STEER/AliExternalTrackParam.cxx

   1 /**************************************************************************
   2  * Copyright(c) 1998-1999, ALICE Experiment at CERN, All rights reserved. *
   3  *                                                                        *
   4  * Author: The ALICE Off-line Project.                                    *
   5  * Contributors are mentioned in the code where appropriate.              *
   6  *                                                                        *
   7  * Permission to use, copy, modify and distribute this software and its   *
   8  * documentation strictly for non-commercial purposes is hereby granted   *
   9  * without fee, provided that the above copyright notice appears in all   *
  10  * copies and that both the copyright notice and this permission notice   *
  11  * appear in the supporting documentation. The authors make no claims     *
  12  * about the suitability of this software for any purpose. It is          *
  13  * provided "as is" without express or implied warranty.                  *
  14  **************************************************************************/
  15
  16 /* $Id$ */
  17
  18 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  19 //                                                                           //
  20 // Implementation of the external track parameterisation class.              //
  21 //                                                                           //
  22 // This parameterisation is used to exchange tracks between the detectors.   //
  23 // A set of functions returning the position and the momentum of tracks      //
  24 // in the global coordinate system as well as the track impact parameters    //
  25 // are implemented.
  26 // Origin: I.Belikov, CERN, Jouri.Belikov@cern.ch                            //
  27 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  28 #include <TMatrixDSym.h>
  29 #include <TPolyMarker3D.h>
  30 #include <TVector3.h>
  31 #include <TMatrixD.h>
  32
  33 #include "AliExternalTrackParam.h"
  34 #include "AliVVertex.h"
  35 #include "AliLog.h"
  36
  37 ClassImp(AliExternalTrackParam)
  38
  39 Double32_t AliExternalTrackParam::fgMostProbablePt=kMostProbablePt;
  40
  41 //_____________________________________________________________________________
  42 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam() :
  43   AliVTrack(),
  44   fX(0),
  45   fAlpha(0)
  46 {
  47   //
  48   // default constructor
  49   //
  50   for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = 0;
  51   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = 0;
  52 }
  53
  54 //_____________________________________________________________________________
  55 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(const AliExternalTrackParam &track):
  56   AliVTrack(track),
  57   fX(track.fX),
  58   fAlpha(track.fAlpha)
  59 {
  60   //
  61   // copy constructor
  62   //
  63   for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = track.fP[i];
  64   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = track.fC[i];
  65 }
  66
  67 //_____________________________________________________________________________
  68 AliExternalTrackParam& AliExternalTrackParam::operator=(const AliExternalTrackParam &trkPar)
  69 {
  70   //
  71   // assignment operator
  72   //
  73
  74   if (this!=&trkPar) {
  75     AliVTrack::operator=(trkPar);
  76     fX = trkPar.fX;
  77     fAlpha = trkPar.fAlpha;
  78
  79     for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = trkPar.fP[i];
  80     for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = trkPar.fC[i];
  81   }
  82
  83   return *this;
  84 }
  85
  86 //_____________________________________________________________________________
  87 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(Double_t x, Double_t alpha,
  88                                              const Double_t param[5],
  89                                              const Double_t covar[15]) :
  90   AliVTrack(),
  91   fX(x),
  92   fAlpha(alpha)
  93 {
  94   //
  95   // create external track parameters from given arguments
  96   //
  97   for (Int_t i = 0; i < 5; i++)  fP[i] = param[i];
  98   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = covar[i];
  99 }
 100
 101 //_____________________________________________________________________________
 102 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(const AliVTrack *vTrack) :
 103   AliVTrack(),
 104   fX(0.),
 105   fAlpha(0.)
 106 {
 107   //
 108   // Constructor from virtual track,
 109   // This is not a copy contructor !
 110   //
 111
 112   if (vTrack->InheritsFrom("AliExternalTrackParam")) {
 113      AliError("This is not a copy constructor. Use AliExternalTrackParam(const AliExternalTrackParam &) !");
 114      AliWarning("Calling the default constructor...");
 115      AliExternalTrackParam();
 116      return;
 117   }
 118
 119   Double_t xyz[3],pxpypz[3],cv[21];
 120   vTrack->GetXYZ(xyz);
 121   pxpypz[0]=vTrack->Px();
 122   pxpypz[1]=vTrack->Py();
 123   pxpypz[2]=vTrack->Pz();
 124   vTrack->GetCovarianceXYZPxPyPz(cv);
 125   Short_t sign = (Short_t)vTrack->Charge();
 126
 127   Set(xyz,pxpypz,cv,sign);
 128 }
 129
 130 //_____________________________________________________________________________
 131 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(Double_t xyz[3],Double_t pxpypz[3],
 132                                              Double_t cv[21],Short_t sign) :
 133   AliVTrack(),
 134   fX(0.),
 135   fAlpha(0.)
 136 {
 137   //
 138   // constructor from the global parameters
 139   //
 140
 141   Set(xyz,pxpypz,cv,sign);
 142 }
 143
 144 //_____________________________________________________________________________
 145 void AliExternalTrackParam::Set(Double_t xyz[3],Double_t pxpypz[3],
 146                                 Double_t cv[21],Short_t sign)
 147 {
 148   //
 149   // create external track parameters from the global parameters
 150   // x,y,z,px,py,pz and their 6x6 covariance matrix
 151   // A.Dainese 10.10.08
 152
 153   // Calculate alpha: the rotation angle of the corresponding local system.
 154   //
 155   // For global radial position inside the beam pipe, alpha is the
 156   // azimuthal angle of the momentum projected on (x,y).
 157   //
 158   // For global radial position outside the ITS, alpha is the
 159   // azimuthal angle of the centre of the TPC sector in which the point
 160   // xyz lies
 161   //
 162   Double_t radPos2 = xyz[0]*xyz[0]+xyz[1]*xyz[1];
 163   Double_t radMax  = 45.; // approximately ITS outer radius
 164   if (radPos2 < radMax*radMax) { // inside the ITS
 165
 166      fAlpha = TMath::ATan2(pxpypz[1],pxpypz[0]);
 167   } else { // outside the ITS
 168      Float_t phiPos = TMath::Pi()+TMath::ATan2(-xyz[1], -xyz[0]);
 169      fAlpha =
 170      TMath::DegToRad()*(20*((((Int_t)(phiPos*TMath::RadToDeg()))/20))+10);
 171   }
 172
 173   // Get the vertex of origin and the momentum
 174   TVector3 ver(xyz[0],xyz[1],xyz[2]);
 175   TVector3 mom(pxpypz[0],pxpypz[1],pxpypz[2]);
 176
 177   // Rotate to the local coordinate system
 178   ver.RotateZ(-fAlpha);
 179   mom.RotateZ(-fAlpha);
 180
 181   // x of the reference plane
 182   fX = ver.X();
 183
 184   Double_t charge = (Double_t)sign;
 185
 186   fP[0] = ver.Y();
 187   fP[1] = ver.Z();
 188   fP[2] = TMath::Sin(mom.Phi());
 189   fP[3] = mom.Pz()/mom.Pt();
 190   fP[4] = TMath::Sign(1/mom.Pt(),charge);
 191
 192   // Covariance matrix (formulas to be simplified)
 193
 194   Double_t pt=1./TMath::Abs(fP[4]);
 195   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
 196   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2]));
 197
 198   Double_t m00=-sn;// m10=cs;
 199   Double_t m23=-pt*(sn + fP[2]*cs/r), m43=-pt*pt*(r*cs - fP[2]*sn);
 200   Double_t m24= pt*(cs - fP[2]*sn/r), m44=-pt*pt*(r*sn + fP[2]*cs);
 201   Double_t m35=pt, m45=-pt*pt*fP[3];
 202
 203   m43*=GetSign();
 204   m44*=GetSign();
 205   m45*=GetSign();
 206
 207   Double_t cv34 = TMath::Sqrt(cv[3 ]*cv[3 ]+cv[4 ]*cv[4 ]);
 208   Double_t a1=cv[13]-cv[9]*(m23*m44+m43*m24)/m23/m43;
 209   Double_t a2=m23*m24-m23*(m23*m44+m43*m24)/m43;
 210   Double_t a3=m43*m44-m43*(m23*m44+m43*m24)/m23;
 211   Double_t a4=cv[14]-2.*cv[9]*m24*m44/m23/m43;
 212   Double_t a5=m24*m24-2.*m24*m44*m23/m43;
 213   Double_t a6=m44*m44-2.*m24*m44*m43/m23;
 214
 215   fC[0 ] = cv[0 ]+cv[2 ];
 216   fC[1 ] = TMath::Sign(cv34,cv[3 ]/m00);
 217   fC[2 ] = cv[5 ];
 218   fC[3 ] = (cv[10]/m44-cv[6]/m43)/(m24/m44-m23/m43)/m00;
 219   fC[10] = (cv[6]/m00-fC[3 ]*m23)/m43;
 220   fC[6 ] = (cv[15]/m00-fC[10]*m45)/m35;
 221   fC[4 ] = (cv[12]-cv[8]*m44/m43)/(m24-m23*m44/m43);
 222   fC[11] = (cv[8]-fC[4]*m23)/m43;
 223   fC[7 ] = cv[17]/m35-fC[11]*m45/m35;
 224   fC[5 ] = TMath::Abs((a4-a6*a1/a3)/(a5-a6*a2/a3));
 225   fC[14] = TMath::Abs(a1/a3-a2*fC[5]/a3);
 226   fC[12] = (cv[9]-fC[5]*m23*m23-fC[14]*m43*m43)/m23/m43;
 227   Double_t b1=cv[18]-fC[12]*m23*m45-fC[14]*m43*m45;
 228   Double_t b2=m23*m35;
 229   Double_t b3=m43*m35;
 230   Double_t b4=cv[19]-fC[12]*m24*m45-fC[14]*m44*m45;
 231   Double_t b5=m24*m35;
 232   Double_t b6=m44*m35;
 233   fC[8 ] = (b4-b6*b1/b3)/(b5-b6*b2/b3);
 234   fC[13] = b1/b3-b2*fC[8]/b3;
 235   fC[9 ] = TMath::Abs((cv[20]-fC[14]*(m45*m45)-fC[13]*2.*m35*m45)/(m35*m35));
 236
 237   return;
 238 }
 239
 240 //_____________________________________________________________________________
 241 void AliExternalTrackParam::Reset() {
 242   //
 243   // Resets all the parameters to 0
 244   //
 245   fX=fAlpha=0.;
 246   for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = 0;
 247   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = 0;
 248 }
 249
 250 //_____________________________________________________________________________
 251 void AliExternalTrackParam::AddCovariance(const Double_t c[15]) {
 252   //
 253   // Add "something" to the track covarince matrix.
 254   // May be needed to account for unknown mis-calibration/mis-alignment
 255   //
 256     fC[0] +=c[0];
 257     fC[1] +=c[1];  fC[2] +=c[2];
 258     fC[3] +=c[3];  fC[4] +=c[4];  fC[5] +=c[5];
 259     fC[6] +=c[6];  fC[7] +=c[7];  fC[8] +=c[8];  fC[9] +=c[9];
 260     fC[10]+=c[10]; fC[11]+=c[11]; fC[12]+=c[12]; fC[13]+=c[13]; fC[14]+=c[14];
 261 }
 262
 263
 264 Double_t AliExternalTrackParam::GetP() const {
 265   //---------------------------------------------------------------------
 266   // This function returns the track momentum
 267   // Results for (nearly) straight tracks are meaningless !
