Modifications needed to use PID framework based mass during tracking and
[u/mrichter/AliRoot.git] / STEER / STEERBase / AliExternalTrackParam.cxx
1 /**************************************************************************
2  * Copyright(c) 1998-1999, ALICE Experiment at CERN, All rights reserved. *
3  *                                                                        *
4  * Author: The ALICE Off-line Project.                                    *
5  * Contributors are mentioned in the code where appropriate.              *
6  *                                                                        *
7  * Permission to use, copy, modify and distribute this software and its   *
8  * documentation strictly for non-commercial purposes is hereby granted   *
9  * without fee, provided that the above copyright notice appears in all   *
10  * copies and that both the copyright notice and this permission notice   *
11  * appear in the supporting documentation. The authors make no claims     *
12  * about the suitability of this software for any purpose. It is          *
13  * provided "as is" without express or implied warranty.                  *
14  **************************************************************************/
15
16 /* $Id$ */
17
18 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
19 //                                                                           //
20 // Implementation of the external track parameterisation class.              //
21 //                                                                           //
22 // This parameterisation is used to exchange tracks between the detectors.   //
23 // A set of functions returning the position and the momentum of tracks      //
24 // in the global coordinate system as well as the track impact parameters    //
25 // are implemented.
26 // Origin: I.Belikov, CERN, Jouri.Belikov@cern.ch                            //
27 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
28 #include <cassert>
29
30 #include <TVectorD.h>
31 #include <TMatrixDSym.h>
32 #include <TPolyMarker3D.h>
33 #include <TVector3.h>
34 #include <TMatrixD.h>
35
36 #include "AliExternalTrackParam.h"
37 #include "AliVVertex.h"
38 #include "AliLog.h"
39
40 ClassImp(AliExternalTrackParam)
41
42 Double32_t AliExternalTrackParam::fgMostProbablePt=kMostProbablePt;
43 Bool_t AliExternalTrackParam::fgUseLogTermMS = kFALSE;; 
44 //_____________________________________________________________________________
45 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam() :
46   AliVTrack(),
47   fX(0),
48   fAlpha(0)
49 {
50   //
51   // default constructor
52   //
53   for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = 0;
54   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = 0;
55 }
56
57 //_____________________________________________________________________________
58 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(const AliExternalTrackParam &track):
59   AliVTrack(track),
60   fX(track.fX),
61   fAlpha(track.fAlpha)
62 {
63   //
64   // copy constructor
65   //
66   for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = track.fP[i];
67   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = track.fC[i];
68   CheckCovariance();
69 }
70
71 //_____________________________________________________________________________
72 AliExternalTrackParam& AliExternalTrackParam::operator=(const AliExternalTrackParam &trkPar)
73 {
74   //
75   // assignment operator
76   //
77   
78   if (this!=&trkPar) {
79     AliVTrack::operator=(trkPar);
80     fX = trkPar.fX;
81     fAlpha = trkPar.fAlpha;
82
83     for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = trkPar.fP[i];
84     for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = trkPar.fC[i];
85     CheckCovariance();
86   }
87
88   return *this;
89 }
90
91 //_____________________________________________________________________________
92 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(Double_t x, Double_t alpha, 
93                                              const Double_t param[5], 
94                                              const Double_t covar[15]) :
95   AliVTrack(),
96   fX(x),
97   fAlpha(alpha)
98 {
99   //
100   // create external track parameters from given arguments
101   //
102   for (Int_t i = 0; i < 5; i++)  fP[i] = param[i];
103   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = covar[i];
104   CheckCovariance();
105 }
106
107 //_____________________________________________________________________________
108 void AliExternalTrackParam::CopyFromVTrack(const AliVTrack *vTrack)
109 {
110   //
111   // Recreate TrackParams from VTrack
112   // This is not a copy contructor !
113   //
114   if (!vTrack) {
115     AliError("Source VTrack is NULL");
116     return;
117   }
118   if (this==vTrack) {
119     AliError("Copy of itself is requested");
120     return;
121   }
122   //
123   if (vTrack->InheritsFrom(AliExternalTrackParam::Class())) {
124     AliDebug(1,"Source itself is AliExternalTrackParam, using assignment operator");
125     *this = *(AliExternalTrackParam*)vTrack;
126     return;
127   }
128   //
129   AliVTrack::operator=( *vTrack );
130   //
131   Double_t xyz[3],pxpypz[3],cv[21];
132   vTrack->GetXYZ(xyz);
133   pxpypz[0]=vTrack->Px();
134   pxpypz[1]=vTrack->Py();
135   pxpypz[2]=vTrack->Pz();
136   vTrack->GetCovarianceXYZPxPyPz(cv);
137   Short_t sign = (Short_t)vTrack->Charge();
138   Set(xyz,pxpypz,cv,sign);
139 }
140
141 //_____________________________________________________________________________
142 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(const AliVTrack *vTrack) :
143   AliVTrack(),
144   fX(0.),
145   fAlpha(0.)
146 {
147   //
148   // Constructor from virtual track,
149   // This is not a copy contructor !
150   //
151
152   if (vTrack->InheritsFrom("AliExternalTrackParam")) {
153      AliError("This is not a copy constructor. Use AliExternalTrackParam(const AliExternalTrackParam &) !");
154      AliWarning("Calling the default constructor...");
155      AliExternalTrackParam();
156      return;
157   }
158
159   Double_t xyz[3],pxpypz[3],cv[21];
160   vTrack->GetXYZ(xyz);
161   pxpypz[0]=vTrack->Px();
162   pxpypz[1]=vTrack->Py();
163   pxpypz[2]=vTrack->Pz();
164   vTrack->GetCovarianceXYZPxPyPz(cv);
165   Short_t sign = (Short_t)vTrack->Charge();
166
167   Set(xyz,pxpypz,cv,sign);
168 }
169
170 //_____________________________________________________________________________
171 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(Double_t xyz[3],Double_t pxpypz[3],
172                                              Double_t cv[21],Short_t sign) :
173   AliVTrack(),
174   fX(0.),
175   fAlpha(0.)
176 {
177   //
178   // constructor from the global parameters
179   //
180
181   Set(xyz,pxpypz,cv,sign);
182 }
183
184 //_____________________________________________________________________________
185 void AliExternalTrackParam::Set(Double_t xyz[3],Double_t pxpypz[3],
186                                 Double_t cv[21],Short_t sign) 
187 {
188   //
189   // create external track parameters from the global parameters
190   // x,y,z,px,py,pz and their 6x6 covariance matrix
191   // A.Dainese 10.10.08
192
193   // Calculate alpha: the rotation angle of the corresponding local system.
194   //
195   // For global radial position inside the beam pipe, alpha is the
196   // azimuthal angle of the momentum projected on (x,y).
197   //
198   // For global radial position outside the ITS, alpha is the
199   // azimuthal angle of the centre of the TPC sector in which the point
200   // xyz lies
201   //
202   const double kSafe = 1e-5;
203   Double_t radPos2 = xyz[0]*xyz[0]+xyz[1]*xyz[1];  
204   Double_t radMax  = 45.; // approximately ITS outer radius
205   if (radPos2 < radMax*radMax) { // inside the ITS     
206      fAlpha = TMath::ATan2(pxpypz[1],pxpypz[0]);
207   } else { // outside the ITS
208      Float_t phiPos = TMath::Pi()+TMath::ATan2(-xyz[1], -xyz[0]);
209      fAlpha = 
210      TMath::DegToRad()*(20*((((Int_t)(phiPos*TMath::RadToDeg()))/20))+10);
211   }
212   //
213   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
214   // protection:  avoid alpha being too close to 0 or +-pi/2
215   if (TMath::Abs(sn)<2*kSafe) {
216     if (fAlpha>0) fAlpha += fAlpha< TMath::Pi()/2. ?  2*kSafe : -2*kSafe;
217     else          fAlpha += fAlpha>-TMath::Pi()/2. ? -2*kSafe :  2*kSafe;
218     cs=TMath::Cos(fAlpha);
219     sn=TMath::Sin(fAlpha);
220   }
221   else if (TMath::Abs(cs)<2*kSafe) {
222     if (fAlpha>0) fAlpha += fAlpha> TMath::Pi()/2. ? 2*kSafe : -2*kSafe;
223     else          fAlpha += fAlpha>-TMath::Pi()/2. ? 2*kSafe : -2*kSafe;
224     cs=TMath::Cos(fAlpha);
225     sn=TMath::Sin(fAlpha);
226   }
227   // Get the vertex of origin and the momentum
228   TVector3 ver(xyz[0],xyz[1],xyz[2]);
229   TVector3 mom(pxpypz[0],pxpypz[1],pxpypz[2]);
230   //
231   // avoid momenta along axis
232   if (TMath::Abs(mom[0])<kSafe) mom[0] = TMath::Sign(kSafe*TMath::Abs(mom[1]), mom[0]);
233   if (TMath::Abs(mom[1])<kSafe) mom[1] = TMath::Sign(kSafe*TMath::Abs(mom[0]), mom[1]);
234
235   // Rotate to the local coordinate system
236   ver.RotateZ(-fAlpha);
237   mom.RotateZ(-fAlpha);
238
239   // x of the reference plane
240   fX = ver.X();
241
242   Double_t charge = (Double_t)sign;
243
244   fP[0] = ver.Y();
245   fP[1] = ver.Z();
246   fP[2] = TMath::Sin(mom.Phi());
247   fP[3] = mom.Pz()/mom.Pt();
248   fP[4] = TMath::Sign(1/mom.Pt(),charge);
249
250   // Covariance matrix (formulas to be simplified)
251
252   if      (TMath::Abs( 1-fP[2]) < kSafe) fP[2] = 1.- kSafe; //Protection
253   else if (TMath::Abs(-1-fP[2]) < kSafe) fP[2] =-1.+ kSafe; //Protection
254
255   Double_t pt=1./TMath::Abs(fP[4]);
256   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2]));
257
258   Double_t m00=-sn;// m10=cs;
259   Double_t m23=-pt*(sn + fP[2]*cs/r), m43=-pt*pt*(r*cs - fP[2]*sn);
260   Double_t m24= pt*(cs - fP[2]*sn/r), m44=-pt*pt*(r*sn + fP[2]*cs);
261   Double_t m35=pt, m45=-pt*pt*fP[3];
262
263   m43*=GetSign();
264   m44*=GetSign();
265   m45*=GetSign();
266
267   Double_t cv34 = TMath::Sqrt(cv[3 ]*cv[3 ]+cv[4 ]*cv[4 ]);
268   Double_t a1=cv[13]-cv[9]*(m23*m44+m43*m24)/m23/m43;
269   Double_t a2=m23*m24-m23*(m23*m44+m43*m24)/m43;
270   Double_t a3=m43*m44-m43*(m23*m44+m43*m24)/m23;
271   Double_t a4=cv[14]-2.*cv[9]*m24*m44/m23/m43;
272   Double_t a5=m24*m24-2.*m24*m44*m23/m43;
273   Double_t a6=m44*m44-2.*m24*m44*m43/m23;
274
275   fC[0 ] = cv[0 ]+cv[2 ];  
276   fC[1 ] = TMath::Sign(cv34,cv[3 ]/m00); 
277   fC[2 ] = cv[5 ]; 
278   fC[3 ] = (cv[10]*m43-cv[6]*m44)/(m24*m43-m23*m44)/m00; 
279   fC[10] = (cv[6]/m00-fC[3 ]*m23)/m43; 
280   fC[6 ] = (cv[15]/m00-fC[10]*m45)/m35; 
281   fC[4 ] = (cv[12]*m43-cv[8]*m44)/(m24*m43-m23*m44); 
282   fC[11] = (cv[8]-fC[4]*m23)/m43; 
283   fC[7 ] = cv[17]/m35-fC[11]*m45/m35; 
284   fC[5 ] = TMath::Abs((a4*a3-a6*a1)/(a5*a3-a6*a2));
285   fC[14] = TMath::Abs((a1-a2*fC[5])/a3);
286   fC[12] = (cv[9]-fC[5]*m23*m23-fC[14]*m43*m43)/m23/m43;
287   Double_t b1=cv[18]-fC[12]*m23*m45-fC[14]*m43*m45;
288   Double_t b2=m23*m35;
289   Double_t b3=m43*m35;
290   Double_t b4=cv[19]-fC[12]*m24*m45-fC[14]*m44*m45;
291   Double_t b5=m24*m35;
292   Double_t b6=m44*m35;
293   fC[8 ] = (b4-b6*b1/b3)/(b5-b6*b2/b3);
294   fC[13] = b1/b3-b2*fC[8]/b3;
295   fC[9 ] = TMath::Abs((cv[20]-fC[14]*(m45*m45)-fC[13]*2.*m35*m45)/(m35*m35));
296
297   CheckCovariance();
298
299   return;
300 }
301
302 //_____________________________________________________________________________
303 void AliExternalTrackParam::Reset() {
304   //
305   // Resets all the parameters to 0 
306   //
307   fX=fAlpha=0.;
308   for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = 0;
309   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = 0;
310 }
311
312 //_____________________________________________________________________________
313 void AliExternalTrackParam::AddCovariance(const Double_t c[15]) {
314   //
315   // Add "something" to the track covarince matrix.
