5157d3de7e452f7d994ca1e952f23f682533098d
[u/mrichter/AliRoot.git] / STEER / STEERBase / AliExternalTrackParam.cxx
1 /**************************************************************************
2  * Copyright(c) 1998-1999, ALICE Experiment at CERN, All rights reserved. *
3  *                                                                        *
4  * Author: The ALICE Off-line Project.                                    *
5  * Contributors are mentioned in the code where appropriate.              *
6  *                                                                        *
7  * Permission to use, copy, modify and distribute this software and its   *
8  * documentation strictly for non-commercial purposes is hereby granted   *
9  * without fee, provided that the above copyright notice appears in all   *
10  * copies and that both the copyright notice and this permission notice   *
11  * appear in the supporting documentation. The authors make no claims     *
12  * about the suitability of this software for any purpose. It is          *
13  * provided "as is" without express or implied warranty.                  *
14  **************************************************************************/
15
16 /* $Id$ */
17
18 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
19 //                                                                           //
20 // Implementation of the external track parameterisation class.              //
21 //                                                                           //
22 // This parameterisation is used to exchange tracks between the detectors.   //
23 // A set of functions returning the position and the momentum of tracks      //
24 // in the global coordinate system as well as the track impact parameters    //
25 // are implemented.
26 // Origin: I.Belikov, CERN, Jouri.Belikov@cern.ch                            //
27 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
28 #include <cassert>
29
30 #include <TVectorD.h>
31 #include <TMatrixDSym.h>
32 #include <TPolyMarker3D.h>
33 #include <TVector3.h>
34 #include <TMatrixD.h>
35
36 #include "AliExternalTrackParam.h"
37 #include "AliVVertex.h"
38 #include "AliLog.h"
39
40 ClassImp(AliExternalTrackParam)
41
42 Double32_t AliExternalTrackParam::fgMostProbablePt=kMostProbablePt;
43 Bool_t AliExternalTrackParam::fgUseLogTermMS = kFALSE;; 
44 //_____________________________________________________________________________
45 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam() :
46   AliVTrack(),
47   fX(0),
48   fAlpha(0)
49 {
50   //
51   // default constructor
52   //
53   for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = 0;
54   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = 0;
55 }
56
57 //_____________________________________________________________________________
58 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(const AliExternalTrackParam &track):
59   AliVTrack(track),
60   fX(track.fX),
61   fAlpha(track.fAlpha)
62 {
63   //
64   // copy constructor
65   //
66   for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = track.fP[i];
67   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = track.fC[i];
68   CheckCovariance();
69 }
70
71 //_____________________________________________________________________________
72 AliExternalTrackParam& AliExternalTrackParam::operator=(const AliExternalTrackParam &trkPar)
73 {
74   //
75   // assignment operator
76   //
77   
78   if (this!=&trkPar) {
79     AliVTrack::operator=(trkPar);
80     fX = trkPar.fX;
81     fAlpha = trkPar.fAlpha;
82
83     for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = trkPar.fP[i];
84     for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = trkPar.fC[i];
85     CheckCovariance();
86   }
87
88   return *this;
89 }
90
91 //_____________________________________________________________________________
92 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(Double_t x, Double_t alpha, 
93                                              const Double_t param[5], 
94                                              const Double_t covar[15]) :
95   AliVTrack(),
96   fX(x),
97   fAlpha(alpha)
98 {
99   //
100   // create external track parameters from given arguments
101   //
102   for (Int_t i = 0; i < 5; i++)  fP[i] = param[i];
103   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = covar[i];
104   CheckCovariance();
105 }
106
107 //_____________________________________________________________________________
108 void AliExternalTrackParam::CopyFromVTrack(const AliVTrack *vTrack)
109 {
110   //
111   // Recreate TrackParams from VTrack
112   // This is not a copy contructor !
113   //
114   if (!vTrack) {
115     AliError("Source VTrack is NULL");
116     return;
117   }
118   if (this==vTrack) {
119     AliError("Copy of itself is requested");
120     return;
121   }
122   //
123   if (vTrack->InheritsFrom(AliExternalTrackParam::Class())) {
124     AliDebug(1,"Source itself is AliExternalTrackParam, using assignment operator");
125     *this = *(AliExternalTrackParam*)vTrack;
126     return;
127   }
128   //
129   AliVTrack::operator=( *vTrack );
130   //
131   Double_t xyz[3],pxpypz[3],cv[21];
132   vTrack->GetXYZ(xyz);
133   pxpypz[0]=vTrack->Px();
134   pxpypz[1]=vTrack->Py();
135   pxpypz[2]=vTrack->Pz();
136   vTrack->GetCovarianceXYZPxPyPz(cv);
137   Short_t sign = (Short_t)vTrack->Charge();
138   Set(xyz,pxpypz,cv,sign);
139 }
140
141 //_____________________________________________________________________________
142 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(const AliVTrack *vTrack) :
143   AliVTrack(),
144   fX(0.),
145   fAlpha(0.)
146 {
147   //
148   // Constructor from virtual track,
149   // This is not a copy contructor !
150   //
151
152   if (vTrack->InheritsFrom("AliExternalTrackParam")) {
153      AliError("This is not a copy constructor. Use AliExternalTrackParam(const AliExternalTrackParam &) !");
154      AliWarning("Calling the default constructor...");
155      AliExternalTrackParam();
156      return;
157   }
158
159   Double_t xyz[3],pxpypz[3],cv[21];
160   vTrack->GetXYZ(xyz);
161   pxpypz[0]=vTrack->Px();
162   pxpypz[1]=vTrack->Py();
163   pxpypz[2]=vTrack->Pz();
164   vTrack->GetCovarianceXYZPxPyPz(cv);
165   Short_t sign = (Short_t)vTrack->Charge();
166
167   Set(xyz,pxpypz,cv,sign);
168 }
169
170 //_____________________________________________________________________________
171 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(Double_t xyz[3],Double_t pxpypz[3],
172                                              Double_t cv[21],Short_t sign) :
173   AliVTrack(),
174   fX(0.),
175   fAlpha(0.)
176 {
177   //
178   // constructor from the global parameters
179   //
180
181   Set(xyz,pxpypz,cv,sign);
182 }
183
184 //_____________________________________________________________________________
185 void AliExternalTrackParam::Set(Double_t xyz[3],Double_t pxpypz[3],
186                                 Double_t cv[21],Short_t sign) 
187 {
188   //
189   // create external track parameters from the global parameters
190   // x,y,z,px,py,pz and their 6x6 covariance matrix
191   // A.Dainese 10.10.08
192
193   // Calculate alpha: the rotation angle of the corresponding local system.
194   //
195   // For global radial position inside the beam pipe, alpha is the
196   // azimuthal angle of the momentum projected on (x,y).
197   //
198   // For global radial position outside the ITS, alpha is the
199   // azimuthal angle of the centre of the TPC sector in which the point
200   // xyz lies
201   //
202   const double kSafe = 1e-5;
203   Double_t radPos2 = xyz[0]*xyz[0]+xyz[1]*xyz[1];  
204   Double_t radMax  = 45.; // approximately ITS outer radius
205   if (radPos2 < radMax*radMax) { // inside the ITS     
206      fAlpha = TMath::ATan2(pxpypz[1],pxpypz[0]);
207   } else { // outside the ITS
208      Float_t phiPos = TMath::Pi()+TMath::ATan2(-xyz[1], -xyz[0]);
209      fAlpha = 
210      TMath::DegToRad()*(20*((((Int_t)(phiPos*TMath::RadToDeg()))/20))+10);
211   }
212   //
213   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
214   // protection:  avoid alpha being too close to 0 or +-pi/2
215   if (TMath::Abs(sn)<2*kSafe) {
216     if (fAlpha>0) fAlpha += fAlpha< TMath::Pi()/2. ?  2*kSafe : -2*kSafe;
217     else          fAlpha += fAlpha>-TMath::Pi()/2. ? -2*kSafe :  2*kSafe;
218     cs=TMath::Cos(fAlpha);
219     sn=TMath::Sin(fAlpha);
220   }
221   else if (TMath::Abs(cs)<2*kSafe) {
222     if (fAlpha>0) fAlpha += fAlpha> TMath::Pi()/2. ? 2*kSafe : -2*kSafe;
223     else          fAlpha += fAlpha>-TMath::Pi()/2. ? 2*kSafe : -2*kSafe;
224     cs=TMath::Cos(fAlpha);
225     sn=TMath::Sin(fAlpha);
226   }
227   // Get the vertex of origin and the momentum
228   TVector3 ver(xyz[0],xyz[1],xyz[2]);
229   TVector3 mom(pxpypz[0],pxpypz[1],pxpypz[2]);
230   //
231   // avoid momenta along axis
232   if (TMath::Abs(mom[0])<kSafe) mom[0] = TMath::Sign(kSafe*TMath::Abs(mom[1]), mom[0]);
233   if (TMath::Abs(mom[1])<kSafe) mom[1] = TMath::Sign(kSafe*TMath::Abs(mom[0]), mom[1]);
234
235   // Rotate to the local coordinate system
236   ver.RotateZ(-fAlpha);
237   mom.RotateZ(-fAlpha);
238
239   // x of the reference plane
240   fX = ver.X();
241
242   Double_t charge = (Double_t)sign;
243
244   fP[0] = ver.Y();
245   fP[1] = ver.Z();
246   fP[2] = TMath::Sin(mom.Phi());
247   fP[3] = mom.Pz()/mom.Pt();
248   fP[4] = TMath::Sign(1/mom.Pt(),charge);
249
250   // Covariance matrix (formulas to be simplified)
251
252   if      (TMath::Abs( 1-fP[2]) < kSafe) fP[2] = 1.- kSafe; //Protection
253   else if (TMath::Abs(-1-fP[2]) < kSafe) fP[2] =-1.+ kSafe; //Protection
254
255   Double_t pt=1./TMath::Abs(fP[4]);
256   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2]));
257
258   Double_t m00=-sn;// m10=cs;
259   Double_t m23=-pt*(sn + fP[2]*cs/r), m43=-pt*pt*(r*cs - fP[2]*sn);
260   Double_t m24= pt*(cs - fP[2]*sn/r), m44=-pt*pt*(r*sn + fP[2]*cs);
261   Double_t m35=pt, m45=-pt*pt*fP[3];
262
263   m43*=GetSign();
264   m44*=GetSign();
265   m45*=GetSign();
266
267   Double_t cv34 = TMath::Sqrt(cv[3 ]*cv[3 ]+cv[4 ]*cv[4 ]);
268   Double_t a1=cv[13]-cv[9]*(m23*m44+m43*m24)/m23/m43;
269   Double_t a2=m23*m24-m23*(m23*m44+m43*m24)/m43;
270   Double_t a3=m43*m44-m43*(m23*m44+m43*m24)/m23;
271   Double_t a4=cv[14]-2.*cv[9]*m24*m44/m23/m43;
272   Double_t a5=m24*m24-2.*m24*m44*m23/m43;
273   Double_t a6=m44*m44-2.*m24*m44*m43/m23;
274
275   fC[0 ] = cv[0 ]+cv[2 ];  
276   fC[1 ] = TMath::Sign(cv34,cv[3 ]/m00); 
277   fC[2 ] = cv[5 ]; 
278   fC[3 ] = (cv[10]*m43-cv[6]*m44)/(m24*m43-m23*m44)/m00; 
279   fC[10] = (cv[6]/m00-fC[3 ]*m23)/m43; 
280   fC[6 ] = (cv[15]/m00-fC[10]*m45)/m35; 
281   fC[4 ] = (cv[12]*m43-cv[8]*m44)/(m24*m43-m23*m44); 
282   fC[11] = (cv[8]-fC[4]*m23)/m43; 
283   fC[7 ] = cv[17]/m35-fC[11]*m45/m35; 
284   fC[5 ] = TMath::Abs((a4*a3-a6*a1)/(a5*a3-a6*a2));
285   fC[14] = TMath::Abs((a1-a2*fC[5])/a3);
286   fC[12] = (cv[9]-fC[5]*m23*m23-fC[14]*m43*m43)/m23/m43;
287   Double_t b1=cv[18]-fC[12]*m23*m45-fC[14]*m43*m45;
288   Double_t b2=m23*m35;
289   Double_t b3=m43*m35;
290   Double_t b4=cv[19]-fC[12]*m24*m45-fC[14]*m44*m45;
291   Double_t b5=m24*m35;
292   Double_t b6=m44*m35;
293   fC[8 ] = (b4-b6*b1/b3)/(b5-b6*b2/b3);
294   fC[13] = b1/b3-b2*fC[8]/b3;
295   fC[9 ] = TMath::Abs((cv[20]-fC[14]*(m45*m45)-fC[13]*2.*m35*m45)/(m35*m35));
296
297   CheckCovariance();
298
299   return;
300 }
301
302 //_____________________________________________________________________________
303 void AliExternalTrackParam::Reset() {
304   //
305   // Resets all the parameters to 0 
306   //
307   fX=fAlpha=0.;
308   for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = 0;
309   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = 0;
310 }
311
312 //_____________________________________________________________________________
313 void AliExternalTrackParam::AddCovariance(const Double_t c[15]) {
314   //
315   // Add "something" to the track covarince matrix.
316   // May be needed to account for unknown mis-calibration/mis-alignment
317   //
318     fC[0] +=c[0];
319     fC[1] +=c[1];  fC[2] +=c[2];
320     fC[3] +=c[3];  fC[4] +=c[4];  fC[5] +=c[5];
321     fC[6] +=c[6];  fC[7] +=c[7];  fC[8] +=c[8];  fC[9] +=c[9];
322     fC[10]+=c[10]; fC[11]+=c[11]; fC[12]+=c[12]; fC[13]+=c[13]; fC[14]+=c[14];
323     CheckCovariance();
324 }
325
326
327 Double_t AliExternalTrackParam::GetP() const {
328   //---------------------------------------------------------------------
329   // This function returns the track momentum
330   // Results for (nearly) straight tracks are meaningless !