 268   //---------------------------------------------------------------------
 269   if (TMath::Abs(fP[4])<=kAlmost0) return kVeryBig;
 270   return TMath::Sqrt(1.+ fP[3]*fP[3])/TMath::Abs(fP[4]);
 271 }
 272
 273 Double_t AliExternalTrackParam::Get1P() const {
 274   //---------------------------------------------------------------------
 275   // This function returns the 1/(track momentum)
 276   //---------------------------------------------------------------------
 277   return TMath::Abs(fP[4])/TMath::Sqrt(1.+ fP[3]*fP[3]);
 278 }
 279
 280 //_______________________________________________________________________
 281 Double_t AliExternalTrackParam::GetD(Double_t x,Double_t y,Double_t b) const {
 282   //------------------------------------------------------------------
 283   // This function calculates the transverse impact parameter
 284   // with respect to a point with global coordinates (x,y)
 285   // in the magnetic field "b" (kG)
 286   //------------------------------------------------------------------
 287   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) return GetLinearD(x,y);
 288   Double_t rp4=GetC(b);
 289
 290   Double_t xt=fX, yt=fP[0];
 291
 292   Double_t sn=TMath::Sin(fAlpha), cs=TMath::Cos(fAlpha);
 293   Double_t a = x*cs + y*sn;
 294   y = -x*sn + y*cs; x=a;
 295   xt-=x; yt-=y;
 296
 297   sn=rp4*xt - fP[2]; cs=rp4*yt + TMath::Sqrt(1.- fP[2]*fP[2]);
 298   a=2*(xt*fP[2] - yt*TMath::Sqrt(1.- fP[2]*fP[2]))-rp4*(xt*xt + yt*yt);
 299   return  -a/(1 + TMath::Sqrt(sn*sn + cs*cs));
 300 }
 301
 302 //_______________________________________________________________________
 303 void AliExternalTrackParam::
 304 GetDZ(Double_t x, Double_t y, Double_t z, Double_t b, Float_t dz[2]) const {
 305   //------------------------------------------------------------------
 306   // This function calculates the transverse and longitudinal impact parameters
 307   // with respect to a point with global coordinates (x,y)
 308   // in the magnetic field "b" (kG)
 309   //------------------------------------------------------------------
 310   Double_t f1 = fP[2], r1 = TMath::Sqrt(1. - f1*f1);
 311   Double_t xt=fX, yt=fP[0];
 312   Double_t sn=TMath::Sin(fAlpha), cs=TMath::Cos(fAlpha);
 313   Double_t a = x*cs + y*sn;
 314   y = -x*sn + y*cs; x=a;
 315   xt-=x; yt-=y;
 316
 317   Double_t rp4=GetC(b);
 318   if ((TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) || (TMath::Abs(rp4) < kAlmost0)) {
 319      dz[0] = -(xt*f1 - yt*r1);
 320      dz[1] = fP[1] + (dz[0]*f1 - xt)/r1*fP[3] - z;
 321      return;
 322   }
 323
 324   sn=rp4*xt - f1; cs=rp4*yt + r1;
 325   a=2*(xt*f1 - yt*r1)-rp4*(xt*xt + yt*yt);
 326   Double_t rr=TMath::Sqrt(sn*sn + cs*cs);
 327   dz[0] = -a/(1 + rr);
 328   Double_t f2 = -sn/rr, r2 = TMath::Sqrt(1. - f2*f2);
 329   dz[1] = fP[1] + fP[3]/rp4*TMath::ASin(f2*r1 - f1*r2) - z;
 330 }
 331
 332 //_______________________________________________________________________
 333 Double_t AliExternalTrackParam::GetLinearD(Double_t xv,Double_t yv) const {
 334   //------------------------------------------------------------------
 335   // This function calculates the transverse impact parameter
 336   // with respect to a point with global coordinates (xv,yv)
 337   // neglecting the track curvature.
 338   //------------------------------------------------------------------
 339   Double_t sn=TMath::Sin(fAlpha), cs=TMath::Cos(fAlpha);
 340   Double_t x= xv*cs + yv*sn;
 341   Double_t y=-xv*sn + yv*cs;
 342
 343   Double_t d = (fX-x)*fP[2] - (fP[0]-y)*TMath::Sqrt(1.- fP[2]*fP[2]);
 344
 345   return -d;
 346 }
 347
 348 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMeanMaterial
 349 (Double_t xOverX0,  Double_t xTimesRho, Double_t mass, Bool_t anglecorr,
 350  Double_t (*Bethe)(Double_t)) {
 351   //------------------------------------------------------------------
 352   // This function corrects the track parameters for the crossed material.
 353   // "xOverX0"   - X/X0, the thickness in units of the radiation length.
 354   // "xTimesRho" - is the product length*density (g/cm^2).
 355   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2).
 356   //------------------------------------------------------------------
 357   Double_t &fP2=fP[2];
 358   Double_t &fP3=fP[3];
 359   Double_t &fP4=fP[4];
 360
 361   Double_t &fC22=fC[5];
 362   Double_t &fC33=fC[9];
 363   Double_t &fC43=fC[13];
 364   Double_t &fC44=fC[14];
 365
 366   //Apply angle correction, if requested
 367   if(anglecorr) {
 368     Double_t angle=TMath::Sqrt((1.+ fP3*fP3)/(1.- fP2*fP2));
 369     xOverX0 *=angle;
 370     xTimesRho *=angle;
 371   }
 372
 373   Double_t p=GetP();
 374   Double_t p2=p*p;
 375   Double_t beta2=p2/(p2 + mass*mass);
 376
 377   //Calculating the multiple scattering corrections******************
 378   Double_t cC22 = 0.;
 379   Double_t cC33 = 0.;
 380   Double_t cC43 = 0.;
 381   Double_t cC44 = 0.;
 382   if (xOverX0 != 0) {
 383      Double_t theta2=14.1*14.1/(beta2*p2*1e6)*TMath::Abs(xOverX0);
 384      //Double_t theta2=1.0259e-6*14*14/28/(beta2*p2)*TMath::Abs(d)*9.36*2.33;
 385      if(theta2>TMath::Pi()*TMath::Pi()) return kFALSE;
 386      cC22 = theta2*(1.- fP2*fP2)*(1. + fP3*fP3);
 387      cC33 = theta2*(1. + fP3*fP3)*(1. + fP3*fP3);
 388      cC43 = theta2*fP3*fP4*(1. + fP3*fP3);
 389      cC44 = theta2*fP3*fP4*fP3*fP4;
 390   }
 391
 392   //Calculating the energy loss corrections************************
 393   Double_t cP4=1.;
 394   if ((xTimesRho != 0.) && (beta2 < 1.)) {
 395      Double_t dE=Bethe(p/mass)*xTimesRho;
 396      Double_t e=TMath::Sqrt(p2 + mass*mass);
 397      if ( TMath::Abs(dE) > 0.3*e ) return kFALSE; //30% energy loss is too much!
 398      cP4 = (1.- e/p2*dE);
 399      if (TMath::Abs(fP4*cP4)>100.) return kFALSE; //Do not track below 10 MeV/c
 400
 401
 402      // Approximate energy loss fluctuation (M.Ivanov)
 403      const Double_t knst=0.07; // To be tuned.
 404      Double_t sigmadE=knst*TMath::Sqrt(TMath::Abs(dE));
 405      cC44 += ((sigmadE*e/p2*fP4)*(sigmadE*e/p2*fP4));
 406
 407   }
 408
 409   //Applying the corrections*****************************
 410   fC22 += cC22;
 411   fC33 += cC33;
 412   fC43 += cC43;
 413   fC44 += cC44;
 414   fP4  *= cP4;
 415
 416   return kTRUE;
 417 }
 418
 419
 420 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMaterial
 421 (Double_t d,  Double_t x0, Double_t mass, Double_t (*Bethe)(Double_t)) {
 422   //------------------------------------------------------------------
 423   //                    Deprecated function !
 424   //       Better use CorrectForMeanMaterial instead of it.
 425   //
 426   // This function corrects the track parameters for the crossed material
 427   // "d"    - the thickness (fraction of the radiation length)
 428   // "x0"   - the radiation length (g/cm^2)
 429   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2)
 430   //------------------------------------------------------------------
 431   Double_t &fP2=fP[2];
 432   Double_t &fP3=fP[3];
 433   Double_t &fP4=fP[4];
 434
 435   Double_t &fC22=fC[5];
 436   Double_t &fC33=fC[9];
 437   Double_t &fC43=fC[13];
 438   Double_t &fC44=fC[14];
 439
 440   Double_t p=GetP();
 441   Double_t p2=p*p;
 442   Double_t beta2=p2/(p2 + mass*mass);
 443   d*=TMath::Sqrt((1.+ fP3*fP3)/(1.- fP2*fP2));
 444
 445   //Multiple scattering******************
 446   Double_t cC22 = 0.;
 447   Double_t cC33 = 0.;
 448   Double_t cC43 = 0.;
 449   Double_t cC44 = 0.;
 450   if (d!=0) {
 451      Double_t theta2=14.1*14.1/(beta2*p2*1e6)*TMath::Abs(d);
 452      //Double_t theta2=1.0259e-6*14*14/28/(beta2*p2)*TMath::Abs(d)*9.36*2.33;
 453      if(theta2>TMath::Pi()*TMath::Pi()) return kFALSE;
 454      cC22 = theta2*(1.- fP2*fP2)*(1. + fP3*fP3);
 455      cC33 = theta2*(1. + fP3*fP3)*(1. + fP3*fP3);
 456      cC43 = theta2*fP3*fP4*(1. + fP3*fP3);
 457      cC44 = theta2*fP3*fP4*fP3*fP4;
 458   }
 459
 460   //Energy losses************************
 461   Double_t cP4=1.;
 462   if (x0!=0. && beta2<1) {
 463      d*=x0;
 464      Double_t dE=Bethe(p/mass)*d;
 465      Double_t e=TMath::Sqrt(p2 + mass*mass);
 466      if ( TMath::Abs(dE) > 0.3*e ) return kFALSE; //30% energy loss is too much!
 467      cP4 = (1.- e/p2*dE);
 468
 469      // Approximate energy loss fluctuation (M.Ivanov)
 470      const Double_t knst=0.07; // To be tuned.
 471      Double_t sigmadE=knst*TMath::Sqrt(TMath::Abs(dE));
 472      cC44 += ((sigmadE*e/p2*fP4)*(sigmadE*e/p2*fP4));
 473
 474   }
 475
 476   fC22 += cC22;
 477   fC33 += cC33;
 478   fC43 += cC43;
 479   fC44 += cC44;
 480   fP4  *= cP4;
 481
 482   return kTRUE;
 483 }
 484
 485 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochAleph(Double_t bg,
 486          Double_t kp1,
 487          Double_t kp2,
 488          Double_t kp3,
 489          Double_t kp4,
 490          Double_t kp5) {
 491   //
 492   // This is the empirical ALEPH parameterization of the Bethe-Bloch formula.
 493   // It is normalized to 1 at the minimum.
 494   //
 495   // bg - beta*gamma
 496   //
 497   // The default values for the kp* parameters are for ALICE TPC.
 498   // The returned value is in MIP units
 499   //
 500
 501   Double_t beta = bg/TMath::Sqrt(1.+ bg*bg);
 502
 503   Double_t aa = TMath::Power(beta,kp4);
 504   Double_t bb = TMath::Power(1./bg,kp5);
 505
 506   bb=TMath::Log(kp3+bb);
 507
 508   return (kp2-aa-bb)*kp1/aa;
 509 }
 510
 511 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochGeant(Double_t bg,
 512          Double_t kp0,
 513          Double_t kp1,
 514          Double_t kp2,
 515          Double_t kp3,
 516          Double_t kp4) {
 517   //
 518   // This is the parameterization of the Bethe-Bloch formula inspired by Geant.