316   // May be needed to account for unknown mis-calibration/mis-alignment
317   //
318     fC[0] +=c[0];
319     fC[1] +=c[1];  fC[2] +=c[2];
320     fC[3] +=c[3];  fC[4] +=c[4];  fC[5] +=c[5];
321     fC[6] +=c[6];  fC[7] +=c[7];  fC[8] +=c[8];  fC[9] +=c[9];
322     fC[10]+=c[10]; fC[11]+=c[11]; fC[12]+=c[12]; fC[13]+=c[13]; fC[14]+=c[14];
323     CheckCovariance();
324 }
325
326
327 Double_t AliExternalTrackParam::GetP() const {
328   //---------------------------------------------------------------------
329   // This function returns the track momentum
330   // Results for (nearly) straight tracks are meaningless !
331   //---------------------------------------------------------------------
332   if (TMath::Abs(fP[4])<=kAlmost0) return kVeryBig;
333   return TMath::Sqrt(1.+ fP[3]*fP[3])/TMath::Abs(fP[4]);
334 }
335
336 Double_t AliExternalTrackParam::Get1P() const {
337   //---------------------------------------------------------------------
338   // This function returns the 1/(track momentum)
339   //---------------------------------------------------------------------
340   return TMath::Abs(fP[4])/TMath::Sqrt(1.+ fP[3]*fP[3]);
341 }
342
343 //_______________________________________________________________________
344 Double_t AliExternalTrackParam::GetD(Double_t x,Double_t y,Double_t b) const {
345   //------------------------------------------------------------------
346   // This function calculates the transverse impact parameter
347   // with respect to a point with global coordinates (x,y)
348   // in the magnetic field "b" (kG)
349   //------------------------------------------------------------------
350   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) return GetLinearD(x,y);
351   Double_t rp4=GetC(b);
352
353   Double_t xt=fX, yt=fP[0];
354
355   Double_t sn=TMath::Sin(fAlpha), cs=TMath::Cos(fAlpha);
356   Double_t a = x*cs + y*sn;
357   y = -x*sn + y*cs; x=a;
358   xt-=x; yt-=y;
359
360   sn=rp4*xt - fP[2]; cs=rp4*yt + TMath::Sqrt((1.- fP[2])*(1.+fP[2]));
361   a=2*(xt*fP[2] - yt*TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2])))-rp4*(xt*xt + yt*yt);
362   return  -a/(1 + TMath::Sqrt(sn*sn + cs*cs));
363 }
364
365 //_______________________________________________________________________
366 void AliExternalTrackParam::
367 GetDZ(Double_t x, Double_t y, Double_t z, Double_t b, Float_t dz[2]) const {
368   //------------------------------------------------------------------
369   // This function calculates the transverse and longitudinal impact parameters
370   // with respect to a point with global coordinates (x,y)
371   // in the magnetic field "b" (kG)
372   //------------------------------------------------------------------
373   Double_t f1 = fP[2], r1 = TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1));
374   Double_t xt=fX, yt=fP[0];
375   Double_t sn=TMath::Sin(fAlpha), cs=TMath::Cos(fAlpha);
376   Double_t a = x*cs + y*sn;
377   y = -x*sn + y*cs; x=a;
378   xt-=x; yt-=y;
379
380   Double_t rp4=GetC(b);
381   if ((TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) || (TMath::Abs(rp4) < kAlmost0)) {
382      dz[0] = -(xt*f1 - yt*r1);
383      dz[1] = fP[1] + (dz[0]*f1 - xt)/r1*fP[3] - z;
384      return;
385   }
386
387   sn=rp4*xt - f1; cs=rp4*yt + r1;
388   a=2*(xt*f1 - yt*r1)-rp4*(xt*xt + yt*yt);
389   Double_t rr=TMath::Sqrt(sn*sn + cs*cs);
390   dz[0] = -a/(1 + rr);
391   Double_t f2 = -sn/rr, r2 = TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
392   dz[1] = fP[1] + fP[3]/rp4*TMath::ASin(f2*r1 - f1*r2) - z;
393 }
394
395 //_______________________________________________________________________
396 Double_t AliExternalTrackParam::GetLinearD(Double_t xv,Double_t yv) const {
397   //------------------------------------------------------------------
398   // This function calculates the transverse impact parameter
399   // with respect to a point with global coordinates (xv,yv)
400   // neglecting the track curvature.
401   //------------------------------------------------------------------
402   Double_t sn=TMath::Sin(fAlpha), cs=TMath::Cos(fAlpha);
403   Double_t x= xv*cs + yv*sn;
404   Double_t y=-xv*sn + yv*cs;
405
406   Double_t d = (fX-x)*fP[2] - (fP[0]-y)*TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2]));
407
408   return -d;
409 }
410
411 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMeanMaterialdEdx
412 (Double_t xOverX0,  Double_t xTimesRho, Double_t mass, 
413  Double_t dEdx,
414  Bool_t anglecorr) {
415   //------------------------------------------------------------------
416   // This function corrects the track parameters for the crossed material.
417   // "xOverX0"   - X/X0, the thickness in units of the radiation length.
418   // "xTimesRho" - is the product length*density (g/cm^2).
419   //     It should be passed as negative when propagating tracks 
420   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel. 
421   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2). Negative mass means charge=2 particle
422   // "dEdx" - mean enery loss (GeV/(g/cm^2)
423   // "anglecorr" - switch for the angular correction
424   //------------------------------------------------------------------
425   Double_t &fP2=fP[2];
426   Double_t &fP3=fP[3];
427   Double_t &fP4=fP[4];
428
429   Double_t &fC22=fC[5];
430   Double_t &fC33=fC[9];
431   Double_t &fC43=fC[13];
432   Double_t &fC44=fC[14];
433
434   //Apply angle correction, if requested
435   if(anglecorr) {
436     Double_t angle=TMath::Sqrt((1.+ fP3*fP3)/((1-fP2)*(1.+fP2)));
437     xOverX0 *=angle;
438     xTimesRho *=angle;
439   } 
440
441   Double_t p=GetP();
442   if (mass<0) p += p; // q=2 particle 
443   Double_t p2=p*p;
444   Double_t beta2=p2/(p2 + mass*mass);
445
446   //Calculating the multiple scattering corrections******************
447   Double_t cC22 = 0.;
448   Double_t cC33 = 0.;
449   Double_t cC43 = 0.;
450   Double_t cC44 = 0.;
451   if (xOverX0 != 0) {
452     //Double_t theta2=1.0259e-6*14*14/28/(beta2*p2)*TMath::Abs(d)*9.36*2.33;
453     Double_t theta2=0.0136*0.0136/(beta2*p2)*TMath::Abs(xOverX0);
454     if (GetUseLogTermMS()) {
455       double lt = 1+0.038*TMath::Log(TMath::Abs(xOverX0));
456       if (lt>0) theta2 *= lt*lt;
457     }
458     if (mass<0) theta2 *= 4; // q=2 particle
459     if(theta2>TMath::Pi()*TMath::Pi()) return kFALSE;
460     cC22 = theta2*((1.-fP2)*(1.+fP2))*(1. + fP3*fP3);
461     cC33 = theta2*(1. + fP3*fP3)*(1. + fP3*fP3);
462     cC43 = theta2*fP3*fP4*(1. + fP3*fP3);
463     cC44 = theta2*fP3*fP4*fP3*fP4;
464   }
465
466   //Calculating the energy loss corrections************************
467   Double_t cP4=1.;
468   if ((xTimesRho != 0.) && (beta2 < 1.)) {
469      Double_t dE=dEdx*xTimesRho;
470      Double_t e=TMath::Sqrt(p2 + mass*mass);
471      if ( TMath::Abs(dE) > 0.3*e ) return kFALSE; //30% energy loss is too much!
472      if ( (1.+ dE/p2*(dE + 2*e)) < 0. ) return kFALSE;
473      cP4 = 1./TMath::Sqrt(1.+ dE/p2*(dE + 2*e));  //A precise formula by Ruben !
474      if (TMath::Abs(fP4*cP4)>100.) return kFALSE; //Do not track below 10 MeV/c
475
476
477      // Approximate energy loss fluctuation (M.Ivanov)
478      const Double_t knst=0.07; // To be tuned.  
479      Double_t sigmadE=knst*TMath::Sqrt(TMath::Abs(dE)); 
480      cC44 += ((sigmadE*e/p2*fP4)*(sigmadE*e/p2*fP4)); 
481  
482   }
483
484   //Applying the corrections*****************************
485   fC22 += cC22;
486   fC33 += cC33;
487   fC43 += cC43;
488   fC44 += cC44;
489   fP4  *= cP4;
490
491   CheckCovariance();
492
493   return kTRUE;
494 }
495
496 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMeanMaterial
497 (Double_t xOverX0,  Double_t xTimesRho, Double_t mass, 
498  Bool_t anglecorr,
499  Double_t (*Bethe)(Double_t)) {
500   //------------------------------------------------------------------
501   // This function corrects the track parameters for the crossed material.
502   // "xOverX0"   - X/X0, the thickness in units of the radiation length.
503   // "xTimesRho" - is the product length*density (g/cm^2). 
504   //     It should be passed as negative when propagating tracks 
505   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel. 
506   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2). mass<0 means charge=2
507   // "anglecorr" - switch for the angular correction
508   // "Bethe" - function calculating the energy loss (GeV/(g/cm^2)) 
509   //------------------------------------------------------------------
510   Double_t bg=GetP()/mass;
511   if (mass<0) {
512     if (mass<-990) {
513       AliDebug(2,Form("Mass %f corresponds to unknown PID particle = %e",mass));
514       return kFALSE;
515     }
516     bg = -2*bg;
517   }
518   Double_t dEdx=Bethe(bg);
519   if (mass<0) dEdx *= 4;
520
521   return CorrectForMeanMaterialdEdx(xOverX0,xTimesRho,mass,dEdx,anglecorr);
522 }
523
524 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMeanMaterialZA
525 (Double_t xOverX0, Double_t xTimesRho, Double_t mass,
526  Double_t zOverA,
527  Double_t density,
528  Double_t exEnergy,
529  Double_t jp1,
530  Double_t jp2,
531  Bool_t anglecorr) {
532   //------------------------------------------------------------------
533   // This function corrects the track parameters for the crossed material
534   // using the full Geant-like Bethe-Bloch formula parameterization
535   // "xOverX0"   - X/X0, the thickness in units of the radiation length.
536   // "xTimesRho" - is the product length*density (g/cm^2). 
537   //     It should be passed as negative when propagating tracks 
538   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel. 
539   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2). mass<0 means charge=2 particle
540   // "density"  - mean density (g/cm^3)
541   // "zOverA"   - mean Z/A
542   // "exEnergy" - mean exitation energy (GeV)
543   // "jp1"      - density effect first junction point
544   // "jp2"      - density effect second junction point
545   // "anglecorr" - switch for the angular correction
546   //
547   //  The default values of the parameters are for silicon 
548   //
549   //------------------------------------------------------------------
550
551   Double_t bg=GetP()/mass;
552   if (mass<0) {
553     if (mass<-990) {
554       AliDebug(2,Form("Mass %f corresponds to unknown PID particle = %e",mass));
555       return kFALSE;
556     }
557     bg = -2*bg;
558   }
559   Double_t dEdx=BetheBlochGeant(bg,density,jp1,jp2,exEnergy,zOverA);
560   if (mass<0) dEdx *= 4;
561   return CorrectForMeanMaterialdEdx(xOverX0,xTimesRho,mass,dEdx,anglecorr);
562 }
563
564
565
566 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMaterial
567 (Double_t d,  Double_t x0, Double_t mass, Double_t (*Bethe)(Double_t)) {
568   //------------------------------------------------------------------
569   //                    Deprecated function !   
