*log_10(e) is used.
1417 //
1418 //--- NvE 20-jan-2007 Utrecht University
1419
1420  Double_t e=exp(1.);
1421
1422  Double_t val=LnNfac(n,mode);
1423  val*=log10(e);
1424
1425  return val;
1426 }
1427 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1428 Double_t AliMath::PsiValue(Int_t m,Int_t* n,Double_t* p,Int_t f) const
1429 {
1430 // Provide the Bayesian Psi value of observations of a counting experiment
1431 // w.r.t. a Bernoulli class hypothesis B_m.
1432 // The hypothesis B_m represents a counting experiment with m different
1433 // possible outcomes and is completely defined by the probabilities
1434 // of the various outcomes (and the requirement that the sum of all these
1435 // probabilities equals 1).
1436 //
1437 // The Psi value provides (in dB scale) the amount of support that the
1438 // data can maximally give to any Bernoulli class hypothesis different
1439 // from the currently specified B_m.
1440 //
1441 // To be specific : Psi=-10*log[p(D|B_m I)]
1442 //
1443 // where p(D|B_m I) represents the likelihood of the data D under the condition
1444 // that B_m and some prior I are true.
1445 //
1446 // A Psi value of zero indicates a perfect match between the observations
1447 // and the specified hypothesis.
1448 // Further mathematical details can be found in astro-ph/0702029.
1449 //
1450 // m : The number of different possible outcomes of the counting experiment
1451 // n : The observed number of different outcomes
1452 // p : The probabilities of the different outcomes according to the hypothesis
1453 // f : Flag to indicate the use of a frequentist (Stirling) approximation (f=1)
1454 //     or the exact Bayesian expression (f=0).
1455 //
1456 // In case no probabilities are given (i.e. pk=0), a uniform distribution
1457 // is assumed.
1458 //
1459 // The default values are pk=0 and f=0.
1460 //
1461 // In the case of inconsistent input, a Psi value of -1 is returned.
1462 //
1463 //--- NvE 03-oct-2007 Utrecht University
1464
1465  Double_t psi=-1;
1466
1467  if (m<=0 || !n) return psi;
1468
1469  Int_t ntot=0;
1470  for (Int_t j=0; j<m; j++)
1471  {
1472   if (n[j]>0) ntot+=n[j];
1473  }
1474
1475  psi=0;
1476  Double_t pk=1./float(m); // Prob. of getting outcome k for a uniform distr.
1477  for (Int_t i=0; i<m; i++)
1478  {
1479   if (p) pk=p[i]; // Probabilities from a specific B_m hypothesis
1480   if (n[i]>0 && pk>0)
1481   {
1482    if (!f) // Exact Bayesian expression
1483    {
1484     psi+=double(n[i])*log10(pk)-LogNfac(n[i]);
1485    }
1486    else // Frequentist (Stirling) approximation
1487    {
1488     if (ntot>0) psi+=double(n[i])*log10(n[i]/(ntot*pk));
1489    }
1490   }
1491  }
1492
1493  if (!f) // Exact Bayesian expression
1494  {
1495   psi+=LogNfac(ntot);
1496   psi*=-10.;
1497  }
1498  else // Frequentist (Stirling) approximation
1499  {
1500   psi*=10.;
1501  }
1502
1503  return psi;
1504 }
1505 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1506 Double_t AliMath::PsiValue(TH1F* his,TH1F* hyp,TF1* pdf,Int_t f) const
1507 {
1508 // Provide the Bayesian Psi value of observations of a counting experiment
1509 // (in histogram format) w.r.t. a Bernoulli class hypothesis B_m.
1510 // The hypothesis B_m represents a counting experiment with m different
1511 // possible outcomes and is completely defined by the probabilities
1512 // of the various outcomes (and the requirement that the sum of all these
1513 // probabilities equals 1).