 519   //
 520   // bg  - beta*gamma
 521   // kp0 - density [g/cm^3]
 522   // kp1 - density effect first junction point
 523   // kp2 - density effect second junction point
 524   // kp3 - mean excitation energy [GeV]
 525   // kp4 - mean Z/A
 526   //
 527   // The default values for the kp* parameters are for silicon.
 528   // The returned value is in [GeV/(g/cm^2)].
 529   //
 530
 531   const Double_t mK  = 0.307075e-3; // [GeV*cm^2/g]
 532   const Double_t me  = 0.511e-3;    // [GeV/c^2]
 533   const Double_t rho = kp0;
 534   const Double_t x0  = kp1*2.303;
 535   const Double_t x1  = kp2*2.303;
 536   const Double_t mI  = kp3;
 537   const Double_t mZA = kp4;
 538   const Double_t bg2 = bg*bg;
 539   const Double_t maxT= 2*me*bg2;    // neglecting the electron mass
 540
 541   //*** Density effect
 542   Double_t d2=0.;
 543   const Double_t x=TMath::Log(bg);
 544   const Double_t lhwI=TMath::Log(28.816*1e-9*TMath::Sqrt(rho*mZA)/mI);
 545   if (x > x1) {
 546     d2 = lhwI + x - 0.5;
 547   } else if (x > x0) {
 548     const Double_t r=(x1-x)/(x1-x0);
 549     d2 = lhwI + x - 0.5 + (0.5 - lhwI - x0)*r*r*r;
 550   }
 551
 552   return mK*mZA*(1+bg2)/bg2*
 553          (0.5*TMath::Log(2*me*bg2*maxT/(mI*mI)) - bg2/(1+bg2) - d2);
 554 }
 555
 556 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochSolid(Double_t bg) {
 557   //------------------------------------------------------------------
 558   // This is an approximation of the Bethe-Bloch formula,
 559   // reasonable for solid materials.
 560   // All the parameters are, in fact, for Si.
 561   // The returned value is in [GeV/(g/cm^2)]
 562   //------------------------------------------------------------------
 563
 564   return BetheBlochGeant(bg);
 565 }
 566
 567 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochGas(Double_t bg) {
 568   //------------------------------------------------------------------
 569   // This is an approximation of the Bethe-Bloch formula,
 570   // reasonable for gas materials.
 571   // All the parameters are, in fact, for Ne.
 572   // The returned value is in [GeV/(g/cm^2)]
 573   //------------------------------------------------------------------
 574
 575   const Double_t rho = 0.9e-3;
 576   const Double_t x0  = 2.;
 577   const Double_t x1  = 4.;
 578   const Double_t mI  = 140.e-9;
 579   const Double_t mZA = 0.49555;
 580
 581   return BetheBlochGeant(bg,rho,x0,x1,mI,mZA);
 582 }
 583
 584 Bool_t AliExternalTrackParam::Rotate(Double_t alpha) {
 585   //------------------------------------------------------------------
 586   // Transform this track to the local coord. system rotated
 587   // by angle "alpha" (rad) with respect to the global coord. system.
 588   //------------------------------------------------------------------
 589   if (TMath::Abs(fP[2]) >= kAlmost1) {
 590      AliError(Form("Precondition is not satisfied: |sin(phi)|>1 ! %f",fP[2]));
 591      return kFALSE;
 592   }
 593
 594   if      (alpha < -TMath::Pi()) alpha += 2*TMath::Pi();
 595   else if (alpha >= TMath::Pi()) alpha -= 2*TMath::Pi();
 596
 597   Double_t &fP0=fP[0];
 598   Double_t &fP2=fP[2];
 599   Double_t &fC00=fC[0];
 600   Double_t &fC10=fC[1];
 601   Double_t &fC20=fC[3];
 602   Double_t &fC21=fC[4];
 603   Double_t &fC22=fC[5];
 604   Double_t &fC30=fC[6];
 605   Double_t &fC32=fC[8];
 606   Double_t &fC40=fC[10];
 607   Double_t &fC42=fC[12];
 608
 609   Double_t x=fX;
 610   Double_t ca=TMath::Cos(alpha-fAlpha), sa=TMath::Sin(alpha-fAlpha);
 611   Double_t sf=fP2, cf=TMath::Sqrt(1.- fP2*fP2);
 612
 613   Double_t tmp=sf*ca - cf*sa;
 614   if (TMath::Abs(tmp) >= kAlmost1) {
 615      AliError(Form("Rotation failed ! %.10e",tmp));
 616      return kFALSE;
 617   }
 618
 619   fAlpha = alpha;
 620   fX =  x*ca + fP0*sa;
 621   fP0= -x*sa + fP0*ca;
 622   fP2=  tmp;
 623
 624   if (TMath::Abs(cf)<kAlmost0) {
 625     AliError(Form("Too small cosine value %f",cf));
 626     cf = kAlmost0;
 627   }
 628
 629   Double_t rr=(ca+sf/cf*sa);
 630
 631   fC00 *= (ca*ca);
 632   fC10 *= ca;
 633   fC20 *= ca*rr;
 634   fC21 *= rr;
 635   fC22 *= rr*rr;
 636   fC30 *= ca;
 637   fC32 *= rr;
 638   fC40 *= ca;
 639   fC42 *= rr;
 640
 641   return kTRUE;
 642 }
 643
 644 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateTo(Double_t xk, Double_t b) {
 645   //----------------------------------------------------------------
 646   // Propagate this track to the plane X=xk (cm) in the field "b" (kG)
 647   //----------------------------------------------------------------
 648   Double_t dx=xk-fX;
 649   if (TMath::Abs(dx)<=kAlmost0)  return kTRUE;
 650
 651   Double_t crv=GetC(b);
 652   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
 653
 654   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + crv*dx;
 655   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
 656   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
 657
 658   Double_t &fP0=fP[0], &fP1=fP[1], &fP2=fP[2], &fP3=fP[3], &fP4=fP[4];
 659   Double_t
 660   &fC00=fC[0],
 661   &fC10=fC[1],   &fC11=fC[2],
 662   &fC20=fC[3],   &fC21=fC[4],   &fC22=fC[5],
 663   &fC30=fC[6],   &fC31=fC[7],   &fC32=fC[8],   &fC33=fC[9],
 664   &fC40=fC[10],  &fC41=fC[11],  &fC42=fC[12],  &fC43=fC[13], &fC44=fC[14];
 665
 666   Double_t r1=TMath::Sqrt(1.- f1*f1), r2=TMath::Sqrt(1.- f2*f2);
 667
 668   fX=xk;
 669   fP0 += dx*(f1+f2)/(r1+r2);
 670   fP1 += dx*(r2 + f2*(f1+f2)/(r1+r2))*fP3;  // Many thanks to P.Hristov !
 671   fP2 += dx*crv;
 672
 673   //f = F - 1
 674
 675   Double_t f02=    dx/(r1*r1*r1);            Double_t cc=crv/fP4;
 676   Double_t f04=0.5*dx*dx/(r1*r1*r1);         f04*=cc;
 677   Double_t f12=    dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);
 678   Double_t f14=0.5*dx*dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);  f14*=cc;
 679   Double_t f13=    dx/r1;
 680   Double_t f24=    dx;                       f24*=cc;
 681
 682   //b = C*ft
 683   Double_t b00=f02*fC20 + f04*fC40, b01=f12*fC20 + f14*fC40 + f13*fC30;
 684   Double_t b02=f24*fC40;
 685   Double_t b10=f02*fC21 + f04*fC41, b11=f12*fC21 + f14*fC41 + f13*fC31;
 686   Double_t b12=f24*fC41;
 687   Double_t b20=f02*fC22 + f04*fC42, b21=f12*fC22 + f14*fC42 + f13*fC32;
 688   Double_t b22=f24*fC42;
 689   Double_t b40=f02*fC42 + f04*fC44, b41=f12*fC42 + f14*fC44 + f13*fC43;
 690   Double_t b42=f24*fC44;
 691   Double_t b30=f02*fC32 + f04*fC43, b31=f12*fC32 + f14*fC43 + f13*fC33;
 692   Double_t b32=f24*fC43;
 693
 694   //a = f*b = f*C*ft
 695   Double_t a00=f02*b20+f04*b40,a01=f02*b21+f04*b41,a02=f02*b22+f04*b42;
 696   Double_t a11=f12*b21+f14*b41+f13*b31,a12=f12*b22+f14*b42+f13*b32;
 697   Double_t a22=f24*b42;
 698
 699   //F*C*Ft = C + (b + bt + a)
 700   fC00 += b00 + b00 + a00;
 701   fC10 += b10 + b01 + a01;
 702   fC20 += b20 + b02 + a02;
 703   fC30 += b30;
 704   fC40 += b40;
 705   fC11 += b11 + b11 + a11;
 706   fC21 += b21 + b12 + a12;
 707   fC31 += b31;
 708   fC41 += b41;
 709   fC22 += b22 + b22 + a22;
 710   fC32 += b32;
 711   fC42 += b42;
 712
 713   return kTRUE;
 714 }
 715
 716 Bool_t
 717 AliExternalTrackParam::Propagate(Double_t alpha, Double_t x, Double_t b) {
 718   //------------------------------------------------------------------
 719   // Transform this track to the local coord. system rotated
 720   // by angle "alpha" (rad) with respect to the global coord. system,
 721   // and propagate this track to the plane X=xk (cm) in the field "b" (kG)
 722   //------------------------------------------------------------------
 723
 724   //Save the parameters
 725   Double_t as=fAlpha;
 726   Double_t xs=fX;
 727   Double_t ps[5], cs[15];
 728   for (Int_t i=0; i<5;  i++) ps[i]=fP[i];
 729   for (Int_t i=0; i<15; i++) cs[i]=fC[i];
 730
 731   if (Rotate(alpha))
 732      if (PropagateTo(x,b)) return kTRUE;
 733
 734   //Restore the parameters, if the operation failed
 735   fAlpha=as;
 736   fX=xs;
 737   for (Int_t i=0; i<5;  i++) fP[i]=ps[i];
 738   for (Int_t i=0; i<15; i++) fC[i]=cs[i];
 739   return kFALSE;
 740 }
 741
 742
 743 void AliExternalTrackParam::Propagate(Double_t len, Double_t x[3],
 744 Double_t p[3], Double_t bz) const {
 745   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 746   // Origin: K. Shileev (Kirill.Shileev@cern.ch)
 747   // Extrapolate track along simple helix in magnetic field
 748   // Arguments: len -distance alogn helix, [cm]
 749   //            bz  - mag field, [kGaus]
 750   // Returns: x and p contain extrapolated positon and momentum
 751   // The momentum returned for straight-line tracks is meaningless !
 752   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 753   GetXYZ(x);
 754
 755   if (OneOverPt() < kAlmost0 || TMath::Abs(bz) < kAlmost0Field || GetC(bz) < kAlmost0){ //straight-line tracks
 756      Double_t unit[3]; GetDirection(unit);
 757      x[0]+=unit[0]*len;
 758      x[1]+=unit[1]*len;
 759      x[2]+=unit[2]*len;
 760
 761      p[0]=unit[0]/kAlmost0;
 762      p[1]=unit[1]/kAlmost0;
 763      p[2]=unit[2]/kAlmost0;
 764   } else {
 765      GetPxPyPz(p);
 766      Double_t pp=GetP();
 767      Double_t a = -kB2C*bz*GetSign();
 768      Double_t rho = a/pp;
 769      x[0] += p[0]*TMath::Sin(rho*len)/a - p[1]*(1-TMath::Cos(rho*len))/a;
 770      x[1] += p[1]*TMath::Sin(rho*len)/a + p[0]*(1-TMath::Cos(rho*len))/a;
 771      x[2] += p[2]*len/pp;
 772
 773      Double_t p0=p[0];
 774      p[0] = p0  *TMath::Cos(rho*len) - p[1]*TMath::Sin(rho*len);
 775      p[1] = p[1]*TMath::Cos(rho*len) + p0  *TMath::Sin(rho*len);
 776   }
 777 }
 778
 779 Bool_t AliExternalTrackParam::Intersect(Double_t pnt[3], Double_t norm[3],
 780 Double_t bz) const {
 781   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 782   // Origin: K. Shileev (Kirill.Shileev@cern.ch)
 783   // Finds point of intersection (if exists) of the helix with the plane.