570   //       Better use CorrectForMeanMaterial instead of it.
571   //
572   // This function corrects the track parameters for the crossed material
573   // "d"    - the thickness (fraction of the radiation length)
574   //     It should be passed as negative when propagating tracks 
575   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel. 
576   // "x0"   - the radiation length (g/cm^2) 
577   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2)
578   //------------------------------------------------------------------
579
580   return CorrectForMeanMaterial(d,x0*d,mass,kTRUE,Bethe);
581
582 }
583
584 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochAleph(Double_t bg,
585          Double_t kp1,
586          Double_t kp2,
587          Double_t kp3,
588          Double_t kp4,
589          Double_t kp5) {
590   //
591   // This is the empirical ALEPH parameterization of the Bethe-Bloch formula.
592   // It is normalized to 1 at the minimum.
593   //
594   // bg - beta*gamma
595   // 
596   // The default values for the kp* parameters are for ALICE TPC.
597   // The returned value is in MIP units
598   //
599
600   Double_t beta = bg/TMath::Sqrt(1.+ bg*bg);
601
602   Double_t aa = TMath::Power(beta,kp4);
603   Double_t bb = TMath::Power(1./bg,kp5);
604
605   bb=TMath::Log(kp3+bb);
606   
607   return (kp2-aa-bb)*kp1/aa;
608 }
609
610 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochGeant(Double_t bg,
611          Double_t kp0,
612          Double_t kp1,
613          Double_t kp2,
614          Double_t kp3,
615          Double_t kp4) {
616   //
617   // This is the parameterization of the Bethe-Bloch formula inspired by Geant.
618   //
619   // bg  - beta*gamma
620   // kp0 - density [g/cm^3]
621   // kp1 - density effect first junction point
622   // kp2 - density effect second junction point
623   // kp3 - mean excitation energy [GeV]
624   // kp4 - mean Z/A
625   //
626   // The default values for the kp* parameters are for silicon. 
627   // The returned value is in [GeV/(g/cm^2)].
628   // 
629
630   const Double_t mK  = 0.307075e-3; // [GeV*cm^2/g]
631   const Double_t me  = 0.511e-3;    // [GeV/c^2]
632   const Double_t rho = kp0;
633   const Double_t x0  = kp1*2.303;
634   const Double_t x1  = kp2*2.303;
635   const Double_t mI  = kp3;
636   const Double_t mZA = kp4;
637   const Double_t bg2 = bg*bg;
638   const Double_t maxT= 2*me*bg2;    // neglecting the electron mass
639   
640   //*** Density effect
641   Double_t d2=0.; 
642   const Double_t x=TMath::Log(bg);
643   const Double_t lhwI=TMath::Log(28.816*1e-9*TMath::Sqrt(rho*mZA)/mI);
644   if (x > x1) {
645     d2 = lhwI + x - 0.5;
646   } else if (x > x0) {
647     const Double_t r=(x1-x)/(x1-x0);
648     d2 = lhwI + x - 0.5 + (0.5 - lhwI - x0)*r*r*r;
649   }
650
651   return mK*mZA*(1+bg2)/bg2*
652          (0.5*TMath::Log(2*me*bg2*maxT/(mI*mI)) - bg2/(1+bg2) - d2);
653 }
654
655 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochSolid(Double_t bg) {
656   //------------------------------------------------------------------
657   // This is an approximation of the Bethe-Bloch formula, 
658   // reasonable for solid materials. 
659   // All the parameters are, in fact, for Si.
660   // The returned value is in [GeV/(g/cm^2)]
661   //------------------------------------------------------------------
662
663   return BetheBlochGeant(bg);
664 }
665
666 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochGas(Double_t bg) {
667   //------------------------------------------------------------------
668   // This is an approximation of the Bethe-Bloch formula, 
669   // reasonable for gas materials.
670   // All the parameters are, in fact, for Ne.
671   // The returned value is in [GeV/(g/cm^2)]
672   //------------------------------------------------------------------
673
674   const Double_t rho = 0.9e-3;
675   const Double_t x0  = 2.;
676   const Double_t x1  = 4.;
677   const Double_t mI  = 140.e-9;
678   const Double_t mZA = 0.49555;
679
680   return BetheBlochGeant(bg,rho,x0,x1,mI,mZA);
681 }
682
683 Bool_t AliExternalTrackParam::Rotate(Double_t alpha) {
684   //------------------------------------------------------------------
685   // Transform this track to the local coord. system rotated
686   // by angle "alpha" (rad) with respect to the global coord. system. 
687   //------------------------------------------------------------------
688   if (TMath::Abs(fP[2]) >= kAlmost1) {
689      AliError(Form("Precondition is not satisfied: |sin(phi)|>1 ! %f",fP[2])); 
690      return kFALSE;
691   }
692  
693   if      (alpha < -TMath::Pi()) alpha += 2*TMath::Pi();
694   else if (alpha >= TMath::Pi()) alpha -= 2*TMath::Pi();
695
696   Double_t &fP0=fP[0];
697   Double_t &fP2=fP[2];
698   Double_t &fC00=fC[0];
699   Double_t &fC10=fC[1];
700   Double_t &fC20=fC[3];
701   Double_t &fC21=fC[4];
702   Double_t &fC22=fC[5];
703   Double_t &fC30=fC[6];
704   Double_t &fC32=fC[8];
705   Double_t &fC40=fC[10];
706   Double_t &fC42=fC[12];
707
708   Double_t x=fX;
709   Double_t ca=TMath::Cos(alpha-fAlpha), sa=TMath::Sin(alpha-fAlpha);
710   Double_t sf=fP2, cf=TMath::Sqrt((1.- fP2)*(1.+fP2)); // Improve precision
711   // RS: check if rotation does no invalidate track model (cos(local_phi)>=0, i.e. particle
712   // direction in local frame is along the X axis
713   if ((cf*ca+sf*sa)<0) {
714     AliDebug(1,Form("Rotation failed: local cos(phi) would become %.2f",cf*ca+sf*sa));
715     return kFALSE;
716   }
717   //
718   Double_t tmp=sf*ca - cf*sa;
719
720   if (TMath::Abs(tmp) >= kAlmost1) {
721      if (TMath::Abs(tmp) > 1.+ Double_t(FLT_EPSILON))  
722         AliWarning(Form("Rotation failed ! %.10e",tmp));
723      return kFALSE;
724   }
725   fAlpha = alpha;
726   fX =  x*ca + fP0*sa;
727   fP0= -x*sa + fP0*ca;
728   fP2=  tmp;
729
730   if (TMath::Abs(cf)<kAlmost0) {
731     AliError(Form("Too small cosine value %f",cf)); 
732     cf = kAlmost0;
733   } 
734
735   Double_t rr=(ca+sf/cf*sa);  
736
737   fC00 *= (ca*ca);
738   fC10 *= ca;
739   fC20 *= ca*rr;
740   fC21 *= rr;
741   fC22 *= rr*rr;
742   fC30 *= ca;
743   fC32 *= rr;
744   fC40 *= ca;
745   fC42 *= rr;
746
747   CheckCovariance();
748
749   return kTRUE;
750 }
751
752 Bool_t AliExternalTrackParam::Invert() {
753   //------------------------------------------------------------------
754   // Transform this track to the local coord. system rotated by 180 deg. 
755   //------------------------------------------------------------------
756   fX = -fX;
757   fAlpha += TMath::Pi();
758   while (fAlpha < -TMath::Pi()) fAlpha += 2*TMath::Pi();
759   while (fAlpha >= TMath::Pi()) fAlpha -= 2*TMath::Pi();
760   //
761   fP[0] = -fP[0];
762   //fP[2] = -fP[2];
763   fP[3] = -fP[3];
764   fP[4] = -fP[4];
765   //
766   fC[1] = -fC[1]; // since the fP1 and fP2 are not inverted, their covariances with others change sign
767   fC[3] = -fC[3];
768   fC[7] = -fC[7];
769   fC[8] = -fC[8]; 
770   fC[11] = -fC[11]; 
771   fC[12] = -fC[12]; 
772   //
773   return kTRUE;
774 }
775
776 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateTo(Double_t xk, Double_t b) {
777   //----------------------------------------------------------------
778   // Propagate this track to the plane X=xk (cm) in the field "b" (kG)
779   //----------------------------------------------------------------
780   Double_t dx=xk-fX;
781   if (TMath::Abs(dx)<=kAlmost0)  return kTRUE;
782
783   Double_t crv=GetC(b);
784   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
785
786   Double_t x2r = crv*dx;
787   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + x2r;
788   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
789   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
790   if (TMath::Abs(fP[4])< kAlmost0) return kFALSE;
791
792   Double_t &fP0=fP[0], &fP1=fP[1], &fP2=fP[2], &fP3=fP[3], &fP4=fP[4];
793   Double_t 
794   &fC00=fC[0],
795   &fC10=fC[1],   &fC11=fC[2],  
796   &fC20=fC[3],   &fC21=fC[4],   &fC22=fC[5],
797   &fC30=fC[6],   &fC31=fC[7],   &fC32=fC[8],   &fC33=fC[9],  
798   &fC40=fC[10],  &fC41=fC[11],  &fC42=fC[12],  &fC43=fC[13], &fC44=fC[14];
799
800   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
801   if (TMath::Abs(r1)<kAlmost0)  return kFALSE;
802   if (TMath::Abs(r2)<kAlmost0)  return kFALSE;
803
804   fX=xk;
805   double dy2dx = (f1+f2)/(r1+r2);
806   fP0 += dx*dy2dx;
807   if (TMath::Abs(x2r)<0.05) {
808     fP1 += dx*(r2 + f2*dy2dx)*fP3;  // Many thanks to P.Hristov !
809     fP2 += x2r;
810   }
811   else { 
812     // for small dx/R the linear apporximation of the arc by the segment is OK,
813     // but at large dx/R the error is very large and leads to incorrect Z propagation
814     // angle traversed delta = 2*asin(dist_start_end / R / 2), hence the arc is: R*deltaPhi
815     // The dist_start_end is obtained from sqrt(dx^2+dy^2) = x/(r1+r2)*sqrt(2+f1*f2+r1*r2)
816     // Similarly, the rotation angle in linear in dx only for dx<<R
817     double chord = dx*TMath::Sqrt(1+dy2dx*dy2dx);   // distance from old position to new one
818     double rot = 2*TMath::ASin(0.5*chord*crv); // angular difference seen from the circle center
819     fP1 += rot/crv*fP3;
820     fP2  = TMath::Sin(rot + TMath::ASin(fP2));
821   }
822
823   //f = F - 1
824   /*
825   Double_t f02=    dx/(r1*r1*r1);            Double_t cc=crv/fP4;
826   Double_t f04=0.5*dx*dx/(r1*r1*r1);         f04*=cc;
827   Double_t f12=    dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);
828   Double_t f14=0.5*dx*dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);  f14*=cc;
829   Double_t f13=    dx/r1;
830   Double_t f24=    dx;                       f24*=cc;
831   */
832   Double_t rinv = 1./r1;
833   Double_t r3inv = rinv*rinv*rinv;
834   Double_t f24=    x2r/fP4;
835   Double_t f02=    dx*r3inv;
836   Double_t f04=0.5*f24*f02;
837   Double_t f12=    f02*fP3*f1;
838   Double_t f14=0.5*f24*f02*fP3*f1;
839   Double_t f13=    dx*rinv;
840
841   //b = C*ft
842   Double_t b00=f02*fC20 + f04*fC40, b01=f12*fC20 + f14*fC40 + f13*fC30;
843   Double_t b02=f24*fC40;
844   Double_t b10=f02*fC21 + f04*fC41, b11=f12*fC21 + f14*fC41 + f13*fC31;
845   Double_t b12=f24*fC41;
846   Double_t b20=f02*fC22 + f04*fC42, b21=f12*fC22 + f14*fC42 + f13*fC32;
847   Double_t b22=f24*fC42;
848   Double_t b40=f02*fC42 + f04*fC44, b41=f12*fC42 + f14*fC44 + f13*fC43;
849   Double_t b42=f24*fC44;
850   Double_t b30=f02*fC32 + f04*fC43, b31=f12*fC32 + f14*fC43 + f13*fC33;
851   Double_t b32=f24*fC43;
852   
853   //a = f*b = f*C*ft
854   Double_t a00=f02*b20+f04*b40,a01=f02*b21+f04*b41,a02=f02*b22+f04*b42;
855   Double_t a11=f12*b21+f14*b41+f13*b31,a12=f12*b22+f14*b42+f13*b32;
856   Double_t a22=f24*b42;
857
858   //F*C*Ft = C + (b + bt + a)
859   fC00 += b00 + b00 + a00;
860   fC10 += b10 + b01 + a01; 
861   fC20 += b20 + b02 + a02;
862   fC30 += b30;
863   fC40 += b40;
864   fC11 += b11 + b11 + a11;
865   fC21 += b21 + b12 + a12;
866   fC31 += b31; 
867   fC41 += b41;
868   fC22 += b22 + b22 + a22;
869   fC32 += b32;
870   fC42 += b42;
871
872   CheckCovariance();
873
874   return kTRUE;
875 }
876
877 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateParamOnlyTo(Double_t xk, Double_t b) {
878   //----------------------------------------------------------------
879   // Propagate this track to the plane X=xk (cm) in the field "b" (kG)
880   // Only parameters are propagated, not the matrix. To be used for small 
881   // distances only (<mm, i.e. misalignment)
882   //----------------------------------------------------------------
883   Double_t dx=xk-fX;
884   if (TMath::Abs(dx)<=kAlmost0)  return kTRUE;
885
886   Double_t crv=GetC(b);
887   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
888
889   Double_t x2r = crv*dx;
890   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + x2r;
891   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
892   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
893   if (TMath::Abs(fP[4])< kAlmost0) return kFALSE;
894
895   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
896   if (TMath::Abs(r1)<kAlmost0)  return kFALSE;
897   if (TMath::Abs(r2)<kAlmost0)  return kFALSE;
898
899   fX=xk;
900   double dy2dx = (f1+f2)/(r1+r2);
901   fP[0] += dx*dy2dx;
902   fP[1] += dx*(r2 + f2*dy2dx)*fP[3];  // Many thanks to P.Hristov !