331   //---------------------------------------------------------------------
332   if (TMath::Abs(fP[4])<=kAlmost0) return kVeryBig;
333   return TMath::Sqrt(1.+ fP[3]*fP[3])/TMath::Abs(fP[4]);
334 }
335
336 Double_t AliExternalTrackParam::Get1P() const {
337   //---------------------------------------------------------------------
338   // This function returns the 1/(track momentum)
339   //---------------------------------------------------------------------
340   return TMath::Abs(fP[4])/TMath::Sqrt(1.+ fP[3]*fP[3]);
341 }
342
343 //_______________________________________________________________________
344 Double_t AliExternalTrackParam::GetD(Double_t x,Double_t y,Double_t b) const {
345   //------------------------------------------------------------------
346   // This function calculates the transverse impact parameter
347   // with respect to a point with global coordinates (x,y)
348   // in the magnetic field "b" (kG)
349   //------------------------------------------------------------------
350   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) return GetLinearD(x,y);
351   Double_t rp4=GetC(b);
352
353   Double_t xt=fX, yt=fP[0];
354
355   Double_t sn=TMath::Sin(fAlpha), cs=TMath::Cos(fAlpha);
356   Double_t a = x*cs + y*sn;
357   y = -x*sn + y*cs; x=a;
358   xt-=x; yt-=y;
359
360   sn=rp4*xt - fP[2]; cs=rp4*yt + TMath::Sqrt((1.- fP[2])*(1.+fP[2]));
361   a=2*(xt*fP[2] - yt*TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2])))-rp4*(xt*xt + yt*yt);
362   return  -a/(1 + TMath::Sqrt(sn*sn + cs*cs));
363 }
364
365 //_______________________________________________________________________
366 void AliExternalTrackParam::
367 GetDZ(Double_t x, Double_t y, Double_t z, Double_t b, Float_t dz[2]) const {
368   //------------------------------------------------------------------
369   // This function calculates the transverse and longitudinal impact parameters
370   // with respect to a point with global coordinates (x,y)
371   // in the magnetic field "b" (kG)
372   //------------------------------------------------------------------
373   Double_t f1 = fP[2], r1 = TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1));
374   Double_t xt=fX, yt=fP[0];
375   Double_t sn=TMath::Sin(fAlpha), cs=TMath::Cos(fAlpha);
376   Double_t a = x*cs + y*sn;
377   y = -x*sn + y*cs; x=a;
378   xt-=x; yt-=y;
379
380   Double_t rp4=GetC(b);
381   if ((TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) || (TMath::Abs(rp4) < kAlmost0)) {
382      dz[0] = -(xt*f1 - yt*r1);
383      dz[1] = fP[1] + (dz[0]*f1 - xt)/r1*fP[3] - z;
384      return;
385   }
386
387   sn=rp4*xt - f1; cs=rp4*yt + r1;
388   a=2*(xt*f1 - yt*r1)-rp4*(xt*xt + yt*yt);
389   Double_t rr=TMath::Sqrt(sn*sn + cs*cs);
390   dz[0] = -a/(1 + rr);
391   Double_t f2 = -sn/rr, r2 = TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
392   dz[1] = fP[1] + fP[3]/rp4*TMath::ASin(f2*r1 - f1*r2) - z;
393 }
394
395 //_______________________________________________________________________
396 Double_t AliExternalTrackParam::GetLinearD(Double_t xv,Double_t yv) const {
397   //------------------------------------------------------------------
398   // This function calculates the transverse impact parameter
399   // with respect to a point with global coordinates (xv,yv)
400   // neglecting the track curvature.
401   //------------------------------------------------------------------
402   Double_t sn=TMath::Sin(fAlpha), cs=TMath::Cos(fAlpha);
403   Double_t x= xv*cs + yv*sn;
404   Double_t y=-xv*sn + yv*cs;
405
406   Double_t d = (fX-x)*fP[2] - (fP[0]-y)*TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2]));
407
408   return -d;
409 }
410
411 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMeanMaterialdEdx
412 (Double_t xOverX0,  Double_t xTimesRho, Double_t mass, 
413  Double_t dEdx,
414  Bool_t anglecorr) {
415   //------------------------------------------------------------------
416   // This function corrects the track parameters for the crossed material.
417   // "xOverX0"   - X/X0, the thickness in units of the radiation length.
418   // "xTimesRho" - is the product length*density (g/cm^2).
419   //     It should be passed as negative when propagating tracks 
420   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel. 
421   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2).
422   // "dEdx" - mean enery loss (GeV/(g/cm^2)
423   // "anglecorr" - switch for the angular correction
424   //------------------------------------------------------------------
425   Double_t &fP2=fP[2];
426   Double_t &fP3=fP[3];
427   Double_t &fP4=fP[4];
428
429   Double_t &fC22=fC[5];
430   Double_t &fC33=fC[9];
431   Double_t &fC43=fC[13];
432   Double_t &fC44=fC[14];
433
434   //Apply angle correction, if requested
435   if(anglecorr) {
436     Double_t angle=TMath::Sqrt((1.+ fP3*fP3)/((1-fP2)*(1.+fP2)));
437     xOverX0 *=angle;
438     xTimesRho *=angle;
439   } 
440
441   Double_t p=GetP();
442   Double_t p2=p*p;
443   Double_t beta2=p2/(p2 + mass*mass);
444
445   //Calculating the multiple scattering corrections******************
446   Double_t cC22 = 0.;
447   Double_t cC33 = 0.;
448   Double_t cC43 = 0.;
449   Double_t cC44 = 0.;
450   if (xOverX0 != 0) {
451     //Double_t theta2=1.0259e-6*14*14/28/(beta2*p2)*TMath::Abs(d)*9.36*2.33;
452     Double_t theta2=0.0136*0.0136/(beta2*p2)*TMath::Abs(xOverX0);
453     if (GetUseLogTermMS()) {
454       double lt = 1+0.038*TMath::Log(TMath::Abs(xOverX0));
455       if (lt>0) theta2 *= lt*lt;
456     }
457     if(theta2>TMath::Pi()*TMath::Pi()) return kFALSE;
458     cC22 = theta2*((1.-fP2)*(1.+fP2))*(1. + fP3*fP3);
459     cC33 = theta2*(1. + fP3*fP3)*(1. + fP3*fP3);
460     cC43 = theta2*fP3*fP4*(1. + fP3*fP3);
461     cC44 = theta2*fP3*fP4*fP3*fP4;
462   }
463
464   //Calculating the energy loss corrections************************
465   Double_t cP4=1.;
466   if ((xTimesRho != 0.) && (beta2 < 1.)) {
467      Double_t dE=dEdx*xTimesRho;
468      Double_t e=TMath::Sqrt(p2 + mass*mass);
469      if ( TMath::Abs(dE) > 0.3*e ) return kFALSE; //30% energy loss is too much!
470      //cP4 = (1.- e/p2*dE);
471      if ( (1.+ dE/p2*(dE + 2*e)) < 0. ) return kFALSE;
472      cP4 = 1./TMath::Sqrt(1.+ dE/p2*(dE + 2*e));  //A precise formula by Ruben !
473      if (TMath::Abs(fP4*cP4)>100.) return kFALSE; //Do not track below 10 MeV/c
474
475
476      // Approximate energy loss fluctuation (M.Ivanov)
477      const Double_t knst=0.07; // To be tuned.  
478      Double_t sigmadE=knst*TMath::Sqrt(TMath::Abs(dE)); 
479      cC44 += ((sigmadE*e/p2*fP4)*(sigmadE*e/p2*fP4)); 
480  
481   }
482
483   //Applying the corrections*****************************
484   fC22 += cC22;
485   fC33 += cC33;
486   fC43 += cC43;
487   fC44 += cC44;
488   fP4  *= cP4;
489
490   CheckCovariance();
491
492   return kTRUE;
493 }
494
495 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMeanMaterial
496 (Double_t xOverX0,  Double_t xTimesRho, Double_t mass, 
497  Bool_t anglecorr,
498  Double_t (*Bethe)(Double_t)) {
499   //------------------------------------------------------------------
500   // This function corrects the track parameters for the crossed material.
501   // "xOverX0"   - X/X0, the thickness in units of the radiation length.
502   // "xTimesRho" - is the product length*density (g/cm^2). 
503   //     It should be passed as negative when propagating tracks 
504   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel. 
505   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2).
506   // "anglecorr" - switch for the angular correction
507   // "Bethe" - function calculating the energy loss (GeV/(g/cm^2)) 
508   //------------------------------------------------------------------
509   
510   Double_t bg=GetP()/mass;
511   Double_t dEdx=Bethe(bg);
512
513   return CorrectForMeanMaterialdEdx(xOverX0,xTimesRho,mass,dEdx,anglecorr);
514 }
515
516 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMeanMaterialZA
517 (Double_t xOverX0, Double_t xTimesRho, Double_t mass,
518  Double_t zOverA,
519  Double_t density,
520  Double_t exEnergy,
521  Double_t jp1,
522  Double_t jp2,
523  Bool_t anglecorr) {
524   //------------------------------------------------------------------
525   // This function corrects the track parameters for the crossed material
526   // using the full Geant-like Bethe-Bloch formula parameterization
527   // "xOverX0"   - X/X0, the thickness in units of the radiation length.
528   // "xTimesRho" - is the product length*density (g/cm^2). 
529   //     It should be passed as negative when propagating tracks 
530   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel. 
531   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2).
532   // "density"  - mean density (g/cm^3)
533   // "zOverA"   - mean Z/A
534   // "exEnergy" - mean exitation energy (GeV)
535   // "jp1"      - density effect first junction point
536   // "jp2"      - density effect second junction point
537   // "anglecorr" - switch for the angular correction
538   //
539   //  The default values of the parameters are for silicon 
540   //
541   //------------------------------------------------------------------
542
543   Double_t bg=GetP()/mass;
544   Double_t dEdx=BetheBlochGeant(bg,density,jp1,jp2,exEnergy,zOverA);
545
546   return CorrectForMeanMaterialdEdx(xOverX0,xTimesRho,mass,dEdx,anglecorr);
547 }
548
549
550
551 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMaterial
552 (Double_t d,  Double_t x0, Double_t mass, Double_t (*Bethe)(Double_t)) {
553   //------------------------------------------------------------------
554   //                    Deprecated function !   
555   //       Better use CorrectForMeanMaterial instead of it.
556   //
557   // This function corrects the track parameters for the crossed material
558   // "d"    - the thickness (fraction of the radiation length)
559   //     It should be passed as negative when propagating tracks 
560   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel. 
561   // "x0"   - the radiation length (g/cm^2) 
562   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2)
563   //------------------------------------------------------------------
564
565   return CorrectForMeanMaterial(d,x0*d,mass,kTRUE,Bethe);
566
567 }
568
569 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochAleph(Double_t bg,
570          Double_t kp1,
571          Double_t kp2,
572          Double_t kp3,
573          Double_t kp4,
574          Double_t kp5) {
575   //
576   // This is the empirical ALEPH parameterization of the Bethe-Bloch formula.
577   // It is normalized to 1 at the minimum.
578   //
579   // bg - beta*gamma
580   // 
581   // The default values for the kp* parameters are for ALICE TPC.
582   // The returned value is in MIP units
583   //
584
585   Double_t beta = bg/TMath::Sqrt(1.+ bg*bg);
586
587   Double_t aa = TMath::Power(beta,kp4);
588   Double_t bb = TMath::Power(1./bg,kp5);
589
590   bb=TMath::Log(kp3+bb);
591   
592   return (kp2-aa-bb)*kp1/aa;
593 }
594
595 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochGeant(Double_t bg,
596          Double_t kp0,
597          Double_t kp1,
598          Double_t kp2,
599          Double_t kp3,
600          Double_t kp4) {
601   //
602   // This is the parameterization of the Bethe-Bloch formula inspired by Geant.
603   //
604   // bg  - beta*gamma
605   // kp0 - density [g/cm^3]
606   // kp1 - density effect first junction point
607   // kp2 - density effect second junction point
608   // kp3 - mean excitation energy [GeV]
609   // kp4 - mean Z/A
610   //
611   // The default values for the kp* parameters are for silicon. 
612   // The returned value is in [GeV/(g/cm^2)].
613   // 
614
615   const Double_t mK  = 0.307075e-3; // [GeV*cm^2/g]
616   const Double_t me  = 0.511e-3;    // [GeV/c^2]
617   const Double_t rho = kp0;
618   const Double_t x0  = kp1*2.303;
619   const Double_t x1  = kp2*2.303;
620   const Double_t mI  = kp3;
621   const Double_t mZA = kp4;
622   const Double_t bg2 = bg*bg;
623   const Double_t maxT= 2*me*bg2;    // neglecting the electron mass
624   
625   //*** Density effect
626   Double_t d2=0.; 
627   const Double_t x=TMath::Log(bg);
628   const Double_t lhwI=TMath::Log(28.816*1e-9*TMath::Sqrt(rho*mZA)/mI);
629   if (x > x1) {
630     d2 = lhwI + x - 0.5;
631   } else if (x > x0) {
632     const Double_t r=(x1-x)/(x1-x0);
633     d2 = lhwI + x - 0.5 + (0.5 - lhwI - x0)*r*r*r;
634   }
635
636   return mK*mZA*(1+bg2)/bg2*
637          (0.5*TMath::Log(2*me*bg2*maxT/(mI*mI)) - bg2/(1+bg2) - d2);
638 }
639
640 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochSolid(Double_t bg) {
641   //------------------------------------------------------------------
642   // This is an approximation of the Bethe-Bloch formula, 
643   // reasonable for solid materials. 
644   // All the parameters are, in fact, for Si.
645   // The returned value is in [GeV/(g/cm^2)]
646   //------------------------------------------------------------------
647
648   return BetheBlochGeant(bg);
649 }
650
651 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochGas(Double_t bg) {
652   //------------------------------------------------------------------
653   // This is an approximation of the Bethe-Bloch formula, 
654   // reasonable for gas materials.
655   // All the parameters are, in fact, for Ne.
656   // The returned value is in [GeV/(g/cm^2)]
657   //------------------------------------------------------------------
658
659   const Double_t rho = 0.9e-3;
660   const Double_t x0  = 2.;
661   const Double_t x1  = 4.;
662   const Double_t mI  = 140.e-9;
663   const Double_t mZA = 0.49555;
664
665   return BetheBlochGeant(bg,rho,x0,x1,mI,mZA);
666 }
667
668 Bool_t AliExternalTrackParam::Rotate(Double_t alpha) {
669   //------------------------------------------------------------------
670   // Transform this track to the local coord. system rotated
671   // by angle "alpha" (rad) with respect to the global coord. system. 