1514 // The specification of a hypothesis B_m can be provided either in
1515 // histogram format (hyp) or via a probability distribution function (pdf),
1516 // as outlined below.
1517 // Note : The pdf does not need to be normalised.
1518 //
1519 // The Psi value provides (in dB scale) the amount of support that the
1520 // data can maximally give to any Bernoulli class hypothesis different
1521 // from the currently specified B_m.
1522 //
1523 // To be specific : Psi=-10*log[p(D|B_m I)]
1524 //
1525 // where p(D|B_m I) represents the likelihood of the data D under the condition
1526 // that B_m and some prior I are true.
1527 //
1528 // A Psi value of zero indicates a perfect match between the observations
1529 // and the specified hypothesis.
1530 // Further mathematical details can be found in astro-ph/0702029.
1531 //
1532 // his : The experimental observations in histogram format
1533 // hyp : Hypothetical observations according to some hypothesis
1534 // pdf : Probability distribution function for the hypothesis
1535 // f   : Flag to indicate the use of a frequentist (Stirling) approximation (f=1)
1536 //       or the exact Bayesian expression (f=0).
1537 //
1538 // In case no hypothesis is specified (i.e. hyp=0 and pdf=0), a uniform
1539 // background distribution is assumed.
1540 //
1541 // Default values are : hyp=0, pdf=0 and f=0.
1542 //
1543 // In the case of inconsistent input, a Psi value of -1 is returned.
1544 //
1545 //--- NvE 03-oct-2007 Utrecht University
1546
1547  Double_t psi=-1;
1548
1549  if (!his) return psi;
1550
1551  TAxis* xaxis=his->GetXaxis();
1552  Double_t xmin=xaxis->GetXmin();
1553  Double_t xmax=xaxis->GetXmax();
1554  Double_t range=xmax-xmin;
1555  Int_t nbins=his->GetNbinsX();
1556  Double_t nensig=his->GetEntries();
1557
1558  if (nbins<=0 || nensig<=0 || range<=0) return psi;
1559
1560  Int_t* n=new Int_t[nbins];
1561  Double_t* p=new Double_t[nbins];
1562  Int_t nk;
1563  Double_t pk;
1564
1565  // Uniform hypothesis distribution
1566  if (!hyp && !pdf)
1567  {
1568   for (Int_t i=1; i<=nbins; i++)
1569   {
1570    nk=int(his->GetBinContent(i));
1571    pk=his->GetBinWidth(i)/range;
1572    n[i-1]=0;
1573    p[i-1]=0;
1574    if (nk>0) n[i-1]=nk;
1575    if (pk>0) p[i-1]=pk;
1576   }
1577   psi=PsiValue(nbins,n,p,f);
1578  }
1579
1580  // Hypothesis specified via a pdf
1581  if (pdf && !hyp)
1582  {
1583   pdf->SetRange(xmin,xmax);
1584   Double_t ftot=pdf->Integral(xmin,xmax);
1585   if (ftot>0)
1586   {
1587    Double_t x1,x2;
1588    for (Int_t ipdf=1; ipdf<=nbins; ipdf++)
1589    {
1590     nk=int(his->GetBinContent(ipdf));
1591     x1=his->GetBinLowEdge(ipdf);
1592     x2=x1+his->GetBinWidth(ipdf);
1593     pk=pdf->Integral(x1,x2)/ftot;
1594     n[ipdf-1]=0;
1595     p[ipdf-1]=0;
1596     if (nk>0) n[ipdf-1]=nk;
1597     if (pk>0) p[ipdf-1]=pk;
1598    }
1599    psi=PsiValue(nbins,n,p,f);
1600   }
1601  }
1602
1603  // Hypothesis specified via a histogram
1604  if (hyp && !pdf)
1605  {
1606   TH1F* href=new TH1F(*his);
1607   href->Reset();
1608   Double_t nenhyp=hyp->GetEntries();
1609   Float_t x,y;
1610   for (Int_t ihyp=1; ihyp<=hyp->GetNbinsX(); ihyp++)
1611   {
1612    x=hyp->GetBinCenter(ihyp);
1613    y=hyp->GetBinContent(ihyp);
1614    href->Fill(x,y);
1615   }
1616   for (Int_t j=1; j<=nbins; j++)
1617   {
1618    nk=int(his->GetBinContent(j));
1619    pk=href->GetBinContent(j)/nenhyp;
1620    n[j-1]=0;
1621    p[j-1]=0;
1622    if (nk>0) n[j-1]=nk;
1623    if (pk>0) p[j-1]=pk;
1624   }
1625   psi=PsiValue(nbins,n,p,f);
1626   delete href;
1627  }
1628
1629  delete [] n;
1630  delete [] p;
1631
1632  return psi;
1633 }
1634 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1635 Double_t AliMath::Chi2Value(Int_t m,Int_t* n,Double_t* p,Int_t* ndf) const
1636 {
1637 // Provide the frequentist chi-squared value of observations of a counting
1638 // experiment w.r.t. a Bernoulli class hypothesis B_m.