903   fP[2] += x2r;
904
905   return kTRUE;
906 }
907
908 Bool_t 
909 AliExternalTrackParam::Propagate(Double_t alpha, Double_t x, Double_t b) {
910   //------------------------------------------------------------------
911   // Transform this track to the local coord. system rotated
912   // by angle "alpha" (rad) with respect to the global coord. system, 
913   // and propagate this track to the plane X=xk (cm) in the field "b" (kG)
914   //------------------------------------------------------------------
915   
916   //Save the parameters
917   Double_t as=fAlpha;
918   Double_t xs=fX;
919   Double_t ps[5], cs[15];
920   for (Int_t i=0; i<5;  i++) ps[i]=fP[i]; 
921   for (Int_t i=0; i<15; i++) cs[i]=fC[i]; 
922
923   if (Rotate(alpha))
924      if (PropagateTo(x,b)) return kTRUE;
925
926   //Restore the parameters, if the operation failed
927   fAlpha=as;
928   fX=xs;
929   for (Int_t i=0; i<5;  i++) fP[i]=ps[i]; 
930   for (Int_t i=0; i<15; i++) fC[i]=cs[i]; 
931   return kFALSE;
932 }
933
934 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateBxByBz
935 (Double_t alpha, Double_t x, Double_t b[3]) {
936   //------------------------------------------------------------------
937   // Transform this track to the local coord. system rotated
938   // by angle "alpha" (rad) with respect to the global coord. system, 
939   // and propagate this track to the plane X=xk (cm),
940   // taking into account all three components of the B field, "b[3]" (kG)
941   //------------------------------------------------------------------
942   
943   //Save the parameters
944   Double_t as=fAlpha;
945   Double_t xs=fX;
946   Double_t ps[5], cs[15];
947   for (Int_t i=0; i<5;  i++) ps[i]=fP[i]; 
948   for (Int_t i=0; i<15; i++) cs[i]=fC[i]; 
949
950   if (Rotate(alpha))
951      if (PropagateToBxByBz(x,b)) return kTRUE;
952
953   //Restore the parameters, if the operation failed
954   fAlpha=as;
955   fX=xs;
956   for (Int_t i=0; i<5;  i++) fP[i]=ps[i]; 
957   for (Int_t i=0; i<15; i++) fC[i]=cs[i]; 
958   return kFALSE;
959 }
960
961
962 void AliExternalTrackParam::Propagate(Double_t len, Double_t x[3],
963 Double_t p[3], Double_t bz) const {
964   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++    
965   // Origin: K. Shileev (Kirill.Shileev@cern.ch)
966   // Extrapolate track along simple helix in magnetic field
967   // Arguments: len -distance alogn helix, [cm]
968   //            bz  - mag field, [kGaus]   
969   // Returns: x and p contain extrapolated positon and momentum  
970   // The momentum returned for straight-line tracks is meaningless !
971   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++    
972   GetXYZ(x);
973     
974   if (OneOverPt() < kAlmost0 || TMath::Abs(bz) < kAlmost0Field || GetC(bz) < kAlmost0){ //straight-line tracks
975      Double_t unit[3]; GetDirection(unit);
976      x[0]+=unit[0]*len;   
977      x[1]+=unit[1]*len;   
978      x[2]+=unit[2]*len;
979
980      p[0]=unit[0]/kAlmost0;   
981      p[1]=unit[1]/kAlmost0;   
982      p[2]=unit[2]/kAlmost0;   
983   } else {
984      GetPxPyPz(p);
985      Double_t pp=GetP();
986      Double_t a = -kB2C*bz*GetSign();
987      Double_t rho = a/pp;
988      x[0] += p[0]*TMath::Sin(rho*len)/a - p[1]*(1-TMath::Cos(rho*len))/a;
989      x[1] += p[1]*TMath::Sin(rho*len)/a + p[0]*(1-TMath::Cos(rho*len))/a;
990      x[2] += p[2]*len/pp;
991
992      Double_t p0=p[0];
993      p[0] = p0  *TMath::Cos(rho*len) - p[1]*TMath::Sin(rho*len);
994      p[1] = p[1]*TMath::Cos(rho*len) + p0  *TMath::Sin(rho*len);
995   }
996 }
997
998 Bool_t AliExternalTrackParam::Intersect(Double_t pnt[3], Double_t norm[3],
999 Double_t bz) const {
1000   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++    
1001   // Origin: K. Shileev (Kirill.Shileev@cern.ch)
1002   // Finds point of intersection (if exists) of the helix with the plane. 
1003   // Stores result in fX and fP.   
1004   // Arguments: planePoint,planeNorm - the plane defined by any plane's point 
1005   // and vector, normal to the plane
1006   // Returns: kTrue if helix intersects the plane, kFALSE otherwise.
1007   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++    
1008   Double_t x0[3]; GetXYZ(x0); //get track position in MARS
1009   
1010   //estimates initial helix length up to plane
1011   Double_t s=
1012     (pnt[0]-x0[0])*norm[0] + (pnt[1]-x0[1])*norm[1] + (pnt[2]-x0[2])*norm[2];
1013   Double_t dist=99999,distPrev=dist;
1014   Double_t x[3],p[3]; 
1015   while(TMath::Abs(dist)>0.00001){
1016     //calculates helix at the distance s from x0 ALONG the helix
1017     Propagate(s,x,p,bz);
1018
1019     //distance between current helix position and plane
1020     dist=(x[0]-pnt[0])*norm[0]+(x[1]-pnt[1])*norm[1]+(x[2]-pnt[2])*norm[2];
1021
1022     if(TMath::Abs(dist) >= TMath::Abs(distPrev)) {return kFALSE;}
1023     distPrev=dist;
1024     s-=dist;
1025   }
1026   //on exit pnt is intersection point,norm is track vector at that point, 
1027   //all in MARS
1028   for (Int_t i=0; i<3; i++) {pnt[i]=x[i]; norm[i]=p[i];}
1029   return kTRUE;
1030 }
1031
1032 Double_t 
1033 AliExternalTrackParam::GetPredictedChi2(Double_t p[2],Double_t cov[3]) const {
1034   //----------------------------------------------------------------
1035   // Estimate the chi2 of the space point "p" with the cov. matrix "cov"
1036   //----------------------------------------------------------------
1037   Double_t sdd = fC[0] + cov[0]; 
1038   Double_t sdz = fC[1] + cov[1];
1039   Double_t szz = fC[2] + cov[2];
1040   Double_t det = sdd*szz - sdz*sdz;
1041
1042   if (TMath::Abs(det) < kAlmost0) return kVeryBig;
1043
1044   Double_t d = fP[0] - p[0];
1045   Double_t z = fP[1] - p[1];
1046
1047   return (d*szz*d - 2*d*sdz*z + z*sdd*z)/det;
1048 }
1049
1050 Double_t AliExternalTrackParam::
1051 GetPredictedChi2(Double_t p[3],Double_t covyz[3],Double_t covxyz[3]) const {
1052   //----------------------------------------------------------------
1053   // Estimate the chi2 of the 3D space point "p" and
1054   // the full covariance matrix "covyz" and "covxyz"
1055   //
1056   // Cov(x,x) ... :   covxyz[0]
1057   // Cov(y,x) ... :   covxyz[1]  covyz[0]
1058   // Cov(z,x) ... :   covxyz[2]  covyz[1]  covyz[2]
1059   //----------------------------------------------------------------
1060
1061   Double_t res[3] = {
1062     GetX() - p[0],
1063     GetY() - p[1],
1064     GetZ() - p[2]
1065   };
1066
1067   Double_t f=GetSnp();
1068   if (TMath::Abs(f) >= kAlmost1) return kVeryBig;
1069   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-f)*(1.+f));
1070   Double_t a=f/r, b=GetTgl()/r;
1071
1072   Double_t s2=333.*333.;  //something reasonably big (cm^2)
1073  
1074   TMatrixDSym v(3);
1075   v(0,0)=  s2;  v(0,1)=  a*s2;                 v(0,2)=  b*s2;;
1076   v(1,0)=a*s2;  v(1,1)=a*a*s2 + GetSigmaY2();  v(1,2)=a*b*s2 + GetSigmaZY();
1077   v(2,0)=b*s2;  v(2,1)=a*b*s2 + GetSigmaZY();  v(2,2)=b*b*s2 + GetSigmaZ2();
1078
1079   v(0,0)+=covxyz[0]; v(0,1)+=covxyz[1]; v(0,2)+=covxyz[2];
1080   v(1,0)+=covxyz[1]; v(1,1)+=covyz[0];  v(1,2)+=covyz[1];
1081   v(2,0)+=covxyz[2]; v(2,1)+=covyz[1];  v(2,2)+=covyz[2];
1082
1083   v.Invert();
1084   if (!v.IsValid()) return kVeryBig;
1085
1086   Double_t chi2=0.;
1087   for (Int_t i = 0; i < 3; i++)
1088     for (Int_t j = 0; j < 3; j++) chi2 += res[i]*res[j]*v(i,j);
1089
1090   return chi2;  
1091 }
1092
1093 Double_t AliExternalTrackParam::
1094 GetPredictedChi2(const AliExternalTrackParam *t) const {
1095   //----------------------------------------------------------------
1096   // Estimate the chi2 (5 dof) of this track with respect to the track
1097   // given by the argument.
1098   // The two tracks must be in the same reference system 
1099   // and estimated at the same reference plane.