 784   // Stores result in fX and fP.
 785   // Arguments: planePoint,planeNorm - the plane defined by any plane's point
 786   // and vector, normal to the plane
 787   // Returns: kTrue if helix intersects the plane, kFALSE otherwise.
 788   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 789   Double_t x0[3]; GetXYZ(x0); //get track position in MARS
 790
 791   //estimates initial helix length up to plane
 792   Double_t s=
 793     (pnt[0]-x0[0])*norm[0] + (pnt[1]-x0[1])*norm[1] + (pnt[2]-x0[2])*norm[2];
 794   Double_t dist=99999,distPrev=dist;
 795   Double_t x[3],p[3];
 796   while(TMath::Abs(dist)>0.00001){
 797     //calculates helix at the distance s from x0 ALONG the helix
 798     Propagate(s,x,p,bz);
 799
 800     //distance between current helix position and plane
 801     dist=(x[0]-pnt[0])*norm[0]+(x[1]-pnt[1])*norm[1]+(x[2]-pnt[2])*norm[2];
 802
 803     if(TMath::Abs(dist) >= TMath::Abs(distPrev)) {return kFALSE;}
 804     distPrev=dist;
 805     s-=dist;
 806   }
 807   //on exit pnt is intersection point,norm is track vector at that point,
 808   //all in MARS
 809   for (Int_t i=0; i<3; i++) {pnt[i]=x[i]; norm[i]=p[i];}
 810   return kTRUE;
 811 }
 812
 813 Double_t
 814 AliExternalTrackParam::GetPredictedChi2(Double_t p[2],Double_t cov[3]) const {
 815   //----------------------------------------------------------------
 816   // Estimate the chi2 of the space point "p" with the cov. matrix "cov"
 817   //----------------------------------------------------------------
 818   Double_t sdd = fC[0] + cov[0];
 819   Double_t sdz = fC[1] + cov[1];
 820   Double_t szz = fC[2] + cov[2];
 821   Double_t det = sdd*szz - sdz*sdz;
 822
 823   if (TMath::Abs(det) < kAlmost0) return kVeryBig;
 824
 825   Double_t d = fP[0] - p[0];
 826   Double_t z = fP[1] - p[1];
 827
 828   return (d*szz*d - 2*d*sdz*z + z*sdd*z)/det;
 829 }
 830
 831 Double_t AliExternalTrackParam::
 832 GetPredictedChi2(Double_t p[3],Double_t covyz[3],Double_t covxyz[3]) const {
 833   //----------------------------------------------------------------
 834   // Estimate the chi2 of the 3D space point "p" and
 835   // the full covariance matrix "covyz" and "covxyz"
 836   //
 837   // Cov(x,x) ... :   covxyz[0]
 838   // Cov(y,x) ... :   covxyz[1]  covyz[0]
 839   // Cov(z,x) ... :   covxyz[2]  covyz[1]  covyz[2]
 840   //----------------------------------------------------------------
 841
 842   Double_t res[3] = {
 843     GetX() - p[0],
 844     GetY() - p[1],
 845     GetZ() - p[2]
 846   };
 847
 848   Double_t f=GetSnp();
 849   if (TMath::Abs(f) >= kAlmost1) return kVeryBig;
 850   Double_t r=TMath::Sqrt(1.- f*f);
 851   Double_t a=f/r, b=GetTgl()/r;
 852
 853   Double_t s2=333.*333.;  //something reasonably big (cm^2)
 854
 855   TMatrixDSym v(3);
 856   v(0,0)=  s2;  v(0,1)=  a*s2;                 v(0,2)=  b*s2;;
 857   v(1,0)=a*s2;  v(1,1)=a*a*s2 + GetSigmaY2();  v(1,2)=a*b*s2 + GetSigmaZY();
 858   v(2,0)=b*s2;  v(2,1)=a*b*s2 + GetSigmaZY();  v(2,2)=b*b*s2 + GetSigmaZ2();
 859
 860   v(0,0)+=covxyz[0]; v(0,1)+=covxyz[1]; v(0,2)+=covxyz[2];
 861   v(1,0)+=covxyz[1]; v(1,1)+=covyz[0];  v(1,2)+=covyz[1];
 862   v(2,0)+=covxyz[2]; v(2,1)+=covyz[1];  v(2,2)+=covyz[2];
 863
 864   v.Invert();
 865   if (!v.IsValid()) return kVeryBig;
 866
 867   Double_t chi2=0.;
 868   for (Int_t i = 0; i < 3; i++)
 869     for (Int_t j = 0; j < 3; j++) chi2 += res[i]*res[j]*v(i,j);
 870
 871   return chi2;
 872 }
 873
 874 Double_t AliExternalTrackParam::
 875 GetPredictedChi2(const AliExternalTrackParam *t) const {
 876   //----------------------------------------------------------------
 877   // Estimate the chi2 (5 dof) of this track with respect to the track
 878   // given by the argument.
 879   // The two tracks must be in the same reference system
 880   // and estimated at the same reference plane.
 881   //----------------------------------------------------------------
 882
 883   if (TMath::Abs(1. - t->GetAlpha()/GetAlpha()) > FLT_EPSILON) {
 884       AliError("The reference systems of the tracks differ !");
 885       return kVeryBig;
 886   }
 887   if (TMath::Abs(1. - t->GetX()/GetX()) > FLT_EPSILON) {
 888       AliError("The reference of the tracks planes differ !");
 889       return kVeryBig;
 890   }
 891
 892   TMatrixDSym c(5);
 893     c(0,0)=GetSigmaY2();
 894     c(1,0)=GetSigmaZY();   c(1,1)=GetSigmaZ2();
 895     c(2,0)=GetSigmaSnpY(); c(2,1)=GetSigmaSnpZ(); c(2,2)=GetSigmaSnp2();
 896     c(3,0)=GetSigmaTglY(); c(3,1)=GetSigmaTglZ(); c(3,2)=GetSigmaTglSnp(); c(3,3)=GetSigmaTgl2();
 897     c(4,0)=GetSigma1PtY(); c(4,1)=GetSigma1PtZ(); c(4,2)=GetSigma1PtSnp(); c(4,3)=GetSigma1PtTgl(); c(4,4)=GetSigma1Pt2();
 898
 899     c(0,0)+=t->GetSigmaY2();
 900     c(1,0)+=t->GetSigmaZY();  c(1,1)+=t->GetSigmaZ2();
 901     c(2,0)+=t->GetSigmaSnpY();c(2,1)+=t->GetSigmaSnpZ();c(2,2)+=t->GetSigmaSnp2();
 902     c(3,0)+=t->GetSigmaTglY();c(3,1)+=t->GetSigmaTglZ();c(3,2)+=t->GetSigmaTglSnp();c(3,3)+=t->GetSigmaTgl2();
 903     c(4,0)+=t->GetSigma1PtY();c(4,1)+=t->GetSigma1PtZ();c(4,2)+=t->GetSigma1PtSnp();c(4,3)+=t->GetSigma1PtTgl();c(4,4)+=t->GetSigma1Pt2();
 904     c(0,1)=c(1,0);
 905     c(0,2)=c(2,0); c(1,2)=c(2,1);
 906     c(0,3)=c(3,0); c(1,3)=c(3,1); c(2,3)=c(3,2);
 907     c(0,4)=c(4,0); c(1,4)=c(4,1); c(2,4)=c(4,2); c(3,4)=c(4,3);
 908
 909   c.Invert();
 910   if (!c.IsValid()) return kVeryBig;
 911
 912
 913   Double_t res[5] = {
 914     GetY()   - t->GetY(),
 915     GetZ()   - t->GetZ(),
 916     GetSnp() - t->GetSnp(),
 917     GetTgl() - t->GetTgl(),
 918     GetSigned1Pt() - t->GetSigned1Pt()
 919   };
 920
 921   Double_t chi2=0.;
 922   for (Int_t i = 0; i < 5; i++)
 923     for (Int_t j = 0; j < 5; j++) chi2 += res[i]*res[j]*c(i,j);
 924
 925   return chi2;
 926 }
 927
 928 Bool_t AliExternalTrackParam::
 929 PropagateTo(Double_t p[3],Double_t covyz[3],Double_t covxyz[3],Double_t bz) {
 930   //----------------------------------------------------------------
 931   // Propagate this track to the plane
 932   // the 3D space point "p" (with the covariance matrix "covyz" and "covxyz")
 933   // belongs to.
 934   // The magnetic field is "bz" (kG)
 935   //
 936   // The track curvature and the change of the covariance matrix
 937   // of the track parameters are negleted !
 938   // (So the "step" should be small compared with 1/curvature)
 939   //----------------------------------------------------------------
 940
 941   Double_t f=GetSnp();
 942   if (TMath::Abs(f) >= kAlmost1) return kFALSE;
 943   Double_t r=TMath::Sqrt(1.- f*f);
 944   Double_t a=f/r, b=GetTgl()/r;
 945
 946   Double_t s2=333.*333.;  //something reasonably big (cm^2)
 947
 948   TMatrixDSym tV(3);
 949   tV(0,0)=  s2;  tV(0,1)=  a*s2;  tV(0,2)=  b*s2;
 950   tV(1,0)=a*s2;  tV(1,1)=a*a*s2;  tV(1,2)=a*b*s2;
 951   tV(2,0)=b*s2;  tV(2,1)=a*b*s2;  tV(2,2)=b*b*s2;
 952
 953   TMatrixDSym pV(3);
 954   pV(0,0)=covxyz[0]; pV(0,1)=covxyz[1]; pV(0,2)=covxyz[2];
 955   pV(1,0)=covxyz[1]; pV(1,1)=covyz[0];  pV(1,2)=covyz[1];
 956   pV(2,0)=covxyz[2]; pV(2,1)=covyz[1];  pV(2,2)=covyz[2];
 957
 958   TMatrixDSym tpV(tV);
 959   tpV+=pV;
 960   tpV.Invert();
 961   if (!tpV.IsValid()) return kFALSE;
 962
 963   TMatrixDSym pW(3),tW(3);
 964   for (Int_t i=0; i<3; i++)
 965     for (Int_t j=0; j<3; j++) {
 966       pW(i,j)=tW(i,j)=0.;
 967       for (Int_t k=0; k<3; k++) {
 968         pW(i,j) += tV(i,k)*tpV(k,j);
 969         tW(i,j) += pV(i,k)*tpV(k,j);
 970       }
 971     }
 972
 973   Double_t t[3] = {GetX(), GetY(), GetZ()};
 974
 975   Double_t x=0.;
 976   for (Int_t i=0; i<3; i++) x += (tW(0,i)*t[i] + pW(0,i)*p[i]);
 977   Double_t crv=GetC(bz);
 978   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
 979   f += crv*(x-fX);
 980   if (TMath::Abs(f) >= kAlmost1) return kFALSE;
 981   fX=x;
 982
 983   fP[0]=0.;
 984   for (Int_t i=0; i<3; i++) fP[0] += (tW(1,i)*t[i] + pW(1,i)*p[i]);
 985   fP[1]=0.;
 986   for (Int_t i=0; i<3; i++) fP[1] += (tW(2,i)*t[i] + pW(2,i)*p[i]);
 987
 988   return kTRUE;
 989 }
 990
 991 Double_t *AliExternalTrackParam::GetResiduals(
 992 Double_t *p,Double_t *cov,Bool_t updated) const {
 993   //------------------------------------------------------------------
 994   // Returns the track residuals with the space point "p" having
 995   // the covariance matrix "cov".