1639 // The hypothesis B_m represents a counting experiment with m different
1640 // possible outcomes and is completely defined by the probabilities
1641 // of the various outcomes (and the requirement that the sum of all these
1642 // probabilities equals 1).
1643 //
1644 // Further mathematical details can be found in astro-ph/0702029.
1645 //
1646 // m   : The number of different possible outcomes of the counting experiment
1647 // n   : The observed number of different outcomes
1648 // p   : The probabilities of the different outcomes according to the hypothesis
1649 // ndf : The returned number of degrees of freedom
1650 //
1651 // Note : Both the arrays "n" and (when provided) "p" should be of dimension "m".
1652 //
1653 // In case no probabilities are given (i.e. pk=0), a uniform distribution
1654 // is assumed.
1655 //
1656 // The default values are pk=0 and ndf=0.
1657 //
1658 // In the case of inconsistent input, a chi-squared and ndf value of -1 is returned.
1659 //
1660 //--- NvE 03-oct-2007 Utrecht University
1661
1662  Double_t chi=-1;
1663  if (ndf) *ndf=-1;
1664
1665  if (m<=0 || !n) return chi;
1666
1667  Int_t ntot=0;
1668  for (Int_t j=0; j<m; j++)
1669  {
1670   if (n[j]>0) ntot+=n[j];
1671  }
1672
1673  chi=0;
1674  Double_t pk=1./float(m); // Prob. of getting outcome k for a uniform distr.
1675  for (Int_t i=0; i<m; i++)
1676  {
1677   if (p) pk=p[i]; // Probabilities from a specific B_m hypothesis
1678   if (n[i]>0 && pk>0 && ntot>0)
1679   {
1680    chi+=pow(double(n[i])-double(ntot)*pk,2)/(ntot*pk);
1681    if (ndf) (*ndf)=(*ndf)+1;
1682   }
1683  }
1684
1685  return chi;
1686 }
1687 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1688 Double_t AliMath::Chi2Value(TH1F* his,TH1F* hyp,TF1* pdf,Int_t* ndf) const
1689 {
1690 // Provide the frequentist chi-squared value of observations of a counting
1691 // experiment (in histogram format) w.r.t. a Bernoulli class hypothesis B_m.
1692 // The hypothesis B_m represents a counting experiment with m different
1693 // possible outcomes and is completely defined by the probabilities
1694 // of the various outcomes (and the requirement that the sum of all these
1695 // probabilities equals 1).
1696 // The specification of a hypothesis B_m can be provided either in
1697 // histogram format (hyp) or via a probability distribution function (pdf),
1698 // as outlined below.
1699 // Note : The pdf does not need to be normalised.
1700 //
1701 // Further mathematical details can be found in astro-ph/0702029.