1100   //----------------------------------------------------------------
1101
1102   if (TMath::Abs(1. - t->GetAlpha()/GetAlpha()) > FLT_EPSILON) {
1103       AliError("The reference systems of the tracks differ !");
1104       return kVeryBig;
1105   }
1106   if (TMath::Abs(1. - t->GetX()/GetX()) > FLT_EPSILON) {
1107       AliError("The reference of the tracks planes differ !");
1108       return kVeryBig;
1109   }
1110
1111   TMatrixDSym c(5);
1112     c(0,0)=GetSigmaY2(); 
1113     c(1,0)=GetSigmaZY();   c(1,1)=GetSigmaZ2();
1114     c(2,0)=GetSigmaSnpY(); c(2,1)=GetSigmaSnpZ(); c(2,2)=GetSigmaSnp2();
1115     c(3,0)=GetSigmaTglY(); c(3,1)=GetSigmaTglZ(); c(3,2)=GetSigmaTglSnp(); c(3,3)=GetSigmaTgl2();
1116     c(4,0)=GetSigma1PtY(); c(4,1)=GetSigma1PtZ(); c(4,2)=GetSigma1PtSnp(); c(4,3)=GetSigma1PtTgl(); c(4,4)=GetSigma1Pt2();
1117
1118     c(0,0)+=t->GetSigmaY2(); 
1119     c(1,0)+=t->GetSigmaZY();  c(1,1)+=t->GetSigmaZ2();
1120     c(2,0)+=t->GetSigmaSnpY();c(2,1)+=t->GetSigmaSnpZ();c(2,2)+=t->GetSigmaSnp2();
1121     c(3,0)+=t->GetSigmaTglY();c(3,1)+=t->GetSigmaTglZ();c(3,2)+=t->GetSigmaTglSnp();c(3,3)+=t->GetSigmaTgl2();
1122     c(4,0)+=t->GetSigma1PtY();c(4,1)+=t->GetSigma1PtZ();c(4,2)+=t->GetSigma1PtSnp();c(4,3)+=t->GetSigma1PtTgl();c(4,4)+=t->GetSigma1Pt2();
1123     c(0,1)=c(1,0);
1124     c(0,2)=c(2,0); c(1,2)=c(2,1);
1125     c(0,3)=c(3,0); c(1,3)=c(3,1); c(2,3)=c(3,2);
1126     c(0,4)=c(4,0); c(1,4)=c(4,1); c(2,4)=c(4,2); c(3,4)=c(4,3);
1127
1128   c.Invert();
1129   if (!c.IsValid()) return kVeryBig;
1130
1131
1132   Double_t res[5] = {
1133     GetY()   - t->GetY(),
1134     GetZ()   - t->GetZ(),
1135     GetSnp() - t->GetSnp(),
1136     GetTgl() - t->GetTgl(),
1137     GetSigned1Pt() - t->GetSigned1Pt()
1138   };
1139
1140   Double_t chi2=0.;
1141   for (Int_t i = 0; i < 5; i++)
1142     for (Int_t j = 0; j < 5; j++) chi2 += res[i]*res[j]*c(i,j);
1143
1144   return chi2;  
1145 }
1146
1147 Bool_t AliExternalTrackParam::
1148 PropagateTo(Double_t p[3],Double_t covyz[3],Double_t covxyz[3],Double_t bz) {
1149   //----------------------------------------------------------------
1150   // Propagate this track to the plane 
1151   // the 3D space point "p" (with the covariance matrix "covyz" and "covxyz")
1152   // belongs to.
1153   // The magnetic field is "bz" (kG)
1154   //
1155   // The track curvature and the change of the covariance matrix
1156   // of the track parameters are negleted !
1157   // (So the "step" should be small compared with 1/curvature)
1158   //----------------------------------------------------------------
1159
1160   Double_t f=GetSnp();
1161   if (TMath::Abs(f) >= kAlmost1) return kFALSE;
1162   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-f)*(1.+f));
1163   Double_t a=f/r, b=GetTgl()/r;
1164
1165   Double_t s2=333.*333.;  //something reasonably big (cm^2)
1166  
1167   TMatrixDSym tV(3);
1168   tV(0,0)=  s2;  tV(0,1)=  a*s2;  tV(0,2)=  b*s2;
1169   tV(1,0)=a*s2;  tV(1,1)=a*a*s2;  tV(1,2)=a*b*s2;
1170   tV(2,0)=b*s2;  tV(2,1)=a*b*s2;  tV(2,2)=b*b*s2;
1171
1172   TMatrixDSym pV(3);
1173   pV(0,0)=covxyz[0]; pV(0,1)=covxyz[1]; pV(0,2)=covxyz[2];
1174   pV(1,0)=covxyz[1]; pV(1,1)=covyz[0];  pV(1,2)=covyz[1];
1175   pV(2,0)=covxyz[2]; pV(2,1)=covyz[1];  pV(2,2)=covyz[2];
1176
1177   TMatrixDSym tpV(tV);
1178   tpV+=pV;
1179   tpV.Invert();
1180   if (!tpV.IsValid()) return kFALSE;
1181
1182   TMatrixDSym pW(3),tW(3);
1183   for (Int_t i=0; i<3; i++)
1184     for (Int_t j=0; j<3; j++) {
1185       pW(i,j)=tW(i,j)=0.;
1186       for (Int_t k=0; k<3; k++) {
1187         pW(i,j) += tV(i,k)*tpV(k,j);
1188         tW(i,j) += pV(i,k)*tpV(k,j);
1189       }
1190     }
1191
1192   Double_t t[3] = {GetX(), GetY(), GetZ()};
1193
1194   Double_t x=0.;
1195   for (Int_t i=0; i<3; i++) x += (tW(0,i)*t[i] + pW(0,i)*p[i]);  
1196   Double_t crv=GetC(bz);
1197   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
1198   f += crv*(x-fX);
1199   if (TMath::Abs(f) >= kAlmost1) return kFALSE;
1200   fX=x;  
1201
1202   fP[0]=0.;
1203   for (Int_t i=0; i<3; i++) fP[0] += (tW(1,i)*t[i] + pW(1,i)*p[i]);  
1204   fP[1]=0.;
1205   for (Int_t i=0; i<3; i++) fP[1] += (tW(2,i)*t[i] + pW(2,i)*p[i]);  
1206
1207   return kTRUE;  
1208 }
1209
1210 Double_t *AliExternalTrackParam::GetResiduals(
1211 Double_t *p,Double_t *cov,Bool_t updated) const {
1212   //------------------------------------------------------------------
1213   // Returns the track residuals with the space point "p" having
1214   // the covariance matrix "cov".
1215   // If "updated" is kTRUE, the track parameters expected to be updated,
1216   // otherwise they must be predicted.  
1217   //------------------------------------------------------------------
1218   static Double_t res[2];
1219
1220   Double_t r00=cov[0], r01=cov[1], r11=cov[2];
1221   if (updated) {
1222      r00-=fC[0]; r01-=fC[1]; r11-=fC[2];
1223   } else {
1224      r00+=fC[0]; r01+=fC[1]; r11+=fC[2];
1225   }
1226   Double_t det=r00*r11 - r01*r01;
1227
1228   if (TMath::Abs(det) < kAlmost0) return 0;
1229
1230   Double_t tmp=r00; r00=r11/det; r11=tmp/det;
1231
1232   if (r00 < 0.) return 0;
1233   if (r11 < 0.) return 0;
1234
1235   Double_t dy = fP[0] - p[0];
1236   Double_t dz = fP[1] - p[1];
1237
1238   res[0]=dy*TMath::Sqrt(r00);
1239   res[1]=dz*TMath::Sqrt(r11);
1240
1241   return res;
1242 }
1243
1244 Bool_t AliExternalTrackParam::Update(Double_t p[2], Double_t cov[3]) {
1245   //------------------------------------------------------------------
1246   // Update the track parameters with the space point "p" having
1247   // the covariance matrix "cov"
1248   //------------------------------------------------------------------
1249   Double_t &fP0=fP[0], &fP1=fP[1], &fP2=fP[2], &fP3=fP[3], &fP4=fP[4];
1250   Double_t 
1251   &fC00=fC[0],
1252   &fC10=fC[1],   &fC11=fC[2],  
1253   &fC20=fC[3],   &fC21=fC[4],   &fC22=fC[5],
1254   &fC30=fC[6],   &fC31=fC[7],   &fC32=fC[8],   &fC33=fC[9],  
1255   &fC40=fC[10],  &fC41=fC[11],  &fC42=fC[12],  &fC43=fC[13], &fC44=fC[14];
1256
1257   Double_t r00=cov[0], r01=cov[1], r11=cov[2];
1258   r00+=fC00; r01+=fC10; r11+=fC11;
1259   Double_t det=r00*r11 - r01*r01;
1260
1261   if (TMath::Abs(det) < kAlmost0) return kFALSE;
1262
1263
1264   Double_t tmp=r00; r00=r11/det; r11=tmp/det; r01=-r01/det;
1265  
1266   Double_t k00=fC00*r00+fC10*r01, k01=fC00*r01+fC10*r11;
1267   Double_t k10=fC10*r00+fC11*r01, k11=fC10*r01+fC11*r11;
1268   Double_t k20=fC20*r00+fC21*r01, k21=fC20*r01+fC21*r11;
1269   Double_t k30=fC30*r00+fC31*r01, k31=fC30*r01+fC31*r11;
1270   Double_t k40=fC40*r00+fC41*r01, k41=fC40*r01+fC41*r11;
1271
1272   Double_t dy=p[0] - fP0, dz=p[1] - fP1;
1273   Double_t sf=fP2 + k20*dy + k21*dz;
1274   if (TMath::Abs(sf) > kAlmost1) return kFALSE;  
1275   
1276   fP0 += k00*dy + k01*dz;
1277   fP1 += k10*dy + k11*dz;
1278   fP2  = sf;
1279   fP3 += k30*dy + k31*dz;
1280   fP4 += k40*dy + k41*dz;
1281   
1282   Double_t c01=fC10, c02=fC20, c03=fC30, c04=fC40;
1283   Double_t c12=fC21, c13=fC31, c14=fC41;
1284
1285   fC00-=k00*fC00+k01*fC10; fC10-=k00*c01+k01*fC11;
1286   fC20-=k00*c02+k01*c12;   fC30-=k00*c03+k01*c13;
1287   fC40-=k00*c04+k01*c14; 
1288
1289   fC11-=k10*c01+k11*fC11;
1290   fC21-=k10*c02+k11*c12;   fC31-=k10*c03+k11*c13;
1291   fC41-=k10*c04+k11*c14; 
1292
1293   fC22-=k20*c02+k21*c12;   fC32-=k20*c03+k21*c13;
1294   fC42-=k20*c04+k21*c14; 
1295
1296   fC33-=k30*c03+k31*c13;
1297   fC43-=k30*c04+k31*c14; 
1298   
1299   fC44-=k40*c04+k41*c14; 
1300
1301   CheckCovariance();
1302
1303   return kTRUE;
1304 }
1305
1306 void 
1307 AliExternalTrackParam::GetHelixParameters(Double_t hlx[6], Double_t b) const {
1308   //--------------------------------------------------------------------
1309   // External track parameters -> helix parameters 
1310   // "b" - magnetic field (kG)
1311   //--------------------------------------------------------------------
1312   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
1313   
1314   hlx[0]=fP[0]; hlx[1]=fP[1]; hlx[2]=fP[2]; hlx[3]=fP[3];
1315
1316   hlx[5]=fX*cs - hlx[0]*sn;               // x0
1317   hlx[0]=fX*sn + hlx[0]*cs;               // y0
1318 //hlx[1]=                                 // z0
1319   hlx[2]=TMath::ASin(hlx[2]) + fAlpha;    // phi0
1320 //hlx[3]=                                 // tgl
1321   hlx[4]=GetC(b);                         // C
1322 }
1323
1324
1325 static void Evaluate(const Double_t *h, Double_t t,
1326                      Double_t r[3],  //radius vector
1327                      Double_t g[3],  //first defivatives
1328                      Double_t gg[3]) //second derivatives
1329 {
1330   //--------------------------------------------------------------------
1331   // Calculate position of a point on a track and some derivatives
1332   //--------------------------------------------------------------------
1333   Double_t phase=h[4]*t+h[2];
1334   Double_t sn=TMath::Sin(phase), cs=TMath::Cos(phase);
1335
1336   r[0] = h[5];
1337   r[1] = h[0];
1338   if (TMath::Abs(h[4])>kAlmost0) {
1339      r[0] += (sn - h[6])/h[4];
1340      r[1] -= (cs - h[7])/h[4];  
1341   }
1342   r[2] = h[1] + h[3]*t;
1343
1344   g[0] = cs; g[1]=sn; g[2]=h[3];
1345   
1346   gg[0]=-h[4]*sn; gg[1]=h[4]*cs; gg[2]=0.;
1347 }
1348
1349 Double_t AliExternalTrackParam::GetDCA(const AliExternalTrackParam *p, 
1350 Double_t b, Double_t &xthis, Double_t &xp) const {
1351   //------------------------------------------------------------
1352   // Returns the (weighed !) distance of closest approach between 
1353   // this track and the track "p".