 996   // If "updated" is kTRUE, the track parameters expected to be updated,
 997   // otherwise they must be predicted.
 998   //------------------------------------------------------------------
 999   static Double_t res[2];
1000
1001   Double_t r00=cov[0], r01=cov[1], r11=cov[2];
1002   if (updated) {
1003      r00-=fC[0]; r01-=fC[1]; r11-=fC[2];
1004   } else {
1005      r00+=fC[0]; r01+=fC[1]; r11+=fC[2];
1006   }
1007   Double_t det=r00*r11 - r01*r01;
1008
1009   if (TMath::Abs(det) < kAlmost0) return 0;
1010
1011   Double_t tmp=r00; r00=r11/det; r11=tmp/det;
1012
1013   if (r00 < 0.) return 0;
1014   if (r11 < 0.) return 0;
1015
1016   Double_t dy = fP[0] - p[0];
1017   Double_t dz = fP[1] - p[1];
1018
1019   res[0]=dy*TMath::Sqrt(r00);
1020   res[1]=dz*TMath::Sqrt(r11);
1021
1022   return res;
1023 }
1024
1025 Bool_t AliExternalTrackParam::Update(Double_t p[2], Double_t cov[3]) {
1026   //------------------------------------------------------------------
1027   // Update the track parameters with the space point "p" having
1028   // the covariance matrix "cov"
1029   //------------------------------------------------------------------
1030   Double_t &fP0=fP[0], &fP1=fP[1], &fP2=fP[2], &fP3=fP[3], &fP4=fP[4];
1031   Double_t
1032   &fC00=fC[0],
1033   &fC10=fC[1],   &fC11=fC[2],
1034   &fC20=fC[3],   &fC21=fC[4],   &fC22=fC[5],
1035   &fC30=fC[6],   &fC31=fC[7],   &fC32=fC[8],   &fC33=fC[9],
1036   &fC40=fC[10],  &fC41=fC[11],  &fC42=fC[12],  &fC43=fC[13], &fC44=fC[14];
1037
1038   Double_t r00=cov[0], r01=cov[1], r11=cov[2];
1039   r00+=fC00; r01+=fC10; r11+=fC11;
1040   Double_t det=r00*r11 - r01*r01;
1041
1042   if (TMath::Abs(det) < kAlmost0) return kFALSE;
1043
1044
1045   Double_t tmp=r00; r00=r11/det; r11=tmp/det; r01=-r01/det;
1046
1047   Double_t k00=fC00*r00+fC10*r01, k01=fC00*r01+fC10*r11;
1048   Double_t k10=fC10*r00+fC11*r01, k11=fC10*r01+fC11*r11;
1049   Double_t k20=fC20*r00+fC21*r01, k21=fC20*r01+fC21*r11;
1050   Double_t k30=fC30*r00+fC31*r01, k31=fC30*r01+fC31*r11;
1051   Double_t k40=fC40*r00+fC41*r01, k41=fC40*r01+fC41*r11;
1052
1053   Double_t dy=p[0] - fP0, dz=p[1] - fP1;
1054   Double_t sf=fP2 + k20*dy + k21*dz;
1055   if (TMath::Abs(sf) > kAlmost1) return kFALSE;
1056
1057   fP0 += k00*dy + k01*dz;
1058   fP1 += k10*dy + k11*dz;
1059   fP2  = sf;
1060   fP3 += k30*dy + k31*dz;
1061   fP4 += k40*dy + k41*dz;
1062
1063   Double_t c01=fC10, c02=fC20, c03=fC30, c04=fC40;
1064   Double_t c12=fC21, c13=fC31, c14=fC41;
1065
1066   fC00-=k00*fC00+k01*fC10; fC10-=k00*c01+k01*fC11;
1067   fC20-=k00*c02+k01*c12;   fC30-=k00*c03+k01*c13;
1068   fC40-=k00*c04+k01*c14;
1069
1070   fC11-=k10*c01+k11*fC11;
1071   fC21-=k10*c02+k11*c12;   fC31-=k10*c03+k11*c13;
1072   fC41-=k10*c04+k11*c14;
1073
1074   fC22-=k20*c02+k21*c12;   fC32-=k20*c03+k21*c13;
1075   fC42-=k20*c04+k21*c14;
1076
1077   fC33-=k30*c03+k31*c13;
1078   fC43-=k30*c04+k31*c14;
1079
1080   fC44-=k40*c04+k41*c14;
1081
1082   return kTRUE;
1083 }
1084
1085 void
1086 AliExternalTrackParam::GetHelixParameters(Double_t hlx[6], Double_t b) const {
1087   //--------------------------------------------------------------------
1088   // External track parameters -> helix parameters
1089   // "b" - magnetic field (kG)
1090   //--------------------------------------------------------------------
1091   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
1092
1093   hlx[0]=fP[0]; hlx[1]=fP[1]; hlx[2]=fP[2]; hlx[3]=fP[3];
1094
1095   hlx[5]=fX*cs - hlx[0]*sn;               // x0
1096   hlx[0]=fX*sn + hlx[0]*cs;               // y0
1097 //hlx[1]=                                 // z0
1098   hlx[2]=TMath::ASin(hlx[2]) + fAlpha;    // phi0
1099 //hlx[3]=                                 // tgl
1100   hlx[4]=GetC(b);                         // C
1101 }
1102
1103
1104 static void Evaluate(const Double_t *h, Double_t t,
1105                      Double_t r[3],  //radius vector
1106                      Double_t g[3],  //first defivatives
1107                      Double_t gg[3]) //second derivatives
1108 {
1109   //--------------------------------------------------------------------
1110   // Calculate position of a point on a track and some derivatives
1111   //--------------------------------------------------------------------
1112   Double_t phase=h[4]*t+h[2];
1113   Double_t sn=TMath::Sin(phase), cs=TMath::Cos(phase);
1114
1115   r[0] = h[5];
1116   r[1] = h[0];
1117   if (TMath::Abs(h[4])>kAlmost0) {
1118      r[0] += (sn - h[6])/h[4];
1119      r[1] -= (cs - h[7])/h[4];
1120   }
1121   r[2] = h[1] + h[3]*t;
1122
1123   g[0] = cs; g[1]=sn; g[2]=h[3];
1124
1125   gg[0]=-h[4]*sn; gg[1]=h[4]*cs; gg[2]=0.;
1126 }
1127
1128 Double_t AliExternalTrackParam::GetDCA(const AliExternalTrackParam *p,
1129 Double_t b, Double_t &xthis, Double_t &xp) const {
1130   //------------------------------------------------------------
1131   // Returns the (weighed !) distance of closest approach between
1132   // this track and the track "p".
1133   // Other returned values:
1134   //   xthis, xt - coordinates of tracks' reference planes at the DCA
1135   //-----------------------------------------------------------
1136   Double_t dy2=GetSigmaY2() + p->GetSigmaY2();
1137   Double_t dz2=GetSigmaZ2() + p->GetSigmaZ2();
1138   Double_t dx2=dy2;
1139
1140   Double_t p1[8]; GetHelixParameters(p1,b);
1141   p1[6]=TMath::Sin(p1[2]); p1[7]=TMath::Cos(p1[2]);
1142   Double_t p2[8]; p->GetHelixParameters(p2,b);
1143   p2[6]=TMath::Sin(p2[2]); p2[7]=TMath::Cos(p2[2]);
1144
1145
1146   Double_t r1[3],g1[3],gg1[3]; Double_t t1=0.;
1147   Evaluate(p1,t1,r1,g1,gg1);
1148   Double_t r2[3],g2[3],gg2[3]; Double_t t2=0.;
1149   Evaluate(p2,t2,r2,g2,gg2);
1150
1151   Double_t dx=r2[0]-r1[0], dy=r2[1]-r1[1], dz=r2[2]-r1[2];
1152   Double_t dm=dx*dx/dx2 + dy*dy/dy2 + dz*dz/dz2;
1153
1154   Int_t max=27;
1155   while (max--) {
1156      Double_t gt1=-(dx*g1[0]/dx2 + dy*g1[1]/dy2 + dz*g1[2]/dz2);
1157      Double_t gt2=+(dx*g2[0]/dx2 + dy*g2[1]/dy2 + dz*g2[2]/dz2);
1158      Double_t h11=(g1[0]*g1[0] - dx*gg1[0])/dx2 +
1159                   (g1[1]*g1[1] - dy*gg1[1])/dy2 +
1160                   (g1[2]*g1[2] - dz*gg1[2])/dz2;
1161      Double_t h22=(g2[0]*g2[0] + dx*gg2[0])/dx2 +
1162                   (g2[1]*g2[1] + dy*gg2[1])/dy2 +
1163                   (g2[2]*g2[2] + dz*gg2[2])/dz2;
1164      Double_t h12=-(g1[0]*g2[0]/dx2 + g1[1]*g2[1]/dy2 + g1[2]*g2[2]/dz2);
1165
1166      Double_t det=h11*h22-h12*h12;
1167
1168      Double_t dt1,dt2;
1169      if (TMath::Abs(det)<1.e-33) {
1170         //(quasi)singular Hessian
1171         dt1=-gt1; dt2=-gt2;
1172      } else {
1173         dt1=-(gt1*h22 - gt2*h12)/det;
1174         dt2=-(h11*gt2 - h12*gt1)/det;
1175      }
1176
1177      if ((dt1*gt1+dt2*gt2)>0) {dt1=-dt1; dt2=-dt2;}
1178
1179      //check delta(phase1) ?
1180      //check delta(phase2) ?
1181
1182      if (TMath::Abs(dt1)/(TMath::Abs(t1)+1.e-3) < 1.e-4)
1183      if (TMath::Abs(dt2)/(TMath::Abs(t2)+1.e-3) < 1.e-4) {
1184         if ((gt1*gt1+gt2*gt2) > 1.e-4/dy2/dy2)
1185           AliDebug(1," stopped at not a stationary point !");
1186         Double_t lmb=h11+h22; lmb=lmb-TMath::Sqrt(lmb*lmb-4*det);
1187         if (lmb < 0.)
1188           AliDebug(1," stopped at not a minimum !");
1189         break;
1190      }
1191
1192      Double_t dd=dm;
1193      for (Int_t div=1 ; ; div*=2) {
1194         Evaluate(p1,t1+dt1,r1,g1,gg1);
1195         Evaluate(p2,t2+dt2,r2,g2,gg2);
1196         dx=r2[0]-r1[0]; dy=r2[1]-r1[1]; dz=r2[2]-r1[2];
1197         dd=dx*dx/dx2 + dy*dy/dy2 + dz*dz/dz2;
1198         if (dd<dm) break;
1199         dt1*=0.5; dt2*=0.5;
1200         if (div>512) {
1201           AliDebug(1," overshoot !"); break;
1202         }
1203      }
1204      dm=dd;
1205
1206      t1+=dt1;
1207      t2+=dt2;
1208
1209   }
1210
1211   if (max<=0) AliDebug(1," too many iterations !");
1212
1213   Double_t cs=TMath::Cos(GetAlpha());
1214   Double_t sn=TMath::Sin(GetAlpha());
1215   xthis=r1[0]*cs + r1[1]*sn;
1216
1217   cs=TMath::Cos(p->GetAlpha());
1218   sn=TMath::Sin(p->GetAlpha());
1219   xp=r2[0]*cs + r2[1]*sn;
1220
1221   return TMath::Sqrt(dm*TMath::Sqrt(dy2*dz2));
1222 }
1223
1224 Double_t AliExternalTrackParam::
1225 PropagateToDCA(AliExternalTrackParam *p, Double_t b) {
1226   //--------------------------------------------------------------
1227   // Propagates this track and the argument track to the position of the
1228   // distance of closest approach.