672   //------------------------------------------------------------------
673   if (TMath::Abs(fP[2]) >= kAlmost1) {
674      AliError(Form("Precondition is not satisfied: |sin(phi)|>1 ! %f",fP[2])); 
675      return kFALSE;
676   }
677  
678   if      (alpha < -TMath::Pi()) alpha += 2*TMath::Pi();
679   else if (alpha >= TMath::Pi()) alpha -= 2*TMath::Pi();
680
681   Double_t &fP0=fP[0];
682   Double_t &fP2=fP[2];
683   Double_t &fC00=fC[0];
684   Double_t &fC10=fC[1];
685   Double_t &fC20=fC[3];
686   Double_t &fC21=fC[4];
687   Double_t &fC22=fC[5];
688   Double_t &fC30=fC[6];
689   Double_t &fC32=fC[8];
690   Double_t &fC40=fC[10];
691   Double_t &fC42=fC[12];
692
693   Double_t x=fX;
694   Double_t ca=TMath::Cos(alpha-fAlpha), sa=TMath::Sin(alpha-fAlpha);
695   Double_t sf=fP2, cf=TMath::Sqrt((1.- fP2)*(1.+fP2)); // Improve precision
696   // RS: check if rotation does no invalidate track model (cos(local_phi)>=0, i.e. particle
697   // direction in local frame is along the X axis
698   if ((cf*ca+sf*sa)<0) {
699     AliDebug(1,Form("Rotation failed: local cos(phi) would become %.2f",cf*ca+sf*sa));
700     return kFALSE;
701   }
702   //
703   Double_t tmp=sf*ca - cf*sa;
704
705   if (TMath::Abs(tmp) >= kAlmost1) {
706      if (TMath::Abs(tmp) > 1.+ Double_t(FLT_EPSILON))  
707         AliWarning(Form("Rotation failed ! %.10e",tmp));
708      return kFALSE;
709   }
710   fAlpha = alpha;
711   fX =  x*ca + fP0*sa;
712   fP0= -x*sa + fP0*ca;
713   fP2=  tmp;
714
715   if (TMath::Abs(cf)<kAlmost0) {
716     AliError(Form("Too small cosine value %f",cf)); 
717     cf = kAlmost0;
718   } 
719
720   Double_t rr=(ca+sf/cf*sa);  
721
722   fC00 *= (ca*ca);
723   fC10 *= ca;
724   fC20 *= ca*rr;
725   fC21 *= rr;
726   fC22 *= rr*rr;
727   fC30 *= ca;
728   fC32 *= rr;
729   fC40 *= ca;
730   fC42 *= rr;
731
732   CheckCovariance();
733
734   return kTRUE;
735 }
736
737 Bool_t AliExternalTrackParam::Invert() {
738   //------------------------------------------------------------------
739   // Transform this track to the local coord. system rotated by 180 deg. 
740   //------------------------------------------------------------------
741   fX = -fX;
742   fAlpha += TMath::Pi();
743   while (fAlpha < -TMath::Pi()) fAlpha += 2*TMath::Pi();
744   while (fAlpha >= TMath::Pi()) fAlpha -= 2*TMath::Pi();
745   //
746   fP[0] = -fP[0];
747   //fP[2] = -fP[2];
748   fP[3] = -fP[3];
749   fP[4] = -fP[4];
750   //
751   fC[1] = -fC[1]; // since the fP1 and fP2 are not inverted, their covariances with others change sign
752   fC[3] = -fC[3];
753   fC[7] = -fC[7];
754   fC[8] = -fC[8]; 
755   fC[11] = -fC[11]; 
756   fC[12] = -fC[12]; 
757   //
758   return kTRUE;
759 }
760
761 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateTo(Double_t xk, Double_t b) {
762   //----------------------------------------------------------------
763   // Propagate this track to the plane X=xk (cm) in the field "b" (kG)
764   //----------------------------------------------------------------
765   Double_t dx=xk-fX;
766   if (TMath::Abs(dx)<=kAlmost0)  return kTRUE;
767
768   Double_t crv=GetC(b);
769   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
770
771   Double_t x2r = crv*dx;
772   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + x2r;
773   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
774   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
775   if (TMath::Abs(fP[4])< kAlmost0) return kFALSE;
776
777   Double_t &fP0=fP[0], &fP1=fP[1], &fP2=fP[2], &fP3=fP[3], &fP4=fP[4];
778   Double_t 
779   &fC00=fC[0],
780   &fC10=fC[1],   &fC11=fC[2],  
781   &fC20=fC[3],   &fC21=fC[4],   &fC22=fC[5],
782   &fC30=fC[6],   &fC31=fC[7],   &fC32=fC[8],   &fC33=fC[9],  
783   &fC40=fC[10],  &fC41=fC[11],  &fC42=fC[12],  &fC43=fC[13], &fC44=fC[14];
784
785   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
786   if (TMath::Abs(r1)<kAlmost0)  return kFALSE;
787   if (TMath::Abs(r2)<kAlmost0)  return kFALSE;
788
789   fX=xk;
790   double dy2dx = (f1+f2)/(r1+r2);
791   fP0 += dx*dy2dx;
792   if (TMath::Abs(x2r)<0.05) {
793     fP1 += dx*(r2 + f2*dy2dx)*fP3;  // Many thanks to P.Hristov !
794     fP2 += x2r;
795   }
796   else { 
797     // for small dx/R the linear apporximation of the arc by the segment is OK,
798     // but at large dx/R the error is very large and leads to incorrect Z propagation
799     // angle traversed delta = 2*asin(dist_start_end / R / 2), hence the arc is: R*deltaPhi
800     // The dist_start_end is obtained from sqrt(dx^2+dy^2) = x/(r1+r2)*sqrt(2+f1*f2+r1*r2)
801     // Similarly, the rotation angle in linear in dx only for dx<<R
802     double chord = dx*TMath::Sqrt(1+dy2dx*dy2dx);   // distance from old position to new one
803     double rot = 2*TMath::ASin(0.5*chord*crv); // angular difference seen from the circle center
804     fP1 += rot/crv*fP3;
805     fP2  = TMath::Sin(rot + TMath::ASin(fP2));
806   }
807
808   //f = F - 1
809   /*
810   Double_t f02=    dx/(r1*r1*r1);            Double_t cc=crv/fP4;
811   Double_t f04=0.5*dx*dx/(r1*r1*r1);         f04*=cc;
812   Double_t f12=    dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);
813   Double_t f14=0.5*dx*dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);  f14*=cc;
814   Double_t f13=    dx/r1;
815   Double_t f24=    dx;                       f24*=cc;
816   */
817   Double_t rinv = 1./r1;
818   Double_t r3inv = rinv*rinv*rinv;
819   Double_t f24=    x2r/fP4;
820   Double_t f02=    dx*r3inv;
821   Double_t f04=0.5*f24*f02;
822   Double_t f12=    f02*fP3*f1;
823   Double_t f14=0.5*f24*f02*fP3*f1;
824   Double_t f13=    dx*rinv;
825
826   //b = C*ft
827   Double_t b00=f02*fC20 + f04*fC40, b01=f12*fC20 + f14*fC40 + f13*fC30;
828   Double_t b02=f24*fC40;
829   Double_t b10=f02*fC21 + f04*fC41, b11=f12*fC21 + f14*fC41 + f13*fC31;
830   Double_t b12=f24*fC41;
831   Double_t b20=f02*fC22 + f04*fC42, b21=f12*fC22 + f14*fC42 + f13*fC32;
832   Double_t b22=f24*fC42;
833   Double_t b40=f02*fC42 + f04*fC44, b41=f12*fC42 + f14*fC44 + f13*fC43;
834   Double_t b42=f24*fC44;
835   Double_t b30=f02*fC32 + f04*fC43, b31=f12*fC32 + f14*fC43 + f13*fC33;
836   Double_t b32=f24*fC43;
837   
838   //a = f*b = f*C*ft
839   Double_t a00=f02*b20+f04*b40,a01=f02*b21+f04*b41,a02=f02*b22+f04*b42;
840   Double_t a11=f12*b21+f14*b41+f13*b31,a12=f12*b22+f14*b42+f13*b32;
841   Double_t a22=f24*b42;
842
843   //F*C*Ft = C + (b + bt + a)
844   fC00 += b00 + b00 + a00;
845   fC10 += b10 + b01 + a01; 
846   fC20 += b20 + b02 + a02;
847   fC30 += b30;
848   fC40 += b40;
849   fC11 += b11 + b11 + a11;
850   fC21 += b21 + b12 + a12;
851   fC31 += b31; 
852   fC41 += b41;
853   fC22 += b22 + b22 + a22;
854   fC32 += b32;
855   fC42 += b42;
856
857   CheckCovariance();
858
859   return kTRUE;
860 }
861
862 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateParamOnlyTo(Double_t xk, Double_t b) {
863   //----------------------------------------------------------------
864   // Propagate this track to the plane X=xk (cm) in the field "b" (kG)
865   // Only parameters are propagated, not the matrix. To be used for small 
866   // distances only (<mm, i.e. misalignment)
867   //----------------------------------------------------------------
868   Double_t dx=xk-fX;
869   if (TMath::Abs(dx)<=kAlmost0)  return kTRUE;
870
871   Double_t crv=GetC(b);
872   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
873
874   Double_t x2r = crv*dx;
875   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + x2r;
876   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
877   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
878   if (TMath::Abs(fP[4])< kAlmost0) return kFALSE;
879
880   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
881   if (TMath::Abs(r1)<kAlmost0)  return kFALSE;
882   if (TMath::Abs(r2)<kAlmost0)  return kFALSE;
883
884   fX=xk;
885   double dy2dx = (f1+f2)/(r1+r2);
886   fP[0] += dx*dy2dx;
887   fP[1] += dx*(r2 + f2*dy2dx)*fP[3];  // Many thanks to P.Hristov !
888   fP[2] += x2r;
889
890   return kTRUE;
891 }
892
893 Bool_t 
894 AliExternalTrackParam::Propagate(Double_t alpha, Double_t x, Double_t b) {
895   //------------------------------------------------------------------
896   // Transform this track to the local coord. system rotated
897   // by angle "alpha" (rad) with respect to the global coord. system, 
898   // and propagate this track to the plane X=xk (cm) in the field "b" (kG)
899   //------------------------------------------------------------------
900   
901   //Save the parameters
902   Double_t as=fAlpha;
903   Double_t xs=fX;
904   Double_t ps[5], cs[15];
905   for (Int_t i=0; i<5;  i++) ps[i]=fP[i]; 
906   for (Int_t i=0; i<15; i++) cs[i]=fC[i]; 
907
908   if (Rotate(alpha))
909      if (PropagateTo(x,b)) return kTRUE;
910
911   //Restore the parameters, if the operation failed
912   fAlpha=as;
913   fX=xs;
914   for (Int_t i=0; i<5;  i++) fP[i]=ps[i]; 
915   for (Int_t i=0; i<15; i++) fC[i]=cs[i]; 
916   return kFALSE;
917 }
918
919 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateBxByBz
920 (Double_t alpha, Double_t x, Double_t b[3]) {
921   //------------------------------------------------------------------
922   // Transform this track to the local coord. system rotated
923   // by angle "alpha" (rad) with respect to the global coord. system, 
924   // and propagate this track to the plane X=xk (cm),
925   // taking into account all three components of the B field, "b[3]" (kG)
926   //------------------------------------------------------------------
927   
928   //Save the parameters
929   Double_t as=fAlpha;
930   Double_t xs=fX;
931   Double_t ps[5], cs[15];
932   for (Int_t i=0; i<5;  i++) ps[i]=fP[i]; 
933   for (Int_t i=0; i<15; i++) cs[i]=fC[i]; 
934
935   if (Rotate(alpha))
936      if (PropagateToBxByBz(x,b)) return kTRUE;
937
938   //Restore the parameters, if the operation failed
939   fAlpha=as;
940   fX=xs;
941   for (Int_t i=0; i<5;  i++) fP[i]=ps[i]; 
942   for (Int_t i=0; i<15; i++) fC[i]=cs[i]; 
943   return kFALSE;
944 }
945
946
947 void AliExternalTrackParam::Propagate(Double_t len, Double_t x[3],
948 Double_t p[3], Double_t bz) const {
949   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++    
950   // Origin: K. Shileev (Kirill.Shileev@cern.ch)
951   // Extrapolate track along simple helix in magnetic field
952   // Arguments: len -distance alogn helix, [cm]
953   //            bz  - mag field, [kGaus]   
954   // Returns: x and p contain extrapolated positon and momentum  
955   // The momentum returned for straight-line tracks is meaningless !
956   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++    
957   GetXYZ(x);
958     
959   if (OneOverPt() < kAlmost0 || TMath::Abs(bz) < kAlmost0Field || GetC(bz) < kAlmost0){ //straight-line tracks
960      Double_t unit[3]; GetDirection(unit);
961      x[0]+=unit[0]*len;   
962      x[1]+=unit[1]*len;   
963      x[2]+=unit[2]*len;
964
965      p[0]=unit[0]/kAlmost0;   
966      p[1]=unit[1]/kAlmost0;   
967      p[2]=unit[2]/kAlmost0;   
968   } else {
969      GetPxPyPz(p);
970      Double_t pp=GetP();
971      Double_t a = -kB2C*bz*GetSign();
972      Double_t rho = a/pp;
973      x[0] += p[0]*TMath::Sin(rho*len)/a - p[1]*(1-TMath::Cos(rho*len))/a;
974      x[1] += p[1]*TMath::Sin(rho*len)/a + p[0]*(1-TMath::Cos(rho*len))/a;
975      x[2] += p[2]*len/pp;
976
977      Double_t p0=p[0];
978      p[0] = p0  *TMath::Cos(rho*len) - p[1]*TMath::Sin(rho*len);
979      p[1] = p[1]*TMath::Cos(rho*len) + p0  *TMath::Sin(rho*len);
980   }
981 }
982
983 Bool_t AliExternalTrackParam::Intersect(Double_t pnt[3], Double_t norm[3],
984 Double_t bz) const {
985   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++    
986   // Origin: K. Shileev (Kirill.Shileev@cern.ch)
987   // Finds point of intersection (if exists) of the helix with the plane. 