1354   // Other returned values:
1355   //   xthis, xt - coordinates of tracks' reference planes at the DCA 
1356   //-----------------------------------------------------------
1357   Double_t dy2=GetSigmaY2() + p->GetSigmaY2();
1358   Double_t dz2=GetSigmaZ2() + p->GetSigmaZ2();
1359   Double_t dx2=dy2; 
1360
1361   Double_t p1[8]; GetHelixParameters(p1,b);
1362   p1[6]=TMath::Sin(p1[2]); p1[7]=TMath::Cos(p1[2]);
1363   Double_t p2[8]; p->GetHelixParameters(p2,b);
1364   p2[6]=TMath::Sin(p2[2]); p2[7]=TMath::Cos(p2[2]);
1365
1366
1367   Double_t r1[3],g1[3],gg1[3]; Double_t t1=0.;
1368   Evaluate(p1,t1,r1,g1,gg1);
1369   Double_t r2[3],g2[3],gg2[3]; Double_t t2=0.;
1370   Evaluate(p2,t2,r2,g2,gg2);
1371
1372   Double_t dx=r2[0]-r1[0], dy=r2[1]-r1[1], dz=r2[2]-r1[2];
1373   Double_t dm=dx*dx/dx2 + dy*dy/dy2 + dz*dz/dz2;
1374
1375   Int_t max=27;
1376   while (max--) {
1377      Double_t gt1=-(dx*g1[0]/dx2 + dy*g1[1]/dy2 + dz*g1[2]/dz2);
1378      Double_t gt2=+(dx*g2[0]/dx2 + dy*g2[1]/dy2 + dz*g2[2]/dz2);
1379      Double_t h11=(g1[0]*g1[0] - dx*gg1[0])/dx2 + 
1380                   (g1[1]*g1[1] - dy*gg1[1])/dy2 +
1381                   (g1[2]*g1[2] - dz*gg1[2])/dz2;
1382      Double_t h22=(g2[0]*g2[0] + dx*gg2[0])/dx2 + 
1383                   (g2[1]*g2[1] + dy*gg2[1])/dy2 +
1384                   (g2[2]*g2[2] + dz*gg2[2])/dz2;
1385      Double_t h12=-(g1[0]*g2[0]/dx2 + g1[1]*g2[1]/dy2 + g1[2]*g2[2]/dz2);
1386
1387      Double_t det=h11*h22-h12*h12;
1388
1389      Double_t dt1,dt2;
1390      if (TMath::Abs(det)<1.e-33) {
1391         //(quasi)singular Hessian
1392         dt1=-gt1; dt2=-gt2;
1393      } else {
1394         dt1=-(gt1*h22 - gt2*h12)/det; 
1395         dt2=-(h11*gt2 - h12*gt1)/det;
1396      }
1397
1398      if ((dt1*gt1+dt2*gt2)>0) {dt1=-dt1; dt2=-dt2;}
1399
1400      //check delta(phase1) ?
1401      //check delta(phase2) ?
1402
1403      if (TMath::Abs(dt1)/(TMath::Abs(t1)+1.e-3) < 1.e-4)
1404      if (TMath::Abs(dt2)/(TMath::Abs(t2)+1.e-3) < 1.e-4) {
1405         if ((gt1*gt1+gt2*gt2) > 1.e-4/dy2/dy2) 
1406           AliDebug(1," stopped at not a stationary point !");
1407         Double_t lmb=h11+h22; lmb=lmb-TMath::Sqrt(lmb*lmb-4*det);
1408         if (lmb < 0.) 
1409           AliDebug(1," stopped at not a minimum !");
1410         break;
1411      }
1412
1413      Double_t dd=dm;
1414      for (Int_t div=1 ; ; div*=2) {
1415         Evaluate(p1,t1+dt1,r1,g1,gg1);
1416         Evaluate(p2,t2+dt2,r2,g2,gg2);
1417         dx=r2[0]-r1[0]; dy=r2[1]-r1[1]; dz=r2[2]-r1[2];
1418         dd=dx*dx/dx2 + dy*dy/dy2 + dz*dz/dz2;
1419         if (dd<dm) break;
1420         dt1*=0.5; dt2*=0.5;
1421         if (div>512) {
1422           AliDebug(1," overshoot !"); break;
1423         }   
1424      }
1425      dm=dd;
1426
1427      t1+=dt1;
1428      t2+=dt2;
1429
1430   }
1431
1432   if (max<=0) AliDebug(1," too many iterations !");
1433
1434   Double_t cs=TMath::Cos(GetAlpha());
1435   Double_t sn=TMath::Sin(GetAlpha());
1436   xthis=r1[0]*cs + r1[1]*sn;
1437
1438   cs=TMath::Cos(p->GetAlpha());
1439   sn=TMath::Sin(p->GetAlpha());
1440   xp=r2[0]*cs + r2[1]*sn;
1441
1442   return TMath::Sqrt(dm*TMath::Sqrt(dy2*dz2));
1443 }
1444  
1445 Double_t AliExternalTrackParam::
1446 PropagateToDCA(AliExternalTrackParam *p, Double_t b) {
1447   //--------------------------------------------------------------
1448   // Propagates this track and the argument track to the position of the
1449   // distance of closest approach.
1450   // Returns the (weighed !) distance of closest approach.
1451   //--------------------------------------------------------------
1452   Double_t xthis,xp;
1453   Double_t dca=GetDCA(p,b,xthis,xp);
1454
1455   if (!PropagateTo(xthis,b)) {
1456     //AliWarning(" propagation failed !");
1457     return 1e+33;
1458   }
1459
1460   if (!p->PropagateTo(xp,b)) {
1461     //AliWarning(" propagation failed !";
1462     return 1e+33;
1463   }
1464
1465   return dca;
1466 }
1467
1468
1469 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateToDCA(const AliVVertex *vtx, 
1470 Double_t b, Double_t maxd, Double_t dz[2], Double_t covar[3]) {
1471   //
1472   // Propagate this track to the DCA to vertex "vtx", 
1473   // if the (rough) transverse impact parameter is not bigger then "maxd". 
1474   //            Magnetic field is "b" (kG).
1475   //
1476   // a) The track gets extapolated to the DCA to the vertex.
1477   // b) The impact parameters and their covariance matrix are calculated.
1478   //
1479   //    In the case of success, the returned value is kTRUE
1480   //    (otherwise, it's kFALSE)
1481   //  
1482   Double_t alpha=GetAlpha();
1483   Double_t sn=TMath::Sin(alpha), cs=TMath::Cos(alpha);
1484   Double_t x=GetX(), y=GetParameter()[0], snp=GetParameter()[2];
1485   Double_t xv= vtx->GetX()*cs + vtx->GetY()*sn;
1486   Double_t yv=-vtx->GetX()*sn + vtx->GetY()*cs, zv=vtx->GetZ();
1487   x-=xv; y-=yv;
1488
1489   //Estimate the impact parameter neglecting the track curvature
1490   Double_t d=TMath::Abs(x*snp - y*TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1491   if (d > maxd) return kFALSE; 
1492
1493   //Propagate to the DCA
1494   Double_t crv=GetC(b);
1495   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
1496
1497   Double_t tgfv=-(crv*x - snp)/(crv*y + TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1498   sn=tgfv/TMath::Sqrt(1.+ tgfv*tgfv); cs=TMath::Sqrt((1.-sn)*(1.+sn));
1499   if (TMath::Abs(tgfv)>0.) cs = sn/tgfv;
1500   else cs=1.;
1501
1502   x = xv*cs + yv*sn;
1503   yv=-xv*sn + yv*cs; xv=x;
1504
1505   if (!Propagate(alpha+TMath::ASin(sn),xv,b)) return kFALSE;
1506
1507   if (dz==0) return kTRUE;
1508   dz[0] = GetParameter()[0] - yv;
1509   dz[1] = GetParameter()[1] - zv;
1510   
1511   if (covar==0) return kTRUE;
1512   Double_t cov[6]; vtx->GetCovarianceMatrix(cov);
1513
1514   //***** Improvements by A.Dainese
1515   alpha=GetAlpha(); sn=TMath::Sin(alpha); cs=TMath::Cos(alpha);
1516   Double_t s2ylocvtx = cov[0]*sn*sn + cov[2]*cs*cs - 2.*cov[1]*cs*sn;
1517   covar[0] = GetCovariance()[0] + s2ylocvtx;   // neglecting correlations
1518   covar[1] = GetCovariance()[1];               // between (x,y) and z
1519   covar[2] = GetCovariance()[2] + cov[5];      // in vertex's covariance matrix
1520   //*****
1521
1522   return kTRUE;
1523 }
1524
1525 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateToDCABxByBz(const AliVVertex *vtx, 
1526 Double_t b[3], Double_t maxd, Double_t dz[2], Double_t covar[3]) {
1527   //
1528   // Propagate this track to the DCA to vertex "vtx", 
1529   // if the (rough) transverse impact parameter is not bigger then "maxd". 
1530   //
1531   // This function takes into account all three components of the magnetic
1532   // field given by the b[3] arument (kG)
1533   //
1534   // a) The track gets extapolated to the DCA to the vertex.
1535   // b) The impact parameters and their covariance matrix are calculated.
1536   //
1537   //    In the case of success, the returned value is kTRUE
1538   //    (otherwise, it's kFALSE)
1539   //  
1540   Double_t alpha=GetAlpha();
1541   Double_t sn=TMath::Sin(alpha), cs=TMath::Cos(alpha);
1542   Double_t x=GetX(), y=GetParameter()[0], snp=GetParameter()[2];
1543   Double_t xv= vtx->GetX()*cs + vtx->GetY()*sn;
1544   Double_t yv=-vtx->GetX()*sn + vtx->GetY()*cs, zv=vtx->GetZ();
1545   x-=xv; y-=yv;
1546
1547   //Estimate the impact parameter neglecting the track curvature
1548   Double_t d=TMath::Abs(x*snp - y*TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1549   if (d > maxd) return kFALSE; 
1550
1551   //Propagate to the DCA
1552   Double_t crv=GetC(b[2]);
1553   if (TMath::Abs(b[2]) < kAlmost0Field) crv=0.;
1554
1555   Double_t tgfv=-(crv*x - snp)/(crv*y + TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1556   sn=tgfv/TMath::Sqrt(1.+ tgfv*tgfv); cs=TMath::Sqrt((1.-sn)*(1.+sn));
1557   if (TMath::Abs(tgfv)>0.) cs = sn/tgfv;
1558   else cs=1.;
1559
1560   x = xv*cs + yv*sn;
1561   yv=-xv*sn + yv*cs; xv=x;
1562
1563   if (!PropagateBxByBz(alpha+TMath::ASin(sn),xv,b)) return kFALSE;
1564
1565   if (dz==0) return kTRUE;
1566   dz[0] = GetParameter()[0] - yv;
1567   dz[1] = GetParameter()[1] - zv;
1568   
1569   if (covar==0) return kTRUE;
1570   Double_t cov[6]; vtx->GetCovarianceMatrix(cov);
1571
1572   //***** Improvements by A.Dainese
1573   alpha=GetAlpha(); sn=TMath::Sin(alpha); cs=TMath::Cos(alpha);
1574   Double_t s2ylocvtx = cov[0]*sn*sn + cov[2]*cs*cs - 2.*cov[1]*cs*sn;
1575   covar[0] = GetCovariance()[0] + s2ylocvtx;   // neglecting correlations
1576   covar[1] = GetCovariance()[1];               // between (x,y) and z
1577   covar[2] = GetCovariance()[2] + cov[5];      // in vertex's covariance matrix
1578   //*****
1579
1580   return kTRUE;
1581 }
1582
1583 void AliExternalTrackParam::GetDirection(Double_t d[3]) const {
1584   //----------------------------------------------------------------
1585   // This function returns a unit vector along the track direction
1586   // in the global coordinate system.
1587   //----------------------------------------------------------------
1588   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
1589   Double_t snp=fP[2];
1590   Double_t csp =TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp));
1591   Double_t norm=TMath::Sqrt(1.+ fP[3]*fP[3]);
1592   d[0]=(csp*cs - snp*sn)/norm; 
1593   d[1]=(snp*cs + csp*sn)/norm; 
1594   d[2]=fP[3]/norm;
1595 }
1596
1597 Bool_t AliExternalTrackParam::GetPxPyPz(Double_t p[3]) const {
1598   //---------------------------------------------------------------------
1599   // This function returns the global track momentum components
1600   // Results for (nearly) straight tracks are meaningless !