1229   // Returns the (weighed !) distance of closest approach.
1230   //--------------------------------------------------------------
1231   Double_t xthis,xp;
1232   Double_t dca=GetDCA(p,b,xthis,xp);
1233
1234   if (!PropagateTo(xthis,b)) {
1235     //AliWarning(" propagation failed !");
1236     return 1e+33;
1237   }
1238
1239   if (!p->PropagateTo(xp,b)) {
1240     //AliWarning(" propagation failed !";
1241     return 1e+33;
1242   }
1243
1244   return dca;
1245 }
1246
1247
1248 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateToDCA(const AliVVertex *vtx,
1249 Double_t b, Double_t maxd, Double_t dz[2], Double_t covar[3]) {
1250   //
1251   // Propagate this track to the DCA to vertex "vtx",
1252   // if the (rough) transverse impact parameter is not bigger then "maxd".
1253   //            Magnetic field is "b" (kG).
1254   //
1255   // a) The track gets extapolated to the DCA to the vertex.
1256   // b) The impact parameters and their covariance matrix are calculated.
1257   //
1258   //    In the case of success, the returned value is kTRUE
1259   //    (otherwise, it's kFALSE)
1260   //
1261   Double_t alpha=GetAlpha();
1262   Double_t sn=TMath::Sin(alpha), cs=TMath::Cos(alpha);
1263   Double_t x=GetX(), y=GetParameter()[0], snp=GetParameter()[2];
1264   Double_t xv= vtx->GetX()*cs + vtx->GetY()*sn;
1265   Double_t yv=-vtx->GetX()*sn + vtx->GetY()*cs, zv=vtx->GetZ();
1266   x-=xv; y-=yv;
1267
1268   //Estimate the impact parameter neglecting the track curvature
1269   Double_t d=TMath::Abs(x*snp - y*TMath::Sqrt(1.- snp*snp));
1270   if (d > maxd) return kFALSE;
1271
1272   //Propagate to the DCA
1273   Double_t crv=GetC(b);
1274   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
1275
1276   Double_t tgfv=-(crv*x - snp)/(crv*y + TMath::Sqrt(1.-snp*snp));
1277   sn=tgfv/TMath::Sqrt(1.+ tgfv*tgfv); cs=TMath::Sqrt(1.- sn*sn);
1278   if (TMath::Abs(tgfv)>0.) cs = sn/tgfv;
1279   else cs=1.;
1280
1281   x = xv*cs + yv*sn;
1282   yv=-xv*sn + yv*cs; xv=x;
1283
1284   if (!Propagate(alpha+TMath::ASin(sn),xv,b)) return kFALSE;
1285
1286   if (dz==0) return kTRUE;
1287   dz[0] = GetParameter()[0] - yv;
1288   dz[1] = GetParameter()[1] - zv;
1289
1290   if (covar==0) return kTRUE;
1291   Double_t cov[6]; vtx->GetCovarianceMatrix(cov);
1292
1293   //***** Improvements by A.Dainese
1294   alpha=GetAlpha(); sn=TMath::Sin(alpha); cs=TMath::Cos(alpha);
1295   Double_t s2ylocvtx = cov[0]*sn*sn + cov[2]*cs*cs - 2.*cov[1]*cs*sn;
1296   covar[0] = GetCovariance()[0] + s2ylocvtx;   // neglecting correlations
1297   covar[1] = GetCovariance()[1];               // between (x,y) and z
1298   covar[2] = GetCovariance()[2] + cov[5];      // in vertex's covariance matrix
1299   //*****
1300
1301   return kTRUE;
1302 }
1303
1304
1305 void AliExternalTrackParam::GetDirection(Double_t d[3]) const {
1306   //----------------------------------------------------------------
1307   // This function returns a unit vector along the track direction
1308   // in the global coordinate system.
1309   //----------------------------------------------------------------
1310   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
1311   Double_t snp=fP[2];
1312   Double_t csp =TMath::Sqrt((1.- snp)*(1.+snp));
1313   Double_t norm=TMath::Sqrt(1.+ fP[3]*fP[3]);
1314   d[0]=(csp*cs - snp*sn)/norm;
1315   d[1]=(snp*cs + csp*sn)/norm;
1316   d[2]=fP[3]/norm;
1317 }
1318
1319 Bool_t AliExternalTrackParam::GetPxPyPz(Double_t p[3]) const {
1320   //---------------------------------------------------------------------
1321   // This function returns the global track momentum components
1322   // Results for (nearly) straight tracks are meaningless !
1323   //---------------------------------------------------------------------
1324   p[0]=fP[4]; p[1]=fP[2]; p[2]=fP[3];
1325   return Local2GlobalMomentum(p,fAlpha);
1326 }
1327
1328 Double_t AliExternalTrackParam::Px() const {
1329   //---------------------------------------------------------------------
1330   // Returns x-component of momentum
1331   // Result for (nearly) straight tracks is meaningless !
1332   //---------------------------------------------------------------------
1333
1334   Double_t p[3]={kVeryBig,kVeryBig,kVeryBig};
1335   GetPxPyPz(p);
1336
1337   return p[0];
1338 }
1339
1340 Double_t AliExternalTrackParam::Py() const {
1341   //---------------------------------------------------------------------
1342   // Returns y-component of momentum
1343   // Result for (nearly) straight tracks is meaningless !
1344   //---------------------------------------------------------------------
1345
1346   Double_t p[3]={kVeryBig,kVeryBig,kVeryBig};
1347   GetPxPyPz(p);
1348
1349   return p[1];
1350 }
1351
1352 Double_t AliExternalTrackParam::Pz() const {
1353   //---------------------------------------------------------------------
1354   // Returns z-component of momentum
1355   // Result for (nearly) straight tracks is meaningless !
1356   //---------------------------------------------------------------------
1357
1358   Double_t p[3]={kVeryBig,kVeryBig,kVeryBig};
1359   GetPxPyPz(p);
1360
1361   return p[2];
1362 }
1363
1364 Double_t AliExternalTrackParam::Xv() const {
1365   //---------------------------------------------------------------------
1366   // Returns x-component of first track point
1367   //---------------------------------------------------------------------
1368
1369   Double_t r[3]={0.,0.,0.};
1370   GetXYZ(r);
1371
1372   return r[0];
1373 }
1374
1375 Double_t AliExternalTrackParam::Yv() const {
1376   //---------------------------------------------------------------------
1377   // Returns y-component of first track point
1378   //---------------------------------------------------------------------
1379
1380   Double_t r[3]={0.,0.,0.};
1381   GetXYZ(r);
1382
1383   return r[1];
1384 }
1385
1386 Double_t AliExternalTrackParam::Zv() const {
1387   //---------------------------------------------------------------------
1388   // Returns z-component of first track point
1389   //---------------------------------------------------------------------
1390
1391   Double_t r[3]={0.,0.,0.};
1392   GetXYZ(r);
1393
1394   return r[2];
1395 }
1396
1397 Double_t AliExternalTrackParam::Theta() const {
1398   // return theta angle of momentum
1399
1400   return 0.5*TMath::Pi() - TMath::ATan(fP[3]);
1401 }
1402
1403 Double_t AliExternalTrackParam::Phi() const {
1404   //---------------------------------------------------------------------
1405   // Returns the azimuthal angle of momentum
1406   // 0 <= phi < 2*pi
1407   //---------------------------------------------------------------------
1408
1409   Double_t phi=TMath::ASin(fP[2]) + fAlpha;
1410   if (phi<0.) phi+=2.*TMath::Pi();
1411   else if (phi>=2.*TMath::Pi()) phi-=2.*TMath::Pi();
1412
1413   return phi;
1414 }
1415
1416 Double_t AliExternalTrackParam::M() const {
1417   // return particle mass
1418
1419   // No mass information available so far.
1420   // Redifine in derived class!
1421
1422   return -999.;
1423 }
1424
1425 Double_t AliExternalTrackParam::E() const {
1426   // return particle energy
1427
1428   // No PID information available so far.
1429   // Redifine in derived class!
1430
1431   return -999.;
1432 }
1433
1434 Double_t AliExternalTrackParam::Eta() const {
1435   // return pseudorapidity
1436
1437   return -TMath::Log(TMath::Tan(0.5 * Theta()));
1438 }
1439
1440 Double_t AliExternalTrackParam::Y() const {
1441   // return rapidity
1442
1443   // No PID information available so far.
1444   // Redifine in derived class!
1445
1446   return -999.;
1447 }
1448
1449 Bool_t AliExternalTrackParam::GetXYZ(Double_t *r) const {
1450   //---------------------------------------------------------------------
1451   // This function returns the global track position
1452   //---------------------------------------------------------------------
1453   r[0]=fX; r[1]=fP[0]; r[2]=fP[1];
1454   return Local2GlobalPosition(r,fAlpha);
1455 }
1456
1457 Bool_t AliExternalTrackParam::GetCovarianceXYZPxPyPz(Double_t cv[21]) const {
1458   //---------------------------------------------------------------------
1459   // This function returns the global covariance matrix of the track params
1460   //
1461   // Cov(x,x) ... :   cv[0]
1462   // Cov(y,x) ... :   cv[1]  cv[2]
1463   // Cov(z,x) ... :   cv[3]  cv[4]  cv[5]
1464   // Cov(px,x)... :   cv[6]  cv[7]  cv[8]  cv[9]
1465   // Cov(py,x)... :   cv[10] cv[11] cv[12] cv[13] cv[14]
1466   // Cov(pz,x)... :   cv[15] cv[16] cv[17] cv[18] cv[19] cv[20]
1467   //
1468   // Results for (nearly) straight tracks are meaningless !