988   // Stores result in fX and fP.   
989   // Arguments: planePoint,planeNorm - the plane defined by any plane's point 
990   // and vector, normal to the plane
991   // Returns: kTrue if helix intersects the plane, kFALSE otherwise.
992   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++    
993   Double_t x0[3]; GetXYZ(x0); //get track position in MARS
994   
995   //estimates initial helix length up to plane
996   Double_t s=
997     (pnt[0]-x0[0])*norm[0] + (pnt[1]-x0[1])*norm[1] + (pnt[2]-x0[2])*norm[2];
998   Double_t dist=99999,distPrev=dist;
999   Double_t x[3],p[3]; 
1000   while(TMath::Abs(dist)>0.00001){
1001     //calculates helix at the distance s from x0 ALONG the helix
1002     Propagate(s,x,p,bz);
1003
1004     //distance between current helix position and plane
1005     dist=(x[0]-pnt[0])*norm[0]+(x[1]-pnt[1])*norm[1]+(x[2]-pnt[2])*norm[2];
1006
1007     if(TMath::Abs(dist) >= TMath::Abs(distPrev)) {return kFALSE;}
1008     distPrev=dist;
1009     s-=dist;
1010   }
1011   //on exit pnt is intersection point,norm is track vector at that point, 
1012   //all in MARS
1013   for (Int_t i=0; i<3; i++) {pnt[i]=x[i]; norm[i]=p[i];}
1014   return kTRUE;
1015 }
1016
1017 Double_t 
1018 AliExternalTrackParam::GetPredictedChi2(Double_t p[2],Double_t cov[3]) const {
1019   //----------------------------------------------------------------
1020   // Estimate the chi2 of the space point "p" with the cov. matrix "cov"
1021   //----------------------------------------------------------------
1022   Double_t sdd = fC[0] + cov[0]; 
1023   Double_t sdz = fC[1] + cov[1];
1024   Double_t szz = fC[2] + cov[2];
1025   Double_t det = sdd*szz - sdz*sdz;
1026
1027   if (TMath::Abs(det) < kAlmost0) return kVeryBig;
1028
1029   Double_t d = fP[0] - p[0];
1030   Double_t z = fP[1] - p[1];
1031
1032   return (d*szz*d - 2*d*sdz*z + z*sdd*z)/det;
1033 }
1034
1035 Double_t AliExternalTrackParam::
1036 GetPredictedChi2(Double_t p[3],Double_t covyz[3],Double_t covxyz[3]) const {
1037   //----------------------------------------------------------------
1038   // Estimate the chi2 of the 3D space point "p" and
1039   // the full covariance matrix "covyz" and "covxyz"
1040   //
1041   // Cov(x,x) ... :   covxyz[0]
1042   // Cov(y,x) ... :   covxyz[1]  covyz[0]
1043   // Cov(z,x) ... :   covxyz[2]  covyz[1]  covyz[2]
1044   //----------------------------------------------------------------
1045
1046   Double_t res[3] = {
1047     GetX() - p[0],
1048     GetY() - p[1],
1049     GetZ() - p[2]
1050   };
1051
1052   Double_t f=GetSnp();
1053   if (TMath::Abs(f) >= kAlmost1) return kVeryBig;
1054   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-f)*(1.+f));
1055   Double_t a=f/r, b=GetTgl()/r;
1056
1057   Double_t s2=333.*333.;  //something reasonably big (cm^2)
1058  
1059   TMatrixDSym v(3);
1060   v(0,0)=  s2;  v(0,1)=  a*s2;                 v(0,2)=  b*s2;;
1061   v(1,0)=a*s2;  v(1,1)=a*a*s2 + GetSigmaY2();  v(1,2)=a*b*s2 + GetSigmaZY();
1062   v(2,0)=b*s2;  v(2,1)=a*b*s2 + GetSigmaZY();  v(2,2)=b*b*s2 + GetSigmaZ2();
1063
1064   v(0,0)+=covxyz[0]; v(0,1)+=covxyz[1]; v(0,2)+=covxyz[2];
1065   v(1,0)+=covxyz[1]; v(1,1)+=covyz[0];  v(1,2)+=covyz[1];
1066   v(2,0)+=covxyz[2]; v(2,1)+=covyz[1];  v(2,2)+=covyz[2];
1067
1068   v.Invert();
1069   if (!v.IsValid()) return kVeryBig;
1070
1071   Double_t chi2=0.;
1072   for (Int_t i = 0; i < 3; i++)
1073     for (Int_t j = 0; j < 3; j++) chi2 += res[i]*res[j]*v(i,j);
1074
1075   return chi2;  
1076 }
1077
1078 Double_t AliExternalTrackParam::
1079 GetPredictedChi2(const AliExternalTrackParam *t) const {
1080   //----------------------------------------------------------------
1081   // Estimate the chi2 (5 dof) of this track with respect to the track
1082   // given by the argument.
1083   // The two tracks must be in the same reference system 
1084   // and estimated at the same reference plane.
1085   //----------------------------------------------------------------
1086
1087   if (TMath::Abs(1. - t->GetAlpha()/GetAlpha()) > FLT_EPSILON) {
1088       AliError("The reference systems of the tracks differ !");
1089       return kVeryBig;
1090   }
1091   if (TMath::Abs(1. - t->GetX()/GetX()) > FLT_EPSILON) {
1092       AliError("The reference of the tracks planes differ !");
1093       return kVeryBig;
1094   }
1095
1096   TMatrixDSym c(5);
1097     c(0,0)=GetSigmaY2(); 
1098     c(1,0)=GetSigmaZY();   c(1,1)=GetSigmaZ2();
1099     c(2,0)=GetSigmaSnpY(); c(2,1)=GetSigmaSnpZ(); c(2,2)=GetSigmaSnp2();
1100     c(3,0)=GetSigmaTglY(); c(3,1)=GetSigmaTglZ(); c(3,2)=GetSigmaTglSnp(); c(3,3)=GetSigmaTgl2();
1101     c(4,0)=GetSigma1PtY(); c(4,1)=GetSigma1PtZ(); c(4,2)=GetSigma1PtSnp(); c(4,3)=GetSigma1PtTgl(); c(4,4)=GetSigma1Pt2();
1102
1103     c(0,0)+=t->GetSigmaY2(); 
1104     c(1,0)+=t->GetSigmaZY();  c(1,1)+=t->GetSigmaZ2();
1105     c(2,0)+=t->GetSigmaSnpY();c(2,1)+=t->GetSigmaSnpZ();c(2,2)+=t->GetSigmaSnp2();
1106     c(3,0)+=t->GetSigmaTglY();c(3,1)+=t->GetSigmaTglZ();c(3,2)+=t->GetSigmaTglSnp();c(3,3)+=t->GetSigmaTgl2();
1107     c(4,0)+=t->GetSigma1PtY();c(4,1)+=t->GetSigma1PtZ();c(4,2)+=t->GetSigma1PtSnp();c(4,3)+=t->GetSigma1PtTgl();c(4,4)+=t->GetSigma1Pt2();
1108     c(0,1)=c(1,0);
1109     c(0,2)=c(2,0); c(1,2)=c(2,1);
1110     c(0,3)=c(3,0); c(1,3)=c(3,1); c(2,3)=c(3,2);
1111     c(0,4)=c(4,0); c(1,4)=c(4,1); c(2,4)=c(4,2); c(3,4)=c(4,3);
1112
1113   c.Invert();
1114   if (!c.IsValid()) return kVeryBig;
1115
1116
1117   Double_t res[5] = {
1118     GetY()   - t->GetY(),
1119     GetZ()   - t->GetZ(),
1120     GetSnp() - t->GetSnp(),
1121     GetTgl() - t->GetTgl(),
1122     GetSigned1Pt() - t->GetSigned1Pt()
1123   };
1124
1125   Double_t chi2=0.;
1126   for (Int_t i = 0; i < 5; i++)
1127     for (Int_t j = 0; j < 5; j++) chi2 += res[i]*res[j]*c(i,j);
1128
1129   return chi2;  
1130 }
1131
1132 Bool_t AliExternalTrackParam::
1133 PropagateTo(Double_t p[3],Double_t covyz[3],Double_t covxyz[3],Double_t bz) {
1134   //----------------------------------------------------------------
1135   // Propagate this track to the plane 
1136   // the 3D space point "p" (with the covariance matrix "covyz" and "covxyz")
1137   // belongs to.
1138   // The magnetic field is "bz" (kG)
1139   //
1140   // The track curvature and the change of the covariance matrix
1141   // of the track parameters are negleted !
1142   // (So the "step" should be small compared with 1/curvature)
1143   //----------------------------------------------------------------
1144
1145   Double_t f=GetSnp();
1146   if (TMath::Abs(f) >= kAlmost1) return kFALSE;
1147   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-f)*(1.+f));
1148   Double_t a=f/r, b=GetTgl()/r;
1149
1150   Double_t s2=333.*333.;  //something reasonably big (cm^2)
1151  
1152   TMatrixDSym tV(3);
1153   tV(0,0)=  s2;  tV(0,1)=  a*s2;  tV(0,2)=  b*s2;
1154   tV(1,0)=a*s2;  tV(1,1)=a*a*s2;  tV(1,2)=a*b*s2;
1155   tV(2,0)=b*s2;  tV(2,1)=a*b*s2;  tV(2,2)=b*b*s2;
1156
1157   TMatrixDSym pV(3);
1158   pV(0,0)=covxyz[0]; pV(0,1)=covxyz[1]; pV(0,2)=covxyz[2];
1159   pV(1,0)=covxyz[1]; pV(1,1)=covyz[0];  pV(1,2)=covyz[1];
1160   pV(2,0)=covxyz[2]; pV(2,1)=covyz[1];  pV(2,2)=covyz[2];
1161
1162   TMatrixDSym tpV(tV);
1163   tpV+=pV;
1164   tpV.Invert();
1165   if (!tpV.IsValid()) return kFALSE;
1166
1167   TMatrixDSym pW(3),tW(3);
1168   for (Int_t i=0; i<3; i++)
1169     for (Int_t j=0; j<3; j++) {
1170       pW(i,j)=tW(i,j)=0.;
1171       for (Int_t k=0; k<3; k++) {
1172         pW(i,j) += tV(i,k)*tpV(k,j);
1173         tW(i,j) += pV(i,k)*tpV(k,j);
1174       }
1175     }
1176
1177   Double_t t[3] = {GetX(), GetY(), GetZ()};
1178
1179   Double_t x=0.;
1180   for (Int_t i=0; i<3; i++) x += (tW(0,i)*t[i] + pW(0,i)*p[i]);  
1181   Double_t crv=GetC(bz);
1182   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
1183   f += crv*(x-fX);
1184   if (TMath::Abs(f) >= kAlmost1) return kFALSE;
1185   fX=x;  
1186
1187   fP[0]=0.;
1188   for (Int_t i=0; i<3; i++) fP[0] += (tW(1,i)*t[i] + pW(1,i)*p[i]);  
1189   fP[1]=0.;
1190   for (Int_t i=0; i<3; i++) fP[1] += (tW(2,i)*t[i] + pW(2,i)*p[i]);  
1191
1192   return kTRUE;  
1193 }
1194
1195 Double_t *AliExternalTrackParam::GetResiduals(
1196 Double_t *p,Double_t *cov,Bool_t updated) const {
1197   //------------------------------------------------------------------
1198   // Returns the track residuals with the space point "p" having
1199   // the covariance matrix "cov".
1200   // If "updated" is kTRUE, the track parameters expected to be updated,
1201   // otherwise they must be predicted.  