1702 //
1703 // his : The experimental observations in histogram format
1704 // hyp : Hypothetical observations according to some hypothesis
1705 // pdf : Probability distribution function for the hypothesis
1706 // ndf : The returned number of degrees of freedom
1707 //
1708 // In case no hypothesis is specified (i.e. hyp=0 and pdf=0), a uniform
1709 // background distribution is assumed.
1710 //
1711 // Default values are : hyp=0, pdf=0 and ndf=0.
1712 //
1713 // In the case of inconsistent input, a chi-squared and ndf value of -1 is returned.
1714 //
1715 //--- NvE 03-oct-2007 Utrecht University
1716
1717  Double_t chi=-1;
1718
1719  if (!his) return chi;
1720
1721  TAxis* xaxis=his->GetXaxis();
1722  Double_t xmin=xaxis->GetXmin();
1723  Double_t xmax=xaxis->GetXmax();
1724  Double_t range=xmax-xmin;
1725  Int_t nbins=his->GetNbinsX();
1726  Double_t nensig=his->GetEntries();
1727
1728  if (nbins<=0 || nensig<=0 || range<=0) return chi;
1729
1730  Int_t* n=new Int_t[nbins];
1731  Double_t* p=new Double_t[nbins];
1732  Int_t nk;
1733  Double_t pk;
1734
1735  // Uniform hypothesis distribution
1736  if (!hyp && !pdf)
1737  {
1738   for (Int_t i=1; i<=nbins; i++)
1739   {
1740    nk=int(his->GetBinContent(i));
1741    pk=his->GetBinWidth(i)/range;
1742    n[i-1]=0;
1743    p[i-1]=0;
1744    if (nk>0) n[i-1]=nk;
1745    if (pk>0) p[i-1]=pk;
1746   }
1747   chi=Chi2Value(nbins,n,p,ndf);
1748  }
1749
1750  // Hypothesis specified via a pdf
1751  if (pdf && !hyp)
1752  {
1753   pdf->SetRange(xmin,xmax);
1754   Double_t ftot=pdf->Integral(xmin,xmax);
1755   if (ftot>0)
1756   {
1757    Double_t x1,x2;
1758    for (Int_t ipdf=1; ipdf<=nbins; ipdf++)
1759    {
1760     nk=int(his->GetBinContent(ipdf));
1761     x1=his->GetBinLowEdge(ipdf);
1762     x2=x1+his->GetBinWidth(ipdf);
1763     pk=pdf->Integral(x1,x2)/ftot;
1764     n[ipdf-1]=0;
1765     p[ipdf-1]=0;
1766     if (nk>0) n[ipdf-1]=nk;
1767     if (pk>0) p[ipdf-1]=pk;
1768    }
1769    chi=Chi2Value(nbins,n,p,ndf);
1770   }
1771  }
1772
1773  // Hypothesis specified via a histogram
1774  if (hyp && !pdf)
1775  {
1776   TH1F* href=new TH1F(*his);
1777   href->Reset();
1778   Double_t nenhyp=hyp->GetEntries();
1779   Float_t x,y;
1780   for (Int_t ihyp=1; ihyp<=hyp->GetNbinsX(); ihyp++)
1781   {
1782    x=hyp->GetBinCenter(ihyp);
1783    y=hyp->GetBinContent(ihyp);
1784    href->Fill(x,y);
1785   }
1786   for (Int_t j=1; j<=nbins; j++)
1787   {
1788    nk=int(his->GetBinContent(j));
1789    pk=href->GetBinContent(j)/nenhyp;
1790    n[j-1]=0;
1791    p[j-1]=0;
1792    if (nk>0) n[j-1]=nk;
1793    if (pk>0) p[j-1]=pk;
1794   }
1795   chi=Chi2Value(nbins,n,p,ndf);
1796   delete href;
1797  }
1798
1799  delete [] n;
1800  delete [] p;
1801
1802  return chi;
1803 }
1804 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////