1601   //---------------------------------------------------------------------
1602   p[0]=fP[4]; p[1]=fP[2]; p[2]=fP[3];
1603   return Local2GlobalMomentum(p,fAlpha);
1604 }
1605
1606 Double_t AliExternalTrackParam::Px() const {
1607   //---------------------------------------------------------------------
1608   // Returns x-component of momentum
1609   // Result for (nearly) straight tracks is meaningless !
1610   //---------------------------------------------------------------------
1611
1612   Double_t p[3]={kVeryBig,kVeryBig,kVeryBig};
1613   GetPxPyPz(p);
1614
1615   return p[0];
1616 }
1617
1618 Double_t AliExternalTrackParam::Py() const {
1619   //---------------------------------------------------------------------
1620   // Returns y-component of momentum
1621   // Result for (nearly) straight tracks is meaningless !
1622   //---------------------------------------------------------------------
1623
1624   Double_t p[3]={kVeryBig,kVeryBig,kVeryBig};
1625   GetPxPyPz(p);
1626
1627   return p[1];
1628 }
1629
1630 Double_t AliExternalTrackParam::Xv() const {
1631   //---------------------------------------------------------------------
1632   // Returns x-component of first track point
1633   //---------------------------------------------------------------------
1634
1635   Double_t r[3]={0.,0.,0.};
1636   GetXYZ(r);
1637
1638   return r[0];
1639 }
1640
1641 Double_t AliExternalTrackParam::Yv() const {
1642   //---------------------------------------------------------------------
1643   // Returns y-component of first track point
1644   //---------------------------------------------------------------------
1645
1646   Double_t r[3]={0.,0.,0.};
1647   GetXYZ(r);
1648
1649   return r[1];
1650 }
1651
1652 Double_t AliExternalTrackParam::Theta() const {
1653   // return theta angle of momentum
1654
1655   return 0.5*TMath::Pi() - TMath::ATan(fP[3]);
1656 }
1657
1658 Double_t AliExternalTrackParam::Phi() const {
1659   //---------------------------------------------------------------------
1660   // Returns the azimuthal angle of momentum
1661   // 0 <= phi < 2*pi
1662   //---------------------------------------------------------------------
1663
1664   Double_t phi=TMath::ASin(fP[2]) + fAlpha;
1665   if (phi<0.) phi+=2.*TMath::Pi();
1666   else if (phi>=2.*TMath::Pi()) phi-=2.*TMath::Pi();
1667  
1668   return phi;
1669 }
1670
1671 Double_t AliExternalTrackParam::M() const {
1672   // return particle mass
1673
1674   // No mass information available so far.
1675   // Redifine in derived class!
1676
1677   return -999.;
1678 }
1679
1680 Double_t AliExternalTrackParam::E() const {
1681   // return particle energy
1682
1683   // No PID information available so far.
1684   // Redifine in derived class!
1685
1686   return -999.;
1687 }
1688
1689 Double_t AliExternalTrackParam::Eta() const { 
1690   // return pseudorapidity
1691
1692   return -TMath::Log(TMath::Tan(0.5 * Theta())); 
1693 }
1694
1695 Double_t AliExternalTrackParam::Y() const {
1696   // return rapidity
1697
1698   // No PID information available so far.
1699   // Redifine in derived class!
1700
1701   return -999.;
1702 }
1703
1704 Bool_t AliExternalTrackParam::GetXYZ(Double_t *r) const {
1705   //---------------------------------------------------------------------
1706   // This function returns the global track position
1707   //---------------------------------------------------------------------
1708   r[0]=fX; r[1]=fP[0]; r[2]=fP[1];
1709   return Local2GlobalPosition(r,fAlpha);
1710 }
1711
1712 Bool_t AliExternalTrackParam::GetCovarianceXYZPxPyPz(Double_t cv[21]) const {
1713   //---------------------------------------------------------------------
1714   // This function returns the global covariance matrix of the track params
1715   // 
1716   // Cov(x,x) ... :   cv[0]
1717   // Cov(y,x) ... :   cv[1]  cv[2]
1718   // Cov(z,x) ... :   cv[3]  cv[4]  cv[5]
1719   // Cov(px,x)... :   cv[6]  cv[7]  cv[8]  cv[9]
1720   // Cov(py,x)... :   cv[10] cv[11] cv[12] cv[13] cv[14]
1721   // Cov(pz,x)... :   cv[15] cv[16] cv[17] cv[18] cv[19] cv[20]
1722   //
1723   // Results for (nearly) straight tracks are meaningless !
1724   //---------------------------------------------------------------------
1725   if (TMath::Abs(fP[4])<=kAlmost0) {
1726      for (Int_t i=0; i<21; i++) cv[i]=0.;
1727      return kFALSE;
1728   }
1729   if (TMath::Abs(fP[2]) > kAlmost1) {
1730      for (Int_t i=0; i<21; i++) cv[i]=0.;
1731      return kFALSE;
1732   }
1733   Double_t pt=1./TMath::Abs(fP[4]);
1734   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
1735   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2]));
1736
1737   Double_t m00=-sn, m10=cs;
1738   Double_t m23=-pt*(sn + fP[2]*cs/r), m43=-pt*pt*(r*cs - fP[2]*sn);
1739   Double_t m24= pt*(cs - fP[2]*sn/r), m44=-pt*pt*(r*sn + fP[2]*cs);
1740   Double_t m35=pt, m45=-pt*pt*fP[3];
1741
1742   m43*=GetSign();
1743   m44*=GetSign();
1744   m45*=GetSign();
1745
1746   cv[0 ] = fC[0]*m00*m00;
1747   cv[1 ] = fC[0]*m00*m10; 
1748   cv[2 ] = fC[0]*m10*m10;
1749   cv[3 ] = fC[1]*m00; 
1750   cv[4 ] = fC[1]*m10; 
1751   cv[5 ] = fC[2];
1752   cv[6 ] = m00*(fC[3]*m23 + fC[10]*m43); 
1753   cv[7 ] = m10*(fC[3]*m23 + fC[10]*m43); 
1754   cv[8 ] = fC[4]*m23 + fC[11]*m43; 
1755   cv[9 ] = m23*(fC[5]*m23 + fC[12]*m43)  +  m43*(fC[12]*m23 + fC[14]*m43);
1756   cv[10] = m00*(fC[3]*m24 + fC[10]*m44); 
1757   cv[11] = m10*(fC[3]*m24 + fC[10]*m44); 
1758   cv[12] = fC[4]*m24 + fC[11]*m44; 
1759   cv[13] = m23*(fC[5]*m24 + fC[12]*m44)  +  m43*(fC[12]*m24 + fC[14]*m44);
1760   cv[14] = m24*(fC[5]*m24 + fC[12]*m44)  +  m44*(fC[12]*m24 + fC[14]*m44);
1761   cv[15] = m00*(fC[6]*m35 + fC[10]*m45); 
1762   cv[16] = m10*(fC[6]*m35 + fC[10]*m45); 
1763   cv[17] = fC[7]*m35 + fC[11]*m45; 
1764   cv[18] = m23*(fC[8]*m35 + fC[12]*m45)  +  m43*(fC[13]*m35 + fC[14]*m45);
1765   cv[19] = m24*(fC[8]*m35 + fC[12]*m45)  +  m44*(fC[13]*m35 + fC[14]*m45); 
1766   cv[20] = m35*(fC[9]*m35 + fC[13]*m45)  +  m45*(fC[13]*m35 + fC[14]*m45);
1767
1768   return kTRUE;
1769 }
1770
1771
1772 Bool_t 
1773 AliExternalTrackParam::GetPxPyPzAt(Double_t x, Double_t b, Double_t *p) const {
1774   //---------------------------------------------------------------------
1775   // This function returns the global track momentum extrapolated to
1776   // the radial position "x" (cm) in the magnetic field "b" (kG)
1777   //---------------------------------------------------------------------
1778   p[0]=fP[4]; 
1779   p[1]=fP[2]+(x-fX)*GetC(b); 
1780   p[2]=fP[3];
1781   return Local2GlobalMomentum(p,fAlpha);
1782 }
1783
1784 Bool_t 
1785 AliExternalTrackParam::GetYAt(Double_t x, Double_t b, Double_t &y) const {
1786   //---------------------------------------------------------------------
1787   // This function returns the local Y-coordinate of the intersection 
1788   // point between this track and the reference plane "x" (cm). 
1789   // Magnetic field "b" (kG)
1790   //---------------------------------------------------------------------
1791   Double_t dx=x-fX;
1792   if(TMath::Abs(dx)<=kAlmost0) {y=fP[0]; return kTRUE;}
1793
1794   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + dx*GetC(b);
1795
1796   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1797   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1798   
1799   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1800   y = fP[0] + dx*(f1+f2)/(r1+r2);
1801   return kTRUE;
1802 }
1803
1804 Bool_t 
1805 AliExternalTrackParam::GetZAt(Double_t x, Double_t b, Double_t &z) const {
1806   //---------------------------------------------------------------------
1807   // This function returns the local Z-coordinate of the intersection 
1808   // point between this track and the reference plane "x" (cm). 
1809   // Magnetic field "b" (kG)
1810   //---------------------------------------------------------------------
1811   Double_t dx=x-fX;
1812   if(TMath::Abs(dx)<=kAlmost0) {z=fP[1]; return kTRUE;}
1813
1814   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + dx*GetC(b);
1815
1816   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1817   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1818   
1819   Double_t r1=sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1820   z = fP[1] + dx*(r2 + f2*(f1+f2)/(r1+r2))*fP[3]; // Many thanks to P.Hristov !
1821   return kTRUE;
1822 }
1823
1824 Bool_t 
1825 AliExternalTrackParam::GetXYZAt(Double_t x, Double_t b, Double_t *r) const {
1826   //---------------------------------------------------------------------
1827   // This function returns the global track position extrapolated to
1828   // the radial position "x" (cm) in the magnetic field "b" (kG)
1829   //---------------------------------------------------------------------
1830   Double_t dx=x-fX;
1831   if(TMath::Abs(dx)<=kAlmost0) return GetXYZ(r);
1832
1833   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + dx*GetC(b);
1834
1835   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1836   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1837   
1838   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1839   r[0] = x;
1840   r[1] = fP[0] + dx*(f1+f2)/(r1+r2);
1841   r[2] = fP[1] + dx*(r2 + f2*(f1+f2)/(r1+r2))*fP[3];//Thanks to Andrea & Peter
1842
1843   return Local2GlobalPosition(r,fAlpha);
1844 }
1845
1846 //_____________________________________________________________________________
1847 void AliExternalTrackParam::Print(Option_t* /*option*/) const
1848 {
1849 // print the parameters and the covariance matrix
1850
1851   printf("AliExternalTrackParam: x = %-12g  alpha = %-12g\n", fX, fAlpha);
1852   printf("  parameters: %12g %12g %12g %12g %12g\n",
1853          fP[0], fP[1], fP[2], fP[3], fP[4]);
1854   printf("  covariance: %12g\n", fC[0]);
1855   printf("              %12g %12g\n", fC[1], fC[2]);
1856   printf("              %12g %12g %12g\n", fC[3], fC[4], fC[5]);
1857   printf("              %12g %12g %12g %12g\n", 
1858          fC[6], fC[7], fC[8], fC[9]);
1859   printf("              %12g %12g %12g %12g %12g\n", 
1860          fC[10], fC[11], fC[12], fC[13], fC[14]);
1861 }
1862
1863 Double_t AliExternalTrackParam::GetSnpAt(Double_t x,Double_t b) const {
1864   //
1865   // Get sinus at given x
1866   //
1867   Double_t crv=GetC(b);
1868   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
1869   Double_t dx = x-fX;
1870   Double_t res = fP[2]+dx*crv;
1871   return res;
1872 }
1873
1874 Bool_t AliExternalTrackParam::GetDistance(AliExternalTrackParam *param2, Double_t x, Double_t dist[3], Double_t bz){
1875   //------------------------------------------------------------------------
1876   // Get the distance between two tracks at the local position x 
1877   // working in the local frame of this track.