1202   //------------------------------------------------------------------
1203   static Double_t res[2];
1204
1205   Double_t r00=cov[0], r01=cov[1], r11=cov[2];
1206   if (updated) {
1207      r00-=fC[0]; r01-=fC[1]; r11-=fC[2];
1208   } else {
1209      r00+=fC[0]; r01+=fC[1]; r11+=fC[2];
1210   }
1211   Double_t det=r00*r11 - r01*r01;
1212
1213   if (TMath::Abs(det) < kAlmost0) return 0;
1214
1215   Double_t tmp=r00; r00=r11/det; r11=tmp/det;
1216
1217   if (r00 < 0.) return 0;
1218   if (r11 < 0.) return 0;
1219
1220   Double_t dy = fP[0] - p[0];
1221   Double_t dz = fP[1] - p[1];
1222
1223   res[0]=dy*TMath::Sqrt(r00);
1224   res[1]=dz*TMath::Sqrt(r11);
1225
1226   return res;
1227 }
1228
1229 Bool_t AliExternalTrackParam::Update(Double_t p[2], Double_t cov[3]) {
1230   //------------------------------------------------------------------
1231   // Update the track parameters with the space point "p" having
1232   // the covariance matrix "cov"
1233   //------------------------------------------------------------------
1234   Double_t &fP0=fP[0], &fP1=fP[1], &fP2=fP[2], &fP3=fP[3], &fP4=fP[4];
1235   Double_t 
1236   &fC00=fC[0],
1237   &fC10=fC[1],   &fC11=fC[2],  
1238   &fC20=fC[3],   &fC21=fC[4],   &fC22=fC[5],
1239   &fC30=fC[6],   &fC31=fC[7],   &fC32=fC[8],   &fC33=fC[9],  
1240   &fC40=fC[10],  &fC41=fC[11],  &fC42=fC[12],  &fC43=fC[13], &fC44=fC[14];
1241
1242   Double_t r00=cov[0], r01=cov[1], r11=cov[2];
1243   r00+=fC00; r01+=fC10; r11+=fC11;
1244   Double_t det=r00*r11 - r01*r01;
1245
1246   if (TMath::Abs(det) < kAlmost0) return kFALSE;
1247
1248
1249   Double_t tmp=r00; r00=r11/det; r11=tmp/det; r01=-r01/det;
1250  
1251   Double_t k00=fC00*r00+fC10*r01, k01=fC00*r01+fC10*r11;
1252   Double_t k10=fC10*r00+fC11*r01, k11=fC10*r01+fC11*r11;
1253   Double_t k20=fC20*r00+fC21*r01, k21=fC20*r01+fC21*r11;
1254   Double_t k30=fC30*r00+fC31*r01, k31=fC30*r01+fC31*r11;
1255   Double_t k40=fC40*r00+fC41*r01, k41=fC40*r01+fC41*r11;
1256
1257   Double_t dy=p[0] - fP0, dz=p[1] - fP1;
1258   Double_t sf=fP2 + k20*dy + k21*dz;
1259   if (TMath::Abs(sf) > kAlmost1) return kFALSE;  
1260   
1261   fP0 += k00*dy + k01*dz;
1262   fP1 += k10*dy + k11*dz;
1263   fP2  = sf;
1264   fP3 += k30*dy + k31*dz;
1265   fP4 += k40*dy + k41*dz;
1266   
1267   Double_t c01=fC10, c02=fC20, c03=fC30, c04=fC40;
1268   Double_t c12=fC21, c13=fC31, c14=fC41;
1269
1270   fC00-=k00*fC00+k01*fC10; fC10-=k00*c01+k01*fC11;
1271   fC20-=k00*c02+k01*c12;   fC30-=k00*c03+k01*c13;
1272   fC40-=k00*c04+k01*c14; 
1273
1274   fC11-=k10*c01+k11*fC11;
1275   fC21-=k10*c02+k11*c12;   fC31-=k10*c03+k11*c13;
1276   fC41-=k10*c04+k11*c14; 
1277
1278   fC22-=k20*c02+k21*c12;   fC32-=k20*c03+k21*c13;
1279   fC42-=k20*c04+k21*c14; 
1280
1281   fC33-=k30*c03+k31*c13;
1282   fC43-=k30*c04+k31*c14; 
1283   
1284   fC44-=k40*c04+k41*c14; 
1285
1286   CheckCovariance();
1287
1288   return kTRUE;
1289 }
1290
1291 void 
1292 AliExternalTrackParam::GetHelixParameters(Double_t hlx[6], Double_t b) const {
1293   //--------------------------------------------------------------------
1294   // External track parameters -> helix parameters 
1295   // "b" - magnetic field (kG)
1296   //--------------------------------------------------------------------
1297   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
1298   
1299   hlx[0]=fP[0]; hlx[1]=fP[1]; hlx[2]=fP[2]; hlx[3]=fP[3];
1300
1301   hlx[5]=fX*cs - hlx[0]*sn;               // x0
1302   hlx[0]=fX*sn + hlx[0]*cs;               // y0
1303 //hlx[1]=                                 // z0
1304   hlx[2]=TMath::ASin(hlx[2]) + fAlpha;    // phi0
1305 //hlx[3]=                                 // tgl
1306   hlx[4]=GetC(b);                         // C
1307 }
1308
1309
1310 static void Evaluate(const Double_t *h, Double_t t,
1311                      Double_t r[3],  //radius vector
1312                      Double_t g[3],  //first defivatives
1313                      Double_t gg[3]) //second derivatives
1314 {
1315   //--------------------------------------------------------------------
1316   // Calculate position of a point on a track and some derivatives
1317   //--------------------------------------------------------------------
1318   Double_t phase=h[4]*t+h[2];
1319   Double_t sn=TMath::Sin(phase), cs=TMath::Cos(phase);
1320
1321   r[0] = h[5];
1322   r[1] = h[0];
1323   if (TMath::Abs(h[4])>kAlmost0) {
1324      r[0] += (sn - h[6])/h[4];
1325      r[1] -= (cs - h[7])/h[4];  
1326   }
1327   r[2] = h[1] + h[3]*t;
1328
1329   g[0] = cs; g[1]=sn; g[2]=h[3];
1330   
1331   gg[0]=-h[4]*sn; gg[1]=h[4]*cs; gg[2]=0.;
1332 }
1333
1334 Double_t AliExternalTrackParam::GetDCA(const AliExternalTrackParam *p, 
1335 Double_t b, Double_t &xthis, Double_t &xp) const {
1336   //------------------------------------------------------------
1337   // Returns the (weighed !) distance of closest approach between 
1338   // this track and the track "p".
1339   // Other returned values:
1340   //   xthis, xt - coordinates of tracks' reference planes at the DCA 
1341   //-----------------------------------------------------------
1342   Double_t dy2=GetSigmaY2() + p->GetSigmaY2();
1343   Double_t dz2=GetSigmaZ2() + p->GetSigmaZ2();
1344   Double_t dx2=dy2; 
1345
1346   Double_t p1[8]; GetHelixParameters(p1,b);
1347   p1[6]=TMath::Sin(p1[2]); p1[7]=TMath::Cos(p1[2]);
1348   Double_t p2[8]; p->GetHelixParameters(p2,b);
1349   p2[6]=TMath::Sin(p2[2]); p2[7]=TMath::Cos(p2[2]);
1350
1351
1352   Double_t r1[3],g1[3],gg1[3]; Double_t t1=0.;
1353   Evaluate(p1,t1,r1,g1,gg1);
1354   Double_t r2[3],g2[3],gg2[3]; Double_t t2=0.;
1355   Evaluate(p2,t2,r2,g2,gg2);
1356
1357   Double_t dx=r2[0]-r1[0], dy=r2[1]-r1[1], dz=r2[2]-r1[2];
1358   Double_t dm=dx*dx/dx2 + dy*dy/dy2 + dz*dz/dz2;
1359
1360   Int_t max=27;
1361   while (max--) {
1362      Double_t gt1=-(dx*g1[0]/dx2 + dy*g1[1]/dy2 + dz*g1[2]/dz2);
1363      Double_t gt2=+(dx*g2[0]/dx2 + dy*g2[1]/dy2 + dz*g2[2]/dz2);
1364      Double_t h11=(g1[0]*g1[0] - dx*gg1[0])/dx2 + 
1365                   (g1[1]*g1[1] - dy*gg1[1])/dy2 +
1366                   (g1[2]*g1[2] - dz*gg1[2])/dz2;
1367      Double_t h22=(g2[0]*g2[0] + dx*gg2[0])/dx2 + 
1368                   (g2[1]*g2[1] + dy*gg2[1])/dy2 +
1369                   (g2[2]*g2[2] + dz*gg2[2])/dz2;
1370      Double_t h12=-(g1[0]*g2[0]/dx2 + g1[1]*g2[1]/dy2 + g1[2]*g2[2]/dz2);
1371
1372      Double_t det=h11*h22-h12*h12;
1373
1374      Double_t dt1,dt2;
1375      if (TMath::Abs(det)<1.e-33) {
1376         //(quasi)singular Hessian
1377         dt1=-gt1; dt2=-gt2;
1378      } else {
1379         dt1=-(gt1*h22 - gt2*h12)/det; 
1380         dt2=-(h11*gt2 - h12*gt1)/det;
1381      }
1382
1383      if ((dt1*gt1+dt2*gt2)>0) {dt1=-dt1; dt2=-dt2;}
1384
1385      //check delta(phase1) ?
1386      //check delta(phase2) ?
1387
1388      if (TMath::Abs(dt1)/(TMath::Abs(t1)+1.e-3) < 1.e-4)
1389      if (TMath::Abs(dt2)/(TMath::Abs(t2)+1.e-3) < 1.e-4) {
1390         if ((gt1*gt1+gt2*gt2) > 1.e-4/dy2/dy2) 
1391           AliDebug(1," stopped at not a stationary point !");
1392         Double_t lmb=h11+h22; lmb=lmb-TMath::Sqrt(lmb*lmb-4*det);
1393         if (lmb < 0.) 
1394           AliDebug(1," stopped at not a minimum !");
1395         break;
1396      }
1397
1398      Double_t dd=dm;
1399      for (Int_t div=1 ; ; div*=2) {
1400         Evaluate(p1,t1+dt1,r1,g1,gg1);
1401         Evaluate(p2,t2+dt2,r2,g2,gg2);
1402         dx=r2[0]-r1[0]; dy=r2[1]-r1[1]; dz=r2[2]-r1[2];
1403         dd=dx*dx/dx2 + dy*dy/dy2 + dz*dz/dz2;
1404         if (dd<dm) break;
1405         dt1*=0.5; dt2*=0.5;
1406         if (div>512) {
1407           AliDebug(1," overshoot !"); break;
1408         }   
1409      }
1410      dm=dd;
1411
1412      t1+=dt1;
1413      t2+=dt2;
1414
1415   }
1416
1417   if (max<=0) AliDebug(1," too many iterations !");
1418
1419   Double_t cs=TMath::Cos(GetAlpha());
1420   Double_t sn=TMath::Sin(GetAlpha());
1421   xthis=r1[0]*cs + r1[1]*sn;
1422
1423   cs=TMath::Cos(p->GetAlpha());
1424   sn=TMath::Sin(p->GetAlpha());
1425   xp=r2[0]*cs + r2[1]*sn;
1426
1427   return TMath::Sqrt(dm*TMath::Sqrt(dy2*dz2));
1428 }
1429  
1430 Double_t AliExternalTrackParam::
1431 PropagateToDCA(AliExternalTrackParam *p, Double_t b) {
1432   //--------------------------------------------------------------
1433   // Propagates this track and the argument track to the position of the
1434   // distance of closest approach.
1435   // Returns the (weighed !) distance of closest approach.
1436   //--------------------------------------------------------------
1437   Double_t xthis,xp;
1438   Double_t dca=GetDCA(p,b,xthis,xp);
1439
1440   if (!PropagateTo(xthis,b)) {
1441     //AliWarning(" propagation failed !");
1442     return 1e+33;
1443   }
1444
1445   if (!p->PropagateTo(xp,b)) {
1446     //AliWarning(" propagation failed !";
1447     return 1e+33;
1448   }
1449
1450   return dca;
1451 }
1452
1453
1454 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateToDCA(const AliVVertex *vtx, 
1455 Double_t b, Double_t maxd, Double_t dz[2], Double_t covar[3]) {
1456   //
1457   // Propagate this track to the DCA to vertex "vtx", 
1458   // if the (rough) transverse impact parameter is not bigger then "maxd". 
1459   //            Magnetic field is "b" (kG).
1460   //
1461   // a) The track gets extapolated to the DCA to the vertex.
1462   // b) The impact parameters and their covariance matrix are calculated.
1463   //
1464   //    In the case of success, the returned value is kTRUE
1465   //    (otherwise, it's kFALSE)
1466   //  
1467   Double_t alpha=GetAlpha();
1468   Double_t sn=TMath::Sin(alpha), cs=TMath::Cos(alpha);
1469   Double_t x=GetX(), y=GetParameter()[0], snp=GetParameter()[2];
1470   Double_t xv= vtx->GetX()*cs + vtx->GetY()*sn;
1471   Double_t yv=-vtx->GetX()*sn + vtx->GetY()*cs, zv=vtx->GetZ();
1472   x-=xv; y-=yv;
1473
1474   //Estimate the impact parameter neglecting the track curvature
1475   Double_t d=TMath::Abs(x*snp - y*TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1476   if (d > maxd) return kFALSE; 
1477
1478   //Propagate to the DCA
1479   Double_t crv=GetC(b);
1480   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
1481
1482   Double_t tgfv=-(crv*x - snp)/(crv*y + TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1483   sn=tgfv/TMath::Sqrt(1.+ tgfv*tgfv); cs=TMath::Sqrt((1.-sn)*(1.+sn));
1484   if (TMath::Abs(tgfv)>0.) cs = sn/tgfv;
1485   else cs=1.;
1486
1487   x = xv*cs + yv*sn;
1488   yv=-xv*sn + yv*cs; xv=x;
1489
1490   if (!Propagate(alpha+TMath::ASin(sn),xv,b)) return kFALSE;
1491
1492   if (dz==0) return kTRUE;
1493   dz[0] = GetParameter()[0] - yv;
1494   dz[1] = GetParameter()[1] - zv;
1495   
1496   if (covar==0) return kTRUE;
1497   Double_t cov[6]; vtx->GetCovarianceMatrix(cov);
1498
1499   //***** Improvements by A.Dainese
1500   alpha=GetAlpha(); sn=TMath::Sin(alpha); cs=TMath::Cos(alpha);
1501   Double_t s2ylocvtx = cov[0]*sn*sn + cov[2]*cs*cs - 2.*cov[1]*cs*sn;
1502   covar[0] = GetCovariance()[0] + s2ylocvtx;   // neglecting correlations
1503   covar[1] = GetCovariance()[1];               // between (x,y) and z
1504   covar[2] = GetCovariance()[2] + cov[5];      // in vertex's covariance matrix
1505   //*****
1506
1507   return kTRUE;
1508 }
1509
1510 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateToDCABxByBz(const AliVVertex *vtx, 
1511 Double_t b[3], Double_t maxd, Double_t dz[2], Double_t covar[3]) {
1512   //
1513   // Propagate this track to the DCA to vertex "vtx", 
1514   // if the (rough) transverse impact parameter is not bigger then "maxd". 
1515   //
1516   // This function takes into account all three components of the magnetic
1517   // field given by the b[3] arument (kG)
1518   //
1519   // a) The track gets extapolated to the DCA to the vertex.
1520   // b) The impact parameters and their covariance matrix are calculated.