1469   //---------------------------------------------------------------------
1470   if (TMath::Abs(fP[4])<=kAlmost0) {
1471      for (Int_t i=0; i<21; i++) cv[i]=0.;
1472      return kFALSE;
1473   }
1474   if (TMath::Abs(fP[2]) > kAlmost1) {
1475      for (Int_t i=0; i<21; i++) cv[i]=0.;
1476      return kFALSE;
1477   }
1478   Double_t pt=1./TMath::Abs(fP[4]);
1479   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
1480   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2]));
1481
1482   Double_t m00=-sn, m10=cs;
1483   Double_t m23=-pt*(sn + fP[2]*cs/r), m43=-pt*pt*(r*cs - fP[2]*sn);
1484   Double_t m24= pt*(cs - fP[2]*sn/r), m44=-pt*pt*(r*sn + fP[2]*cs);
1485   Double_t m35=pt, m45=-pt*pt*fP[3];
1486
1487   m43*=GetSign();
1488   m44*=GetSign();
1489   m45*=GetSign();
1490
1491   cv[0 ] = fC[0]*m00*m00;
1492   cv[1 ] = fC[0]*m00*m10;
1493   cv[2 ] = fC[0]*m10*m10;
1494   cv[3 ] = fC[1]*m00;
1495   cv[4 ] = fC[1]*m10;
1496   cv[5 ] = fC[2];
1497   cv[6 ] = m00*(fC[3]*m23 + fC[10]*m43);
1498   cv[7 ] = m10*(fC[3]*m23 + fC[10]*m43);
1499   cv[8 ] = fC[4]*m23 + fC[11]*m43;
1500   cv[9 ] = m23*(fC[5]*m23 + fC[12]*m43)  +  m43*(fC[12]*m23 + fC[14]*m43);
1501   cv[10] = m00*(fC[3]*m24 + fC[10]*m44);
1502   cv[11] = m10*(fC[3]*m24 + fC[10]*m44);
1503   cv[12] = fC[4]*m24 + fC[11]*m44;
1504   cv[13] = m23*(fC[5]*m24 + fC[12]*m44)  +  m43*(fC[12]*m24 + fC[14]*m44);
1505   cv[14] = m24*(fC[5]*m24 + fC[12]*m44)  +  m44*(fC[12]*m24 + fC[14]*m44);
1506   cv[15] = m00*(fC[6]*m35 + fC[10]*m45);
1507   cv[16] = m10*(fC[6]*m35 + fC[10]*m45);
1508   cv[17] = fC[7]*m35 + fC[11]*m45;
1509   cv[18] = m23*(fC[8]*m35 + fC[12]*m45)  +  m43*(fC[13]*m35 + fC[14]*m45);
1510   cv[19] = m24*(fC[8]*m35 + fC[12]*m45)  +  m44*(fC[13]*m35 + fC[14]*m45);
1511   cv[20] = m35*(fC[9]*m35 + fC[13]*m45)  +  m45*(fC[13]*m35 + fC[14]*m45);
1512
1513   return kTRUE;
1514 }
1515
1516
1517 Bool_t
1518 AliExternalTrackParam::GetPxPyPzAt(Double_t x, Double_t b, Double_t *p) const {
1519   //---------------------------------------------------------------------
1520   // This function returns the global track momentum extrapolated to
1521   // the radial position "x" (cm) in the magnetic field "b" (kG)
1522   //---------------------------------------------------------------------
1523   p[0]=fP[4];
1524   p[1]=fP[2]+(x-fX)*GetC(b);
1525   p[2]=fP[3];
1526   return Local2GlobalMomentum(p,fAlpha);
1527 }
1528
1529 Bool_t
1530 AliExternalTrackParam::GetYAt(Double_t x, Double_t b, Double_t &y) const {
1531   //---------------------------------------------------------------------
1532   // This function returns the local Y-coordinate of the intersection
1533   // point between this track and the reference plane "x" (cm).
1534   // Magnetic field "b" (kG)
1535   //---------------------------------------------------------------------
1536   Double_t dx=x-fX;
1537   if(TMath::Abs(dx)<=kAlmost0) {y=fP[0]; return kTRUE;}
1538
1539   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + dx*GetC(b);
1540
1541   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1542   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1543
1544   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1545   y = fP[0] + dx*(f1+f2)/(r1+r2);
1546   return kTRUE;
1547 }
1548
1549 Bool_t
1550 AliExternalTrackParam::GetZAt(Double_t x, Double_t b, Double_t &z) const {
1551   //---------------------------------------------------------------------
1552   // This function returns the local Z-coordinate of the intersection
1553   // point between this track and the reference plane "x" (cm).
1554   // Magnetic field "b" (kG)
1555   //---------------------------------------------------------------------
1556   Double_t dx=x-fX;
1557   if(TMath::Abs(dx)<=kAlmost0) {z=fP[1]; return kTRUE;}
1558
1559   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + dx*GetC(b);
1560
1561   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1562   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1563
1564   Double_t r1=sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1565   z = fP[1] + dx*(r2 + f2*(f1+f2)/(r1+r2))*fP[3]; // Many thanks to P.Hristov !
1566   return kTRUE;
1567 }
1568
1569 Bool_t
1570 AliExternalTrackParam::GetXYZAt(Double_t x, Double_t b, Double_t *r) const {
1571   //---------------------------------------------------------------------
1572   // This function returns the global track position extrapolated to
1573   // the radial position "x" (cm) in the magnetic field "b" (kG)
1574   //---------------------------------------------------------------------
1575   Double_t dx=x-fX;
1576   if(TMath::Abs(dx)<=kAlmost0) return GetXYZ(r);
1577
1578   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + dx*GetC(b);
1579
1580   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1581   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1582
1583   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1584   r[0] = x;
1585   r[1] = fP[0] + dx*(f1+f2)/(r1+r2);
1586   r[2] = fP[1] + dx*(r2 + f2*(f1+f2)/(r1+r2))*fP[3];//Thanks to Andrea & Peter
1587
1588   return Local2GlobalPosition(r,fAlpha);
1589 }
1590
1591 //_____________________________________________________________________________
1592 void AliExternalTrackParam::Print(Option_t* /*option*/) const
1593 {
1594 // print the parameters and the covariance matrix
1595
1596   printf("AliExternalTrackParam: x = %-12g  alpha = %-12g\n", fX, fAlpha);
1597   printf("  parameters: %12g %12g %12g %12g %12g\n",
1598          fP[0], fP[1], fP[2], fP[3], fP[4]);
1599   printf("  covariance: %12g\n", fC[0]);
1600   printf("              %12g %12g\n", fC[1], fC[2]);
1601   printf("              %12g %12g %12g\n", fC[3], fC[4], fC[5]);
1602   printf("              %12g %12g %12g %12g\n",
1603          fC[6], fC[7], fC[8], fC[9]);
1604   printf("              %12g %12g %12g %12g %12g\n",
1605          fC[10], fC[11], fC[12], fC[13], fC[14]);
1606 }
1607
1608 Double_t AliExternalTrackParam::GetSnpAt(Double_t x,Double_t b) const {
1609   //
1610   // Get sinus at given x
1611   //
1612   Double_t crv=GetC(b);
1613   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
1614   Double_t dx = x-fX;
1615   Double_t res = fP[2]+dx*crv;
1616   return res;
1617 }
1618
1619 Bool_t AliExternalTrackParam::GetDistance(AliExternalTrackParam *param2, Double_t x, Double_t dist[3], Double_t bz){
1620   //------------------------------------------------------------------------
1621   // Get the distance between two tracks at the local position x
1622   // working in the local frame of this track.
1623   // Origin :   Marian.Ivanov@cern.ch
1624   //-----------------------------------------------------------------------
1625   Double_t xyz[3];
1626   Double_t xyz2[3];
1627   xyz[0]=x;
1628   if (!GetYAt(x,bz,xyz[1])) return kFALSE;
1629   if (!GetZAt(x,bz,xyz[2])) return kFALSE;
1630   //
1631   //
1632   if (TMath::Abs(GetAlpha()-param2->GetAlpha())<kAlmost0){
1633     xyz2[0]=x;
1634     if (!param2->GetYAt(x,bz,xyz2[1])) return kFALSE;
1635     if (!param2->GetZAt(x,bz,xyz2[2])) return kFALSE;
1636   }else{
1637     //
1638     Double_t xyz1[3];
1639     Double_t dfi = param2->GetAlpha()-GetAlpha();
1640     Double_t ca = TMath::Cos(dfi), sa = TMath::Sin(dfi);
1641     xyz2[0] =  xyz[0]*ca+xyz[1]*sa;
1642     xyz2[1] = -xyz[0]*sa+xyz[1]*ca;
1643     //
1644     xyz1[0]=xyz2[0];
1645     if (!param2->GetYAt(xyz2[0],bz,xyz1[1])) return kFALSE;
1646     if (!param2->GetZAt(xyz2[0],bz,xyz1[2])) return kFALSE;
1647     //
1648     xyz2[0] =  xyz1[0]*ca-xyz1[1]*sa;
1649     xyz2[1] = +xyz1[0]*sa+xyz1[1]*ca;
1650     xyz2[2] = xyz1[2];
1651   }
1652   dist[0] = xyz[0]-xyz2[0];
1653   dist[1] = xyz[1]-xyz2[1];
1654   dist[2] = xyz[2]-xyz2[2];
1655
1656   return kTRUE;
1657 }
1658
1659
1660 //
1661 // Draw functionality.
1662 // Origin: Marian Ivanov, Marian.Ivanov@cern.ch
1663 //
1664
1665 void  AliExternalTrackParam::DrawTrack(Float_t magf, Float_t minR, Float_t maxR, Float_t stepR){
1666   //
1667   // Draw track line
1668   //
1669   if (minR>maxR) return ;
1670   if (stepR<=0) return ;
1671   Int_t npoints = TMath::Nint((maxR-minR)/stepR)+1;
1672   if (npoints<1) return;
1673   TPolyMarker3D *polymarker = new TPolyMarker3D(npoints);
1674   FillPolymarker(polymarker, magf,minR,maxR,stepR);
1675   polymarker->Draw();
1676 }
1677
1678 //
1679 void AliExternalTrackParam::FillPolymarker(TPolyMarker3D *pol, Float_t magF, Float_t minR, Float_t maxR, Float_t stepR){
1680   //
1681   // Fill points in the polymarker
1682   //
1683   Int_t counter=0;
1684   for (Double_t r=minR; r<maxR; r+=stepR){
1685     Double_t point[3];
1686     GetXYZAt(r,magF,point);
1687     pol->SetPoint(counter,point[0],point[1], point[2]);
1688     printf("xyz\t%f\t%f\t%f\n",point[0], point[1],point[2]);
1689     counter++;
1690   }
1691 }
1692
1693 Int_t AliExternalTrackParam::GetIndex(Int_t i, Int_t j) const {
1694   //
1695   Int_t min = TMath::Min(i,j);
1696   Int_t max = TMath::Max(i,j);
1697
1698   return min+(max+1)*max/2;
1699 }
1700
1701
1702 void AliExternalTrackParam::g3helx3(Double_t qfield,
1703                                     Double_t step,
1704                                     Double_t vect[7]) {
1705 /******************************************************************
1706  *                                                                *
1707  *       GEANT3 tracking routine in a constant field oriented     *
1708  *       along axis 3                                             *
1709  *       Tracking is performed with a conventional                *
1710  *       helix step method                                        *
1711  *                                                                *
1712  *       Authors    R.Brun, M.Hansroul  *********                 *
1713  *       Rewritten  V.Perevoztchikov                              *
1714  *                                                                *
1715  *       Rewritten in C++ by I.Belikov                            *
1716  *                                                                *
1717  *  qfield (kG)       - particle charge times magnetic field      *
1718  *  step   (cm)       - step length along the helix               *
1719  *  vect[7](cm,GeV/c) - input/output x, y, z, px/p, py/p ,pz/p, p *
1720  *                                                                *
1721  ******************************************************************/
1722   const Int_t ix=0, iy=1, iz=2, ipx=3, ipy=4, ipz=5, ipp=6;
1723
1724   Double_t cosx=vect[ipx], cosy=vect[ipy], cosz=vect[ipz];
1725
1726   Double_t rho = qfield*kB2C/vect[ipp];
1727   Double_t tet = rho*step;
1728
1729   Double_t tsint, sintt, sint, cos1t;
1730   if (TMath::Abs(tet) > 0.15) {
1731      sint  = TMath::Sin(tet);
1732      sintt = sint/tet;
1733      tsint = (tet - sint)/tet;
1734      Double_t t=TMath::Sin(0.5*tet);
1735      cos1t = 2*t*t/tet;
1736   } else {
1737      tsint = tet*tet/6.;
1738      sintt = 1.- tsint;
1739      sint  = tet*sintt;
1740      cos1t = 0.5*tet;
1741   }
1742
1743   Double_t f1 = step*sintt;
1744   Double_t f2 = step*cos1t;
1745   Double_t f3 = step*tsint*cosz;
1746   Double_t f4 = -tet*cos1t;
1747   Double_t f5 = sint;
1748
1749   vect[ix]  += f1*cosx - f2*cosy;
1750   vect[iy]  += f1*cosy + f2*cosx;
1751   vect[iz]  += f1*cosz + f3;
1752
1753   vect[ipx] += f4*cosx - f5*cosy;
1754   vect[ipy] += f4*cosy + f5*cosx;
1755
1756 }
1757
1758 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateToBxByBz(Double_t xk, const Double_t b[3]) {
1759   //----------------------------------------------------------------
1760   // Extrapolate this track to the plane X=xk in the field b[].