1521   //
1522   //    In the case of success, the returned value is kTRUE
1523   //    (otherwise, it's kFALSE)
1524   //  
1525   Double_t alpha=GetAlpha();
1526   Double_t sn=TMath::Sin(alpha), cs=TMath::Cos(alpha);
1527   Double_t x=GetX(), y=GetParameter()[0], snp=GetParameter()[2];
1528   Double_t xv= vtx->GetX()*cs + vtx->GetY()*sn;
1529   Double_t yv=-vtx->GetX()*sn + vtx->GetY()*cs, zv=vtx->GetZ();
1530   x-=xv; y-=yv;
1531
1532   //Estimate the impact parameter neglecting the track curvature
1533   Double_t d=TMath::Abs(x*snp - y*TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1534   if (d > maxd) return kFALSE; 
1535
1536   //Propagate to the DCA
1537   Double_t crv=GetC(b[2]);
1538   if (TMath::Abs(b[2]) < kAlmost0Field) crv=0.;
1539
1540   Double_t tgfv=-(crv*x - snp)/(crv*y + TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1541   sn=tgfv/TMath::Sqrt(1.+ tgfv*tgfv); cs=TMath::Sqrt((1.-sn)*(1.+sn));
1542   if (TMath::Abs(tgfv)>0.) cs = sn/tgfv;
1543   else cs=1.;
1544
1545   x = xv*cs + yv*sn;
1546   yv=-xv*sn + yv*cs; xv=x;
1547
1548   if (!PropagateBxByBz(alpha+TMath::ASin(sn),xv,b)) return kFALSE;
1549
1550   if (dz==0) return kTRUE;
1551   dz[0] = GetParameter()[0] - yv;
1552   dz[1] = GetParameter()[1] - zv;
1553   
1554   if (covar==0) return kTRUE;
1555   Double_t cov[6]; vtx->GetCovarianceMatrix(cov);
1556
1557   //***** Improvements by A.Dainese
1558   alpha=GetAlpha(); sn=TMath::Sin(alpha); cs=TMath::Cos(alpha);
1559   Double_t s2ylocvtx = cov[0]*sn*sn + cov[2]*cs*cs - 2.*cov[1]*cs*sn;
1560   covar[0] = GetCovariance()[0] + s2ylocvtx;   // neglecting correlations
1561   covar[1] = GetCovariance()[1];               // between (x,y) and z
1562   covar[2] = GetCovariance()[2] + cov[5];      // in vertex's covariance matrix
1563   //*****
1564
1565   return kTRUE;
1566 }
1567
1568 void AliExternalTrackParam::GetDirection(Double_t d[3]) const {
1569   //----------------------------------------------------------------
1570   // This function returns a unit vector along the track direction
1571   // in the global coordinate system.
1572   //----------------------------------------------------------------
1573   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
1574   Double_t snp=fP[2];
1575   Double_t csp =TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp));
1576   Double_t norm=TMath::Sqrt(1.+ fP[3]*fP[3]);
1577   d[0]=(csp*cs - snp*sn)/norm; 
1578   d[1]=(snp*cs + csp*sn)/norm; 
1579   d[2]=fP[3]/norm;
1580 }
1581
1582 Bool_t AliExternalTrackParam::GetPxPyPz(Double_t p[3]) const {
1583   //---------------------------------------------------------------------
1584   // This function returns the global track momentum components
1585   // Results for (nearly) straight tracks are meaningless !
1586   //---------------------------------------------------------------------
1587   p[0]=fP[4]; p[1]=fP[2]; p[2]=fP[3];
1588   return Local2GlobalMomentum(p,fAlpha);
1589 }
1590
1591 Double_t AliExternalTrackParam::Px() const {
1592   //---------------------------------------------------------------------
1593   // Returns x-component of momentum
1594   // Result for (nearly) straight tracks is meaningless !
1595   //---------------------------------------------------------------------
1596
1597   Double_t p[3]={kVeryBig,kVeryBig,kVeryBig};
1598   GetPxPyPz(p);
1599
1600   return p[0];
1601 }
1602
1603 Double_t AliExternalTrackParam::Py() const {
1604   //---------------------------------------------------------------------
1605   // Returns y-component of momentum
1606   // Result for (nearly) straight tracks is meaningless !
1607   //---------------------------------------------------------------------
1608
1609   Double_t p[3]={kVeryBig,kVeryBig,kVeryBig};
1610   GetPxPyPz(p);
1611
1612   return p[1];
1613 }
1614
1615 Double_t AliExternalTrackParam::Xv() const {
1616   //---------------------------------------------------------------------
1617   // Returns x-component of first track point
1618   //---------------------------------------------------------------------
1619
1620   Double_t r[3]={0.,0.,0.};
1621   GetXYZ(r);
1622
1623   return r[0];
1624 }
1625
1626 Double_t AliExternalTrackParam::Yv() const {
1627   //---------------------------------------------------------------------
1628   // Returns y-component of first track point
1629   //---------------------------------------------------------------------
1630
1631   Double_t r[3]={0.,0.,0.};
1632   GetXYZ(r);
1633
1634   return r[1];
1635 }
1636
1637 Double_t AliExternalTrackParam::Theta() const {
1638   // return theta angle of momentum
1639
1640   return 0.5*TMath::Pi() - TMath::ATan(fP[3]);
1641 }
1642
1643 Double_t AliExternalTrackParam::Phi() const {
1644   //---------------------------------------------------------------------
1645   // Returns the azimuthal angle of momentum
1646   // 0 <= phi < 2*pi
1647   //---------------------------------------------------------------------
1648
1649   Double_t phi=TMath::ASin(fP[2]) + fAlpha;
1650   if (phi<0.) phi+=2.*TMath::Pi();
1651   else if (phi>=2.*TMath::Pi()) phi-=2.*TMath::Pi();
1652  
1653   return phi;
1654 }
1655
1656 Double_t AliExternalTrackParam::M() const {
1657   // return particle mass
1658
1659   // No mass information available so far.
1660   // Redifine in derived class!
1661
1662   return -999.;
1663 }
1664
1665 Double_t AliExternalTrackParam::E() const {
1666   // return particle energy
1667
1668   // No PID information available so far.
1669   // Redifine in derived class!
1670
1671   return -999.;
1672 }
1673
1674 Double_t AliExternalTrackParam::Eta() const { 
1675   // return pseudorapidity
1676
1677   return -TMath::Log(TMath::Tan(0.5 * Theta())); 
1678 }
1679
1680 Double_t AliExternalTrackParam::Y() const {
1681   // return rapidity
1682
1683   // No PID information available so far.
1684   // Redifine in derived class!
1685
1686   return -999.;
1687 }
1688
1689 Bool_t AliExternalTrackParam::GetXYZ(Double_t *r) const {
1690   //---------------------------------------------------------------------
1691   // This function returns the global track position
1692   //---------------------------------------------------------------------
1693   r[0]=fX; r[1]=fP[0]; r[2]=fP[1];
1694   return Local2GlobalPosition(r,fAlpha);
1695 }
1696
1697 Bool_t AliExternalTrackParam::GetCovarianceXYZPxPyPz(Double_t cv[21]) const {
1698   //---------------------------------------------------------------------
1699   // This function returns the global covariance matrix of the track params
1700   // 
1701   // Cov(x,x) ... :   cv[0]
1702   // Cov(y,x) ... :   cv[1]  cv[2]
1703   // Cov(z,x) ... :   cv[3]  cv[4]  cv[5]
1704   // Cov(px,x)... :   cv[6]  cv[7]  cv[8]  cv[9]
1705   // Cov(py,x)... :   cv[10] cv[11] cv[12] cv[13] cv[14]
1706   // Cov(pz,x)... :   cv[15] cv[16] cv[17] cv[18] cv[19] cv[20]
1707   //
1708   // Results for (nearly) straight tracks are meaningless !
1709   //---------------------------------------------------------------------
1710   if (TMath::Abs(fP[4])<=kAlmost0) {
1711      for (Int_t i=0; i<21; i++) cv[i]=0.;
1712      return kFALSE;
1713   }
1714   if (TMath::Abs(fP[2]) > kAlmost1) {
1715      for (Int_t i=0; i<21; i++) cv[i]=0.;
1716      return kFALSE;
1717   }
1718   Double_t pt=1./TMath::Abs(fP[4]);
1719   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
1720   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2]));
1721
1722   Double_t m00=-sn, m10=cs;
1723   Double_t m23=-pt*(sn + fP[2]*cs/r), m43=-pt*pt*(r*cs - fP[2]*sn);
1724   Double_t m24= pt*(cs - fP[2]*sn/r), m44=-pt*pt*(r*sn + fP[2]*cs);
1725   Double_t m35=pt, m45=-pt*pt*fP[3];
1726
1727   m43*=GetSign();
1728   m44*=GetSign();
1729   m45*=GetSign();
1730
1731   cv[0 ] = fC[0]*m00*m00;
1732   cv[1 ] = fC[0]*m00*m10; 
1733   cv[2 ] = fC[0]*m10*m10;
1734   cv[3 ] = fC[1]*m00; 
1735   cv[4 ] = fC[1]*m10; 
1736   cv[5 ] = fC[2];
1737   cv[6 ] = m00*(fC[3]*m23 + fC[10]*m43); 
1738   cv[7 ] = m10*(fC[3]*m23 + fC[10]*m43); 
1739   cv[8 ] = fC[4]*m23 + fC[11]*m43; 
1740   cv[9 ] = m23*(fC[5]*m23 + fC[12]*m43)  +  m43*(fC[12]*m23 + fC[14]*m43);
1741   cv[10] = m00*(fC[3]*m24 + fC[10]*m44); 
1742   cv[11] = m10*(fC[3]*m24 + fC[10]*m44); 
1743   cv[12] = fC[4]*m24 + fC[11]*m44; 
1744   cv[13] = m23*(fC[5]*m24 + fC[12]*m44)  +  m43*(fC[12]*m24 + fC[14]*m44);
1745   cv[14] = m24*(fC[5]*m24 + fC[12]*m44)  +  m44*(fC[12]*m24 + fC[14]*m44);
1746   cv[15] = m00*(fC[6]*m35 + fC[10]*m45); 
1747   cv[16] = m10*(fC[6]*m35 + fC[10]*m45); 
1748   cv[17] = fC[7]*m35 + fC[11]*m45; 
1749   cv[18] = m23*(fC[8]*m35 + fC[12]*m45)  +  m43*(fC[13]*m35 + fC[14]*m45);
1750   cv[19] = m24*(fC[8]*m35 + fC[12]*m45)  +  m44*(fC[13]*m35 + fC[14]*m45); 
1751   cv[20] = m35*(fC[9]*m35 + fC[13]*m45)  +  m45*(fC[13]*m35 + fC[14]*m45);
1752
1753   return kTRUE;
1754 }
1755
1756
1757 Bool_t 
1758 AliExternalTrackParam::GetPxPyPzAt(Double_t x, Double_t b, Double_t *p) const {
1759   //---------------------------------------------------------------------
1760   // This function returns the global track momentum extrapolated to
1761   // the radial position "x" (cm) in the magnetic field "b" (kG)
1762   //---------------------------------------------------------------------
1763   p[0]=fP[4]; 
1764   p[1]=fP[2]+(x-fX)*GetC(b); 
1765   p[2]=fP[3];
1766   return Local2GlobalMomentum(p,fAlpha);
1767 }
1768
1769 Bool_t 
1770 AliExternalTrackParam::GetYAt(Double_t x, Double_t b, Double_t &y) const {
1771   //---------------------------------------------------------------------
1772   // This function returns the local Y-coordinate of the intersection 
1773   // point between this track and the reference plane "x" (cm). 
1774   // Magnetic field "b" (kG)
1775   //---------------------------------------------------------------------
1776   Double_t dx=x-fX;
1777   if(TMath::Abs(dx)<=kAlmost0) {y=fP[0]; return kTRUE;}
1778
1779   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + dx*GetC(b);
1780
1781   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1782   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1783   
1784   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1785   y = fP[0] + dx*(f1+f2)/(r1+r2);
1786   return kTRUE;
1787 }
1788
1789 Bool_t 
1790 AliExternalTrackParam::GetZAt(Double_t x, Double_t b, Double_t &z) const {
1791   //---------------------------------------------------------------------
1792   // This function returns the local Z-coordinate of the intersection 
1793   // point between this track and the reference plane "x" (cm). 
1794   // Magnetic field "b" (kG)
1795   //---------------------------------------------------------------------
1796   Double_t dx=x-fX;
1797   if(TMath::Abs(dx)<=kAlmost0) {z=fP[1]; return kTRUE;}
1798
1799   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + dx*GetC(b);
1800
1801   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1802   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1803   
1804   Double_t r1=sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1805   z = fP[1] + dx*(r2 + f2*(f1+f2)/(r1+r2))*fP[3]; // Many thanks to P.Hristov !
1806   return kTRUE;
1807 }
1808
1809 Bool_t 
1810 AliExternalTrackParam::GetXYZAt(Double_t x, Double_t b, Double_t *r) const {
1811   //---------------------------------------------------------------------
1812   // This function returns the global track position extrapolated to
1813   // the radial position "x" (cm) in the magnetic field "b" (kG)
1814   //---------------------------------------------------------------------
1815   Double_t dx=x-fX;
1816   if(TMath::Abs(dx)<=kAlmost0) return GetXYZ(r);
1817
1818   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + dx*GetC(b);
1819
1820   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1821   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1822   
1823   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1824   r[0] = x;
1825   r[1] = fP[0] + dx*(f1+f2)/(r1+r2);
1826   r[2] = fP[1] + dx*(r2 + f2*(f1+f2)/(r1+r2))*fP[3];//Thanks to Andrea & Peter
1827
1828   return Local2GlobalPosition(r,fAlpha);
1829 }
1830
1831 //_____________________________________________________________________________
1832 void AliExternalTrackParam::Print(Option_t* /*option*/) const
1833 {
1834 // print the parameters and the covariance matrix
1835
1836   printf("AliExternalTrackParam: x = %-12g  alpha = %-12g\n", fX, fAlpha);
1837   printf("  parameters: %12g %12g %12g %12g %12g\n",
1838          fP[0], fP[1], fP[2], fP[3], fP[4]);
1839   printf("  covariance: %12g\n", fC[0]);
1840   printf("              %12g %12g\n", fC[1], fC[2]);
1841   printf("              %12g %12g %12g\n", fC[3], fC[4], fC[5]);
1842   printf("              %12g %12g %12g %12g\n", 
1843          fC[6], fC[7], fC[8], fC[9]);
1844   printf("              %12g %12g %12g %12g %12g\n", 
1845          fC[10], fC[11], fC[12], fC[13], fC[14]);
1846 }
1847
1848 Double_t AliExternalTrackParam::GetSnpAt(Double_t x,Double_t b) const {
1849   //
1850   // Get sinus at given x
1851   //
1852   Double_t crv=GetC(b);
1853   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
1854   Double_t dx = x-fX;
1855   Double_t res = fP[2]+dx*crv;
1856   return res;
1857 }
1858
1859 Bool_t AliExternalTrackParam::GetDistance(AliExternalTrackParam *param2, Double_t x, Double_t dist[3], Double_t bz){
1860   //------------------------------------------------------------------------
1861   // Get the distance between two tracks at the local position x 
1862   // working in the local frame of this track.
1863   // Origin :   Marian.Ivanov@cern.ch
1864   //-----------------------------------------------------------------------
1865   Double_t xyz[3];
1866   Double_t xyz2[3];
1867   xyz[0]=x;
1868   if (!GetYAt(x,bz,xyz[1])) return kFALSE;
1869   if (!GetZAt(x,bz,xyz[2])) return kFALSE;
1870   //  
1871   //
1872   if (TMath::Abs(GetAlpha()-param2->GetAlpha())<kAlmost0){
1873     xyz2[0]=x;
1874     if (!param2->GetYAt(x,bz,xyz2[1])) return kFALSE;
1875     if (!param2->GetZAt(x,bz,xyz2[2])) return kFALSE;
1876   }else{
1877     //
1878     Double_t xyz1[3];
1879     Double_t dfi = param2->GetAlpha()-GetAlpha();
1880     Double_t ca = TMath::Cos(dfi), sa = TMath::Sin(dfi);
1881     xyz2[0] =  xyz[0]*ca+xyz[1]*sa;
1882     xyz2[1] = -xyz[0]*sa+xyz[1]*ca;
1883     //
1884     xyz1[0]=xyz2[0];
1885     if (!param2->GetYAt(xyz2[0],bz,xyz1[1])) return kFALSE;
1886     if (!param2->GetZAt(xyz2[0],bz,xyz1[2])) return kFALSE;
1887     //
1888     xyz2[0] =  xyz1[0]*ca-xyz1[1]*sa;
1889     xyz2[1] = +xyz1[0]*sa+xyz1[1]*ca;
1890     xyz2[2] = xyz1[2];
1891   }
1892   dist[0] = xyz[0]-xyz2[0];
1893   dist[1] = xyz[1]-xyz2[1];
1894   dist[2] = xyz[2]-xyz2[2];
1895
1896   return kTRUE;
1897 }
1898
1899
1900 //
1901 // Draw functionality.
1902 // Origin: Marian Ivanov, Marian.Ivanov@cern.ch
1903 //
1904
1905 void  AliExternalTrackParam::DrawTrack(Float_t magf, Float_t minR, Float_t maxR, Float_t stepR){
1906   //
1907   // Draw track line
1908   //
1909   if (minR>maxR) return ;
1910   if (stepR<=0) return ;
1911   Int_t npoints = TMath::Nint((maxR-minR)/stepR)+1;
1912   if (npoints<1) return;
1913   TPolyMarker3D *polymarker = new TPolyMarker3D(npoints);
1914   FillPolymarker(polymarker, magf,minR,maxR,stepR);
1915   polymarker->Draw();
1916 }
1917
1918 //
1919 void AliExternalTrackParam::FillPolymarker(TPolyMarker3D *pol, Float_t magF, Float_t minR, Float_t maxR, Float_t stepR){
1920   //
1921   // Fill points in the polymarker
1922   //
1923   Int_t counter=0;
1924   for (Double_t r=minR; r<maxR; r+=stepR){
1925     Double_t point[3];
1926     GetXYZAt(r,magF,point);
1927     pol->SetPoint(counter,point[0],point[1], point[2]);
1928     //    printf("xyz\t%f\t%f\t%f\n",point[0], point[1],point[2]);
1929     counter++;
1930   }
1931 }
1932
1933 Int_t AliExternalTrackParam::GetIndex(Int_t i, Int_t j) const {
1934   //
1935   Int_t min = TMath::Min(i,j);
1936   Int_t max = TMath::Max(i,j);
1937
1938   return min+(max+1)*max/2;
1939 }
1940
1941
1942 void AliExternalTrackParam::g3helx3(Double_t qfield, 
1943                                     Double_t step,
1944                                     Double_t vect[7]) {
1945 /******************************************************************
1946  *                                                                *
1947  *       GEANT3 tracking routine in a constant field oriented     *
1948  *       along axis 3                                             *
1949  *       Tracking is performed with a conventional                *
1950  *       helix step method                                        *
1951  *                                                                *
1952  *       Authors    R.Brun, M.Hansroul  *********                 *
1953  *       Rewritten  V.Perevoztchikov                              *
1954  *                                                                *
1955  *       Rewritten in C++ by I.Belikov                            *
1956  *                                                                *
1957  *  qfield (kG)       - particle charge times magnetic field      *
1958  *  step   (cm)       - step length along the helix               *
1959  *  vect[7](cm,GeV/c) - input/output x, y, z, px/p, py/p ,pz/p, p *
1960  *                                                                *
1961  ******************************************************************/
1962   const Int_t ix=0, iy=1, iz=2, ipx=3, ipy=4, ipz=5, ipp=6;
1963   const Double_t kOvSqSix=TMath::Sqrt(1./6.);
1964
1965   Double_t cosx=vect[ipx], cosy=vect[ipy], cosz=vect[ipz];
1966
1967   Double_t rho = qfield*kB2C/vect[ipp]; 
1968   Double_t tet = rho*step;
1969
1970   Double_t tsint, sintt, sint, cos1t; 
1971   if (TMath::Abs(tet) > 0.03) {
1972      sint  = TMath::Sin(tet);
1973      sintt = sint/tet;
1974      tsint = (tet - sint)/tet;
1975      Double_t t=TMath::Sin(0.5*tet);
1976      cos1t = 2*t*t/tet;
1977   } else {
1978      tsint = tet*tet/6.;
1979      sintt = (1.-tet*kOvSqSix)*(1.+tet*kOvSqSix); // 1.- tsint;
1980      sint  = tet*sintt;
1981      cos1t = 0.5*tet; 
1982   }
1983
1984   Double_t f1 = step*sintt;
1985   Double_t f2 = step*cos1t;
1986   Double_t f3 = step*tsint*cosz;
1987   Double_t f4 = -tet*cos1t;
1988   Double_t f5 = sint;
1989
1990   vect[ix]  += f1*cosx - f2*cosy;
1991   vect[iy]  += f1*cosy + f2*cosx;
1992   vect[iz]  += f1*cosz + f3;
1993
1994   vect[ipx] += f4*cosx - f5*cosy;
1995   vect[ipy] += f4*cosy + f5*cosx;  
1996
1997 }
1998
1999 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateToBxByBz(Double_t xk, const Double_t b[3]) {
2000   //----------------------------------------------------------------
2001   // Extrapolate this track to the plane X=xk in the field b[].
2002   //
2003   // X [cm] is in the "tracking coordinate system" of this track.
2004   // b[]={Bx,By,Bz} [kG] is in the Global coordidate system.
2005   //----------------------------------------------------------------
2006
2007   Double_t dx=xk-fX;
2008   if (TMath::Abs(dx)<=kAlmost0)  return kTRUE;
2009   if (TMath::Abs(fP[4])<=kAlmost0) return kFALSE;
2010   // Do not propagate tracks outside the ALICE detector
2011   if (TMath::Abs(dx)>1e5 ||
2012       TMath::Abs(GetY())>1e5 ||
2013       TMath::Abs(GetZ())>1e5) {
2014     AliWarning(Form("Anomalous track, target X:%f",xk));
2015     Print();
2016     return kFALSE;
2017   }
2018
2019   Double_t crv=GetC(b[2]);
2020   if (TMath::Abs(b[2]) < kAlmost0Field) crv=0.;
2021
2022   Double_t x2r = crv*dx;
2023   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + x2r;
2024   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
2025   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
2026
2027
2028   // Estimate the covariance matrix  
2029   Double_t &fP3=fP[3], &fP4=fP[4];
2030   Double_t 
2031   &fC00=fC[0],
2032   &fC10=fC[1],   &fC11=fC[2],  
2033   &fC20=fC[3],   &fC21=fC[4],   &fC22=fC[5],
2034   &fC30=fC[6],   &fC31=fC[7],   &fC32=fC[8],   &fC33=fC[9],  
2035   &fC40=fC[10],  &fC41=fC[11],  &fC42=fC[12],  &fC43=fC[13], &fC44=fC[14];
2036
2037   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
2038
2039   //f = F - 1
2040   /*
2041   Double_t f02=    dx/(r1*r1*r1);            Double_t cc=crv/fP4;
2042   Double_t f04=0.5*dx*dx/(r1*r1*r1);         f04*=cc;
2043   Double_t f12=    dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);
2044   Double_t f14=0.5*dx*dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);  f14*=cc;
2045   Double_t f13=    dx/r1;
2046   Double_t f24=    dx;                       f24*=cc;
2047   */
2048   Double_t rinv = 1./r1;
2049   Double_t r3inv = rinv*rinv*rinv;
2050   Double_t f24=    x2r/fP4;
2051   Double_t f02=    dx*r3inv;
2052   Double_t f04=0.5*f24*f02;
2053   Double_t f12=    f02*fP3*f1;
2054   Double_t f14=0.5*f24*f02*fP3*f1;
2055   Double_t f13=    dx*rinv;
2056  
2057   //b = C*ft
2058   Double_t b00=f02*fC20 + f04*fC40, b01=f12*fC20 + f14*fC40 + f13*fC30;
2059   Double_t b02=f24*fC40;
2060   Double_t b10=f02*fC21 + f04*fC41, b11=f12*fC21 + f14*fC41 + f13*fC31;
2061   Double_t b12=f24*fC41;
2062   Double_t b20=f02*fC22 + f04*fC42, b21=f12*fC22 + f14*fC42 + f13*fC32;
2063   Double_t b22=f24*fC42;
2064   Double_t b40=f02*fC42 + f04*fC44, b41=f12*fC42 + f14*fC44 + f13*fC43;
2065   Double_t b42=f24*fC44;
2066   Double_t b30=f02*fC32 + f04*fC43, b31=f12*fC32 + f14*fC43 + f13*fC33;
2067   Double_t b32=f24*fC43;
2068   
2069   //a = f*b = f*C*ft
2070   Double_t a00=f02*b20+f04*b40,a01=f02*b21+f04*b41,a02=f02*b22+f04*b42;
2071   Double_t a11=f12*b21+f14*b41+f13*b31,a12=f12*b22+f14*b42+f13*b32;
2072   Double_t a22=f24*b42;
2073
2074   //F*C*Ft = C + (b + bt + a)
2075   fC00 += b00 + b00 + a00;
2076   fC10 += b10 + b01 + a01; 
2077   fC20 += b20 + b02 + a02;
2078   fC30 += b30;
2079   fC40 += b40;
2080   fC11 += b11 + b11 + a11;
2081   fC21 += b21 + b12 + a12;
2082   fC31 += b31; 
2083   fC41 += b41;
2084   fC22 += b22 + b22 + a22;
2085   fC32 += b32;
2086   fC42 += b42;
2087
2088   CheckCovariance();
2089   
2090   // Appoximate step length
2091   double dy2dx = (f1+f2)/(r1+r2);
2092   Double_t step = (TMath::Abs(x2r)<0.05) ? dx*TMath::Abs(r2 + f2*dy2dx)  // chord
2093     : 2.*TMath::ASin(0.5*dx*TMath::Sqrt(1.+dy2dx*dy2dx)*crv)/crv;        // arc
2094   step *= TMath::Sqrt(1.+ GetTgl()*GetTgl());
2095
2096   // Get the track's (x,y,z) and (px,py,pz) in the Global System
2097   Double_t r[3]; GetXYZ(r);
2098   Double_t p[3]; GetPxPyPz(p);
2099   Double_t pp=GetP();
2100   p[0] /= pp;
2101   p[1] /= pp;
2102   p[2] /= pp;
2103
2104
2105   // Rotate to the system where Bx=By=0.
2106   Double_t bt=TMath::Sqrt(b[0]*b[0] + b[1]*b[1]);
2107   Double_t cosphi=1., sinphi=0.;
2108   if (bt > kAlmost0) {cosphi=b[0]/bt; sinphi=b[1]/bt;}
2109   Double_t bb=TMath::Sqrt(b[0]*b[0] + b[1]*b[1] + b[2]*b[2]);
2110   Double_t costet=1., sintet=0.;
2111   if (bb > kAlmost0) {costet=b[2]/bb; sintet=bt/bb;}
2112   Double_t vect[7];
2113
2114   vect[0] = costet*cosphi*r[0] + costet*sinphi*r[1] - sintet*r[2];
2115   vect[1] = -sinphi*r[0] + cosphi*r[1];
2116   vect[2] = sintet*cosphi*r[0] + sintet*sinphi*r[1] + costet*r[2];
2117
2118   vect[3] = costet*cosphi*p[0] + costet*sinphi*p[1] - sintet*p[2];
2119   vect[4] = -sinphi*p[0] + cosphi*p[1];
2120   vect[5] = sintet*cosphi*p[0] + sintet*sinphi*p[1] + costet*p[2];
2121
2122   vect[6] = pp;
2123
2124
2125   // Do the helix step
2126   g3helx3(GetSign()*bb,step,vect);
2127
2128
2129   // Rotate back to the Global System
2130   r[0] = cosphi*costet*vect[0] - sinphi*vect[1] + cosphi*sintet*vect[2];
2131   r[1] = sinphi*costet*vect[0] + cosphi*vect[1] + sinphi*sintet*vect[2];
2132   r[2] = -sintet*vect[0] + costet*vect[2];
2133
2134   p[0] = cosphi*costet*vect[3] - sinphi*vect[4] + cosphi*sintet*vect[5];
2135   p[1] = sinphi*costet*vect[3] + cosphi*vect[4] + sinphi*sintet*vect[5];
2136   p[2] = -sintet*vect[3] + costet*vect[5];
2137
2138
2139   // Rotate back to the Tracking System
2140   Double_t cosalp = TMath::Cos(fAlpha);
2141   Double_t sinalp =-TMath::Sin(fAlpha);
2142
2143   Double_t 
2144   t    = cosalp*r[0] - sinalp*r[1];
2145   r[1] = sinalp*r[0] + cosalp*r[1];  
2146   r[0] = t;
2147
2148   t    = cosalp*p[0] - sinalp*p[1]; 
2149   p[1] = sinalp*p[0] + cosalp*p[1];
2150   p[0] = t; 
2151
2152
2153   // Do the final correcting step to the target plane (linear approximation)
2154   Double_t x=r[0], y=r[1], z=r[2];
2155   if (TMath::Abs(dx) > kAlmost0) {
2156      if (TMath::Abs(p[0]) < kAlmost0) return kFALSE;
2157      dx = xk - r[0];
2158      x += dx;
2159      y += p[1]/p[0]*dx;
2160      z += p[2]/p[0]*dx;  
2161   }
2162
2163
2164   // Calculate the track parameters
2165   t=TMath::Sqrt(p[0]*p[0] + p[1]*p[1]);
2166   fX    = x;
2167   fP[0] = y;
2168   fP[1] = z;
2169   fP[2] = p[1]/t;
2170   fP[3] = p[2]/t; 
2171   fP[4] = GetSign()/(t*pp);
2172
2173   return kTRUE;
2174 }
2175
2176 Bool_t AliExternalTrackParam::Translate(Double_t *vTrasl,Double_t *covV){
2177   //
2178   //Translation: in the event mixing, the tracks can be shifted 
2179   //of the difference among primary vertices (vTrasl) and 
2180   //the covariance matrix is changed accordingly 
2181   //(covV = covariance of the primary vertex).