1761   //
1762   // X [cm] is in the "tracking coordinate system" of this track.
1763   // b[]={Bx,By,Bz} [kG] is in the Global coordidate system.
1764   //----------------------------------------------------------------
1765
1766   Double_t dx=xk-fX;
1767   if (TMath::Abs(dx)<=kAlmost0)  return kTRUE;
1768
1769   Double_t crv=GetC(b[2]);
1770   if (TMath::Abs(b[2]) < kAlmost0Field) crv=0.;
1771
1772   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + crv*dx;
1773   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1774   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1775
1776
1777   // Estimate the covariance matrix
1778   Double_t &fP3=fP[3], &fP4=fP[4];
1779   Double_t
1780   &fC00=fC[0],
1781   &fC10=fC[1],   &fC11=fC[2],
1782   &fC20=fC[3],   &fC21=fC[4],   &fC22=fC[5],
1783   &fC30=fC[6],   &fC31=fC[7],   &fC32=fC[8],   &fC33=fC[9],
1784   &fC40=fC[10],  &fC41=fC[11],  &fC42=fC[12],  &fC43=fC[13], &fC44=fC[14];
1785
1786   Double_t r1=TMath::Sqrt(1.- f1*f1), r2=TMath::Sqrt(1.- f2*f2);
1787
1788   //f = F - 1
1789   Double_t f02=    dx/(r1*r1*r1);            Double_t cc=crv/fP4;
1790   Double_t f04=0.5*dx*dx/(r1*r1*r1);         f04*=cc;
1791   Double_t f12=    dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);
1792   Double_t f14=0.5*dx*dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);  f14*=cc;
1793   Double_t f13=    dx/r1;
1794   Double_t f24=    dx;                       f24*=cc;
1795
1796   //b = C*ft
1797   Double_t b00=f02*fC20 + f04*fC40, b01=f12*fC20 + f14*fC40 + f13*fC30;
1798   Double_t b02=f24*fC40;
1799   Double_t b10=f02*fC21 + f04*fC41, b11=f12*fC21 + f14*fC41 + f13*fC31;
1800   Double_t b12=f24*fC41;
1801   Double_t b20=f02*fC22 + f04*fC42, b21=f12*fC22 + f14*fC42 + f13*fC32;
1802   Double_t b22=f24*fC42;
1803   Double_t b40=f02*fC42 + f04*fC44, b41=f12*fC42 + f14*fC44 + f13*fC43;
1804   Double_t b42=f24*fC44;
1805   Double_t b30=f02*fC32 + f04*fC43, b31=f12*fC32 + f14*fC43 + f13*fC33;
1806   Double_t b32=f24*fC43;
1807
1808   //a = f*b = f*C*ft
1809   Double_t a00=f02*b20+f04*b40,a01=f02*b21+f04*b41,a02=f02*b22+f04*b42;
1810   Double_t a11=f12*b21+f14*b41+f13*b31,a12=f12*b22+f14*b42+f13*b32;
1811   Double_t a22=f24*b42;
1812
1813   //F*C*Ft = C + (b + bt + a)
1814   fC00 += b00 + b00 + a00;
1815   fC10 += b10 + b01 + a01;
1816   fC20 += b20 + b02 + a02;
1817   fC30 += b30;
1818   fC40 += b40;
1819   fC11 += b11 + b11 + a11;
1820   fC21 += b21 + b12 + a12;
1821   fC31 += b31;
1822   fC41 += b41;
1823   fC22 += b22 + b22 + a22;
1824   fC32 += b32;
1825   fC42 += b42;
1826
1827
1828   // Appoximate step length
1829   Double_t step=dx*TMath::Abs(r2 + f2*(f1+f2)/(r1+r2));
1830   step *= TMath::Sqrt(1.+ GetTgl()*GetTgl());
1831
1832
1833   // Get the track's (x,y,z) and (px,py,pz) in the Global System
1834   Double_t r[3]; GetXYZ(r);
1835   Double_t p[3]; GetPxPyPz(p);
1836   Double_t pp=GetP();
1837   p[0] /= pp;
1838   p[1] /= pp;
1839   p[2] /= pp;
1840
1841
1842   // Rotate to the system where Bx=By=0.
1843   Double_t bt=TMath::Sqrt(b[0]*b[0] + b[1]*b[1]);
1844   Double_t cosphi=1., sinphi=0.;
1845   if (bt > kAlmost0) {cosphi=b[0]/bt; sinphi=b[1]/bt;}
1846   Double_t bb=TMath::Sqrt(b[0]*b[0] + b[1]*b[1] + b[2]*b[2]);
1847   Double_t costet=1., sintet=0.;
1848   if (bb > kAlmost0) {costet=b[2]/bb; sintet=bt/bb;}
1849   Double_t vect[7];
1850
1851   vect[0] = costet*cosphi*r[0] + costet*sinphi*r[1] - sintet*r[2];
1852   vect[1] = -sinphi*r[0] + cosphi*r[1];
1853   vect[2] = sintet*cosphi*r[0] + sintet*sinphi*r[1] + costet*r[2];
1854
1855   vect[3] = costet*cosphi*p[0] + costet*sinphi*p[1] - sintet*p[2];
1856   vect[4] = -sinphi*p[0] + cosphi*p[1];
1857   vect[5] = sintet*cosphi*p[0] + sintet*sinphi*p[1] + costet*p[2];
1858
1859   vect[6] = pp;
1860
1861
1862   // Do the helix step
1863   g3helx3(GetSign()*bb,step,vect);
1864
1865
1866   // Rotate back to the Global System
1867   r[0] = cosphi*costet*vect[0] - sinphi*vect[1] + cosphi*sintet*vect[2];
1868   r[1] = sinphi*costet*vect[0] + cosphi*vect[1] + sinphi*sintet*vect[2];
1869   r[2] = -sintet*vect[0] + costet*vect[2];
1870
1871   p[0] = cosphi*costet*vect[3] - sinphi*vect[4] + cosphi*sintet*vect[5];
1872   p[1] = sinphi*costet*vect[3] + cosphi*vect[4] + sinphi*sintet*vect[5];
1873   p[2] = -sintet*vect[3] + costet*vect[5];
1874
1875
1876   // Rotate back to the Tracking System
1877   Double_t cosalp = TMath::Cos(fAlpha);
1878   Double_t sinalp =-TMath::Sin(fAlpha);
1879
1880   Double_t
1881   t    = cosalp*r[0] - sinalp*r[1];
1882   r[1] = sinalp*r[0] + cosalp*r[1];
1883   r[0] = t;
1884
1885   t    = cosalp*p[0] - sinalp*p[1];
1886   p[1] = sinalp*p[0] + cosalp*p[1];
1887   p[0] = t;
1888
1889
1890   // Do the final correcting step to the target plane (linear approximation)
1891   Double_t x=r[0], y=r[1], z=r[2];
1892   if (TMath::Abs(dx) > kAlmost0) {
1893      if (TMath::Abs(p[0]) < kAlmost0) return kFALSE;
1894      dx = xk - r[0];
1895      x += dx;
1896      y += p[1]/p[0]*dx;
1897      z += p[2]/p[0]*dx;
1898   }
1899
1900
1901   // Calculate the track parameters
1902   t=TMath::Sqrt(p[0]*p[0] + p[1]*p[1]);
1903   fX    = x;
1904   fP[0] = y;
1905   fP[1] = z;
1906   fP[2] = p[1]/t;
1907   fP[3] = p[2]/t;
1908   fP[4] = GetSign()/(t*pp);
1909
1910   return kTRUE;
1911 }
1912
1913 Bool_t AliExternalTrackParam::Translate(Double_t *vTrasl,Double_t *covV){
1914   //
1915   //Translation: in the event mixing, the tracks can be shifted
1916   //of the difference among primary vertices (vTrasl) and
1917   //the covariance matrix is changed accordingly
1918   //(covV = covariance of the primary vertex).
1919   //Origin: "Romita, Rossella" <R.Romita@gsi.de>
1920   //
1921   TVector3 translation;
1922   // vTrasl coordinates in the local system
1923   translation.SetXYZ(vTrasl[0],vTrasl[1],vTrasl[2]);
1924   translation.RotateZ(-fAlpha);
1925   translation.GetXYZ(vTrasl);
1926
1927  //compute the new x,y,z of the track
1928   Double_t newX=fX-vTrasl[0];
1929   Double_t newY=fP[0]-vTrasl[1];
1930   Double_t newZ=fP[1]-vTrasl[2];
1931
1932   //define the new parameters
1933   Double_t newParam[5];
1934   newParam[0]=newY;
1935   newParam[1]=newZ;
1936   newParam[2]=fP[2];
1937   newParam[3]=fP[3];
1938   newParam[4]=fP[4];
1939
1940   // recompute the covariance matrix:
1941   // 1. covV in the local system
1942   Double_t cosRot=TMath::Cos(fAlpha), sinRot=TMath::Sin(fAlpha);
1943   TMatrixD qQi(3,3);
1944   qQi(0,0) = cosRot;
1945   qQi(0,1) = sinRot;
1946   qQi(0,2) = 0.;
1947   qQi(1,0) = -sinRot;
1948   qQi(1,1) = cosRot;
1949   qQi(1,2) = 0.;
1950   qQi(2,0) = 0.;
1951   qQi(2,1) = 0.;
1952   qQi(2,2) = 1.;
1953   TMatrixD uUi(3,3);
1954   uUi(0,0) = covV[0];
1955   uUi(0,0) = covV[0];
1956   uUi(1,0) = covV[1];
1957   uUi(0,1) = covV[1];
1958   uUi(2,0) = covV[3];
1959   uUi(0,2) = covV[3];
1960   uUi(1,1) = covV[2];
1961   uUi(2,2) = covV[5];
1962   uUi(1,2) = covV[4];
1963   if(uUi.Determinant() <= 0.) {return kFALSE;}
1964   TMatrixD uUiQi(uUi,TMatrixD::kMult,qQi);
1965   TMatrixD m(qQi,TMatrixD::kTransposeMult,uUiQi);
1966
1967   //2. compute the new covariance matrix of the track
1968   Double_t sigmaXX=m(0,0);
1969   Double_t sigmaXZ=m(2,0);
1970   Double_t sigmaXY=m(1,0);
1971   Double_t sigmaYY=GetSigmaY2()+m(1,1);
1972   Double_t sigmaYZ=fC[1]+m(1,2);
1973   Double_t sigmaZZ=fC[2]+m(2,2);
1974   Double_t covarianceYY=sigmaYY + (-1.)*((sigmaXY*sigmaXY)/sigmaXX);
1975   Double_t covarianceYZ=sigmaYZ-(sigmaXZ*sigmaXY/sigmaXX);
1976   Double_t covarianceZZ=sigmaZZ-((sigmaXZ*sigmaXZ)/sigmaXX);
1977
1978   Double_t newCov[15];
1979   newCov[0]=covarianceYY;
1980   newCov[1]=covarianceYZ;
1981   newCov[2]=covarianceZZ;
1982   for(Int_t i=3;i<15;i++){
1983     newCov[i]=fC[i];
1984    }
1985
1986   // set the new parameters
1987
1988   Set(newX,fAlpha,newParam,newCov);
1989
1990   return kTRUE;
1991  }