2182   //Origin: "Romita, Rossella" <R.Romita@gsi.de>
2183   // 
2184   TVector3 translation;
2185   // vTrasl coordinates in the local system
2186   translation.SetXYZ(vTrasl[0],vTrasl[1],vTrasl[2]);
2187   translation.RotateZ(-fAlpha);
2188   translation.GetXYZ(vTrasl);
2189
2190  //compute the new x,y,z of the track
2191   Double_t newX=fX-vTrasl[0];
2192   Double_t newY=fP[0]-vTrasl[1];
2193   Double_t newZ=fP[1]-vTrasl[2];
2194   
2195   //define the new parameters
2196   Double_t newParam[5];
2197   newParam[0]=newY;
2198   newParam[1]=newZ;
2199   newParam[2]=fP[2];
2200   newParam[3]=fP[3];
2201   newParam[4]=fP[4];
2202
2203   // recompute the covariance matrix:
2204   // 1. covV in the local system
2205   Double_t cosRot=TMath::Cos(fAlpha), sinRot=TMath::Sin(fAlpha);
2206   TMatrixD qQi(3,3);
2207   qQi(0,0) = cosRot;
2208   qQi(0,1) = sinRot;
2209   qQi(0,2) = 0.;
2210   qQi(1,0) = -sinRot;
2211   qQi(1,1) = cosRot;
2212   qQi(1,2) = 0.;
2213   qQi(2,0) = 0.;
2214   qQi(2,1) = 0.;
2215   qQi(2,2) = 1.;
2216   TMatrixD uUi(3,3);
2217   uUi(0,0) = covV[0];
2218   uUi(0,0) = covV[0];
2219   uUi(1,0) = covV[1];
2220   uUi(0,1) = covV[1];
2221   uUi(2,0) = covV[3];
2222   uUi(0,2) = covV[3];
2223   uUi(1,1) = covV[2];
2224   uUi(2,2) = covV[5];
2225   uUi(1,2) = covV[4];
2226   if(uUi.Determinant() <= 0.) {return kFALSE;}
2227   TMatrixD uUiQi(uUi,TMatrixD::kMult,qQi);
2228   TMatrixD m(qQi,TMatrixD::kTransposeMult,uUiQi);
2229
2230   //2. compute the new covariance matrix of the track
2231   Double_t sigmaXX=m(0,0);
2232   Double_t sigmaXZ=m(2,0);
2233   Double_t sigmaXY=m(1,0);
2234   Double_t sigmaYY=GetSigmaY2()+m(1,1);
2235   Double_t sigmaYZ=fC[1]+m(1,2);
2236   Double_t sigmaZZ=fC[2]+m(2,2);
2237   Double_t covarianceYY=sigmaYY + (-1.)*((sigmaXY*sigmaXY)/sigmaXX);
2238   Double_t covarianceYZ=sigmaYZ-(sigmaXZ*sigmaXY/sigmaXX);
2239   Double_t covarianceZZ=sigmaZZ-((sigmaXZ*sigmaXZ)/sigmaXX);
2240
2241   Double_t newCov[15];
2242   newCov[0]=covarianceYY;
2243   newCov[1]=covarianceYZ;
2244   newCov[2]=covarianceZZ;
2245   for(Int_t i=3;i<15;i++){
2246     newCov[i]=fC[i];
2247    }
2248
2249   // set the new parameters
2250
2251   Set(newX,fAlpha,newParam,newCov);
2252
2253   return kTRUE;
2254  }
2255
2256 void AliExternalTrackParam::CheckCovariance() {
2257
2258   // This function forces the diagonal elements of the covariance matrix to be positive.
2259   // In case the diagonal element is bigger than the maximal allowed value, it is set to
2260   // the limit and the off-diagonal elements that correspond to it are set to zero.
2261
2262     fC[0] = TMath::Abs(fC[0]);
2263     if (fC[0]>kC0max) {
2264       fC[0] = kC0max;
2265       fC[1] = 0;
2266       fC[3] = 0;
2267       fC[6] = 0;
2268       fC[10] = 0;
2269     }
2270     fC[2] = TMath::Abs(fC[2]);
2271     if (fC[2]>kC2max) {
2272       fC[2] = kC2max;
2273       fC[1] = 0;
2274       fC[4] = 0;
2275       fC[7] = 0;
2276       fC[11] = 0;
2277     }
2278     fC[5] = TMath::Abs(fC[5]);
2279     if (fC[5]>kC5max) {
2280       fC[5] = kC5max;
2281       fC[3] = 0;
2282       fC[4] = 0;
2283       fC[8] = 0;
2284       fC[12] = 0;
2285     }
2286     fC[9] = TMath::Abs(fC[9]);
2287     if (fC[9]>kC9max) {
2288       fC[9] = kC9max;
2289       fC[6] = 0;
2290       fC[7] = 0;
2291       fC[8] = 0;
2292       fC[13] = 0;
2293     }
2294     fC[14] = TMath::Abs(fC[14]);
2295     if (fC[14]>kC14max) {
2296       fC[14] = kC14max;
2297       fC[10] = 0;
2298       fC[11] = 0;
2299       fC[12] = 0;
2300       fC[13] = 0;
2301     }
2302     
2303     // The part below is used for tests and normally is commented out    
2304 //     TMatrixDSym m(5);
2305 //     TVectorD eig(5);
2306     
2307 //     m(0,0)=fC[0];
2308 //     m(1,0)=fC[1];  m(1,1)=fC[2];
2309 //     m(2,0)=fC[3];  m(2,1)=fC[4];  m(2,2)=fC[5];
2310 //     m(3,0)=fC[6];  m(3,1)=fC[7];  m(3,2)=fC[8];  m(3,3)=fC[9];
2311 //     m(4,0)=fC[10]; m(4,1)=fC[11]; m(4,2)=fC[12]; m(4,3)=fC[13]; m(4,4)=fC[14];
2312     
2313 //     m(0,1)=m(1,0);
2314 //     m(0,2)=m(2,0); m(1,2)=m(2,1);
2315 //     m(0,3)=m(3,0); m(1,3)=m(3,1); m(2,3)=m(3,2);
2316 //     m(0,4)=m(4,0); m(1,4)=m(4,1); m(2,4)=m(4,2); m(3,4)=m(4,3);
2317 //     m.EigenVectors(eig);
2318
2319 //     //    assert(eig(0)>=0 && eig(1)>=0 && eig(2)>=0 && eig(3)>=0 && eig(4)>=0);
2320 //     if (!(eig(0)>=0 && eig(1)>=0 && eig(2)>=0 && eig(3)>=0 && eig(4)>=0)) {
2321 //       AliWarning("Negative eigenvalues of the covariance matrix!");
2322 //       this->Print();
2323 //       eig.Print();
2324 //     }
2325 }
2326
2327 Bool_t AliExternalTrackParam::ConstrainToVertex(const AliVVertex* vtx, Double_t b[3])
2328 {
2329   // Constrain TPC inner params constrained
2330   //
2331   if (!vtx) 
2332     return kFALSE;
2333
2334   Double_t dz[2], cov[3];
2335   if (!PropagateToDCABxByBz(vtx, b, 3, dz, cov)) 
2336     return kFALSE; 
2337
2338   Double_t covar[6]; 
2339   vtx->GetCovarianceMatrix(covar);
2340   
2341   Double_t p[2]= { fP[0] - dz[0], fP[1] - dz[1] };
2342   Double_t c[3]= { covar[2], 0., covar[5] };
2343   
2344   Double_t chi2C = GetPredictedChi2(p,c);
2345   if (chi2C>kVeryBig) 
2346     return kFALSE; 
2347
2348   if (!Update(p,c)) 
2349     return kFALSE; 
2350
2351   return kTRUE;
2352 }
2353
2354 //___________________________________________________________________________________________
2355 Bool_t AliExternalTrackParam::GetXatLabR(Double_t r,Double_t &x, Double_t bz, Int_t dir) const
2356 {
2357   // Get local X of the track position estimated at the radius lab radius r. 
2358   // The track curvature is accounted exactly
2359   //
2360   // The flag "dir" can be used to remove the ambiguity of which intersection to take (out of 2 possible)
2361   // 0  - take the intersection closest to the current track position
2362   // >0 - go along the track (increasing fX)
2363   // <0 - go backward (decreasing fX)
2364   //
2365   const Double_t &fy=fP[0], &sn = fP[2];
2366   //
2367   double crv = GetC(bz);
2368   if (TMath::Abs(crv)<=kAlmost0) { // this is a straight track
2369     if (TMath::Abs(sn)>=kAlmost1) { // || to Y axis
2370       double det = (r-fX)*(r+fX);
2371       if (det<0) return kFALSE;     // does not reach raduis r
2372       x = fX;
2373       if (dir==0) return kTRUE;
2374       det = TMath::Sqrt(det);
2375       if (dir>0) {                       // along the track direction
2376         if (sn>0) {if (fy>det)  return kFALSE;} // track is along Y axis and above the circle
2377         else      {if (fy<-det) return kFALSE;} // track is against Y axis amd belo the circle
2378       }
2379       else {                                    // agains track direction
2380         if (sn>0) {if (fy<-det) return kFALSE;} // track is along Y axis
2381         else if (fy>det)  return kFALSE;        // track is against Y axis
2382       }
2383     }
2384     else if (TMath::Abs(sn)<=kAlmost0) { // || to X axis
2385       double det = (r-fy)*(r+fy);
2386       if (det<0) return kFALSE;     // does not reach raduis r
2387       det = TMath::Sqrt(det);
2388       if (!dir) {
2389         x = fX>0  ? det : -det;    // choose the solution requiring the smalest step
2390         return kTRUE;
2391       }
2392       else if (dir>0) {                    // along the track direction
2393         if      (fX > det) return kFALSE;  // current point is in on the right from the circle
2394         else if (fX <-det) x = -det;       // on the left
2395         else               x =  det;       // within the circle
2396       }
2397       else {                               // against the track direction
2398         if      (fX <-det) return kFALSE;  
2399         else if (fX > det) x =  det;
2400         else               x = -det;
2401       }
2402     }
2403     else {                                 // general case of straight line
2404       double cs = TMath::Sqrt((1-sn)*(1+sn));
2405       double xsyc = fX*sn-fy*cs;
2406       double det = (r-xsyc)*(r+xsyc);
2407       if (det<0) return kFALSE;    // does not reach raduis r
2408       det = TMath::Sqrt(det);
2409       double xcys = fX*cs+fy*sn;
2410       double t = -xcys;
2411       if (dir==0) t += t>0 ? -det:det;  // chose the solution requiring the smalest step
2412       else if (dir>0) {                 // go in increasing fX direction. ( t+-det > 0)
2413         if (t>=-det) t += -det;         // take minimal step giving t>0
2414         else return kFALSE;             // both solutions have negative t
2415       }
2416       else {                            // go in increasing fX direction. (t+-det < 0)
2417         if (t<det) t -= det;            // take minimal step giving t<0
2418         else return kFALSE;             // both solutions have positive t
2419       }
2420       x = fX + cs*t;
2421     }
2422   }
2423   else {                                 // helix
2424     // get center of the track circle
2425     double tR = 1./crv;   // track radius (for the moment signed)
2426     double cs = TMath::Sqrt((1-sn)*(1+sn));
2427     double x0 = fX - sn*tR;
2428     double y0 = fy + cs*tR;
2429     double r0 = TMath::Sqrt(x0*x0+y0*y0);
2430     //    printf("Xc:%+e Yc:%+e\n",x0,y0);
2431     //
2432     if (r0<=kAlmost0) return kFALSE;            // the track is concentric to circle
2433     tR = TMath::Abs(tR);
2434     double tR2r0 = tR/r0;
2435     double g = 0.5*(r*r/(r0*tR) - tR2r0 - 1./tR2r0);
2436     double det = (1.-g)*(1.+g);
2437     if (det<0) return kFALSE;         // does not reach raduis r
2438     det = TMath::Sqrt(det);
2439     //
2440     // the intersection happens in 2 points: {x0+tR*C,y0+tR*S} 
2441     // with C=f*c0+-|s0|*det and S=f*s0-+c0 sign(s0)*det
2442     // where s0 and c0 make direction for the circle center (=x0/r0 and y0/r0)
2443     //
2444     double tmp = 1.+g*tR2r0;
2445     x = x0*tmp; 
2446     double y = y0*tmp;
2447     if (TMath::Abs(y0)>kAlmost0) { // when y0==0 the x,y is unique
2448       double dfx = tR2r0*TMath::Abs(y0)*det;
2449       double dfy = tR2r0*x0*TMath::Sign(det,y0);
2450       if (dir==0) {                    // chose the one which corresponds to smallest step 
2451         double delta = (x-fX)*dfx-(y-fy)*dfy; // the choice of + in C will lead to smaller step if delta<0
2452         if (delta<0) x += dfx;
2453         else         x -= dfx;
2454       }
2455       else if (dir>0) {  // along track direction: x must be > fX
2456         x -= dfx; // try the smallest step (dfx is positive)
2457         if (x<fX && (x+=dfx+dfx)<fX) return kFALSE;
2458       }
2459       else { // backward: x must be < fX
2460         x += dfx; // try the smallest step (dfx is positive)
2461         if (x>fX && (x-=dfx+dfx)>fX) return kFALSE;
2462       }
2463     }
2464     else { // special case: track touching the circle just in 1 point
2465       if ( (dir>0&&x<fX) || (dir<0&&x>fX) ) return kFALSE; 
2466     }
2467   }
2468   //
2469   return kTRUE;
2470 }