1878   // Origin :   Marian.Ivanov@cern.ch
1879   //-----------------------------------------------------------------------
1880   Double_t xyz[3];
1881   Double_t xyz2[3];
1882   xyz[0]=x;
1883   if (!GetYAt(x,bz,xyz[1])) return kFALSE;
1884   if (!GetZAt(x,bz,xyz[2])) return kFALSE;
1885   //  
1886   //
1887   if (TMath::Abs(GetAlpha()-param2->GetAlpha())<kAlmost0){
1888     xyz2[0]=x;
1889     if (!param2->GetYAt(x,bz,xyz2[1])) return kFALSE;
1890     if (!param2->GetZAt(x,bz,xyz2[2])) return kFALSE;
1891   }else{
1892     //
1893     Double_t xyz1[3];
1894     Double_t dfi = param2->GetAlpha()-GetAlpha();
1895     Double_t ca = TMath::Cos(dfi), sa = TMath::Sin(dfi);
1896     xyz2[0] =  xyz[0]*ca+xyz[1]*sa;
1897     xyz2[1] = -xyz[0]*sa+xyz[1]*ca;
1898     //
1899     xyz1[0]=xyz2[0];
1900     if (!param2->GetYAt(xyz2[0],bz,xyz1[1])) return kFALSE;
1901     if (!param2->GetZAt(xyz2[0],bz,xyz1[2])) return kFALSE;
1902     //
1903     xyz2[0] =  xyz1[0]*ca-xyz1[1]*sa;
1904     xyz2[1] = +xyz1[0]*sa+xyz1[1]*ca;
1905     xyz2[2] = xyz1[2];
1906   }
1907   dist[0] = xyz[0]-xyz2[0];
1908   dist[1] = xyz[1]-xyz2[1];
1909   dist[2] = xyz[2]-xyz2[2];
1910
1911   return kTRUE;
1912 }
1913
1914
1915 //
1916 // Draw functionality.
1917 // Origin: Marian Ivanov, Marian.Ivanov@cern.ch
1918 //
1919
1920 void  AliExternalTrackParam::DrawTrack(Float_t magf, Float_t minR, Float_t maxR, Float_t stepR){
1921   //
1922   // Draw track line
1923   //
1924   if (minR>maxR) return ;
1925   if (stepR<=0) return ;
1926   Int_t npoints = TMath::Nint((maxR-minR)/stepR)+1;
1927   if (npoints<1) return;
1928   TPolyMarker3D *polymarker = new TPolyMarker3D(npoints);
1929   FillPolymarker(polymarker, magf,minR,maxR,stepR);
1930   polymarker->Draw();
1931 }
1932
1933 //
1934 void AliExternalTrackParam::FillPolymarker(TPolyMarker3D *pol, Float_t magF, Float_t minR, Float_t maxR, Float_t stepR){
1935   //
1936   // Fill points in the polymarker
1937   //
1938   Int_t counter=0;
1939   for (Double_t r=minR; r<maxR; r+=stepR){
1940     Double_t point[3];
1941     GetXYZAt(r,magF,point);
1942     pol->SetPoint(counter,point[0],point[1], point[2]);
1943     //    printf("xyz\t%f\t%f\t%f\n",point[0], point[1],point[2]);
1944     counter++;
1945   }
1946 }
1947
1948 Int_t AliExternalTrackParam::GetIndex(Int_t i, Int_t j) const {
1949   //
1950   Int_t min = TMath::Min(i,j);
1951   Int_t max = TMath::Max(i,j);
1952
1953   return min+(max+1)*max/2;
1954 }
1955
1956
1957 void AliExternalTrackParam::g3helx3(Double_t qfield, 
1958                                     Double_t step,
1959                                     Double_t vect[7]) {
1960 /******************************************************************
1961  *                                                                *
1962  *       GEANT3 tracking routine in a constant field oriented     *
1963  *       along axis 3                                             *
1964  *       Tracking is performed with a conventional                *
1965  *       helix step method                                        *
1966  *                                                                *
1967  *       Authors    R.Brun, M.Hansroul  *********                 *
1968  *       Rewritten  V.Perevoztchikov                              *
1969  *                                                                *
1970  *       Rewritten in C++ by I.Belikov                            *
1971  *                                                                *
1972  *  qfield (kG)       - particle charge times magnetic field      *
1973  *  step   (cm)       - step length along the helix               *
1974  *  vect[7](cm,GeV/c) - input/output x, y, z, px/p, py/p ,pz/p, p *
1975  *                                                                *
1976  ******************************************************************/
1977   const Int_t ix=0, iy=1, iz=2, ipx=3, ipy=4, ipz=5, ipp=6;
1978   const Double_t kOvSqSix=TMath::Sqrt(1./6.);
1979
1980   Double_t cosx=vect[ipx], cosy=vect[ipy], cosz=vect[ipz];
1981
1982   Double_t rho = qfield*kB2C/vect[ipp]; 
1983   Double_t tet = rho*step;
1984
1985   Double_t tsint, sintt, sint, cos1t; 
1986   if (TMath::Abs(tet) > 0.03) {
1987      sint  = TMath::Sin(tet);
1988      sintt = sint/tet;
1989      tsint = (tet - sint)/tet;
1990      Double_t t=TMath::Sin(0.5*tet);
1991      cos1t = 2*t*t/tet;
1992   } else {
1993      tsint = tet*tet/6.;
1994      sintt = (1.-tet*kOvSqSix)*(1.+tet*kOvSqSix); // 1.- tsint;
1995      sint  = tet*sintt;
1996      cos1t = 0.5*tet; 
1997   }
1998
1999   Double_t f1 = step*sintt;
2000   Double_t f2 = step*cos1t;
2001   Double_t f3 = step*tsint*cosz;
2002   Double_t f4 = -tet*cos1t;
2003   Double_t f5 = sint;
2004
2005   vect[ix]  += f1*cosx - f2*cosy;
2006   vect[iy]  += f1*cosy + f2*cosx;
2007   vect[iz]  += f1*cosz + f3;
2008
2009   vect[ipx] += f4*cosx - f5*cosy;
2010   vect[ipy] += f4*cosy + f5*cosx;  
2011
2012 }
2013
2014 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateToBxByBz(Double_t xk, const Double_t b[3]) {
2015   //----------------------------------------------------------------
2016   // Extrapolate this track to the plane X=xk in the field b[].
2017   //
2018   // X [cm] is in the "tracking coordinate system" of this track.
2019   // b[]={Bx,By,Bz} [kG] is in the Global coordidate system.
2020   //----------------------------------------------------------------
2021
2022   Double_t dx=xk-fX;
2023   if (TMath::Abs(dx)<=kAlmost0)  return kTRUE;
2024   if (TMath::Abs(fP[4])<=kAlmost0) return kFALSE;
2025   // Do not propagate tracks outside the ALICE detector
2026   if (TMath::Abs(dx)>1e5 ||
2027       TMath::Abs(GetY())>1e5 ||
2028       TMath::Abs(GetZ())>1e5) {
2029     AliWarning(Form("Anomalous track, target X:%f",xk));
2030     Print();
2031     return kFALSE;
2032   }
2033
2034   Double_t crv=GetC(b[2]);
2035   if (TMath::Abs(b[2]) < kAlmost0Field) crv=0.;
2036
2037   Double_t x2r = crv*dx;
2038   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + x2r;
2039   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
2040   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
2041
2042
2043   // Estimate the covariance matrix  
2044   Double_t &fP3=fP[3], &fP4=fP[4];
2045   Double_t 
2046   &fC00=fC[0],
2047   &fC10=fC[1],   &fC11=fC[2],  
2048   &fC20=fC[3],   &fC21=fC[4],   &fC22=fC[5],
2049   &fC30=fC[6],   &fC31=fC[7],   &fC32=fC[8],   &fC33=fC[9],  
2050   &fC40=fC[10],  &fC41=fC[11],  &fC42=fC[12],  &fC43=fC[13], &fC44=fC[14];
2051
2052   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
2053
2054   //f = F - 1
2055   /*
2056   Double_t f02=    dx/(r1*r1*r1);            Double_t cc=crv/fP4;
2057   Double_t f04=0.5*dx*dx/(r1*r1*r1);         f04*=cc;
2058   Double_t f12=    dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);
2059   Double_t f14=0.5*dx*dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);  f14*=cc;
2060   Double_t f13=    dx/r1;
2061   Double_t f24=    dx;                       f24*=cc;
2062   */
2063   Double_t rinv = 1./r1;
2064   Double_t r3inv = rinv*rinv*rinv;
2065   Double_t f24=    x2r/fP4;
2066   Double_t f02=    dx*r3inv;
2067   Double_t f04=0.5*f24*f02;
2068   Double_t f12=    f02*fP3*f1;
2069   Double_t f14=0.5*f24*f02*fP3*f1;
2070   Double_t f13=    dx*rinv;
2071  
2072   //b = C*ft
2073   Double_t b00=f02*fC20 + f04*fC40, b01=f12*fC20 + f14*fC40 + f13*fC30;
2074   Double_t b02=f24*fC40;
2075   Double_t b10=f02*fC21 + f04*fC41, b11=f12*fC21 + f14*fC41 + f13*fC31;
2076   Double_t b12=f24*fC41;
2077   Double_t b20=f02*fC22 + f04*fC42, b21=f12*fC22 + f14*fC42 + f13*fC32;
2078   Double_t b22=f24*fC42;
2079   Double_t b40=f02*fC42 + f04*fC44, b41=f12*fC42 + f14*fC44 + f13*fC43;
2080   Double_t b42=f24*fC44;
2081   Double_t b30=f02*fC32 + f04*fC43, b31=f12*fC32 + f14*fC43 + f13*fC33;
2082   Double_t b32=f24*fC43;
2083   
2084   //a = f*b = f*C*ft
2085   Double_t a00=f02*b20+f04*b40,a01=f02*b21+f04*b41,a02=f02*b22+f04*b42;
2086   Double_t a11=f12*b21+f14*b41+f13*b31,a12=f12*b22+f14*b42+f13*b32;
2087   Double_t a22=f24*b42;
2088
2089   //F*C*Ft = C + (b + bt + a)
2090   fC00 += b00 + b00 + a00;
2091   fC10 += b10 + b01 + a01; 
2092   fC20 += b20 + b02 + a02;
2093   fC30 += b30;
2094   fC40 += b40;
2095   fC11 += b11 + b11 + a11;
2096   fC21 += b21 + b12 + a12;
2097   fC31 += b31; 
2098   fC41 += b41;
2099   fC22 += b22 + b22 + a22;
2100   fC32 += b32;
2101   fC42 += b42;
2102
2103   CheckCovariance();
2104   
2105   // Appoximate step length
2106   double dy2dx = (f1+f2)/(r1+r2);
2107   Double_t step = (TMath::Abs(x2r)<0.05) ? dx*TMath::Abs(r2 + f2*dy2dx)  // chord
2108     : 2.*TMath::ASin(0.5*dx*TMath::Sqrt(1.+dy2dx*dy2dx)*crv)/crv;        // arc
2109   step *= TMath::Sqrt(1.+ GetTgl()*GetTgl());
2110
2111   // Get the track's (x,y,z) and (px,py,pz) in the Global System
2112   Double_t r[3]; GetXYZ(r);
2113   Double_t p[3]; GetPxPyPz(p);
2114   Double_t pp=GetP();
2115   p[0] /= pp;
2116   p[1] /= pp;
2117   p[2] /= pp;
2118
2119
2120   // Rotate to the system where Bx=By=0.
2121   Double_t bt=TMath::Sqrt(b[0]*b[0] + b[1]*b[1]);
2122   Double_t cosphi=1., sinphi=0.;
2123   if (bt > kAlmost0) {cosphi=b[0]/bt; sinphi=b[1]/bt;}
2124   Double_t bb=TMath::Sqrt(b[0]*b[0] + b[1]*b[1] + b[2]*b[2]);
2125   Double_t costet=1., sintet=0.;
2126   if (bb > kAlmost0) {costet=b[2]/bb; sintet=bt/bb;}
2127   Double_t vect[7];
2128
2129   vect[0] = costet*cosphi*r[0] + costet*sinphi*r[1] - sintet*r[2];
2130   vect[1] = -sinphi*r[0] + cosphi*r[1];
2131   vect[2] = sintet*cosphi*r[0] + sintet*sinphi*r[1] + costet*r[2];
2132
2133   vect[3] = costet*cosphi*p[0] + costet*sinphi*p[1] - sintet*p[2];
2134   vect[4] = -sinphi*p[0] + cosphi*p[1];
2135   vect[5] = sintet*cosphi*p[0] + sintet*sinphi*p[1] + costet*p[2];
2136
2137   vect[6] = pp;
2138
2139
2140   // Do the helix step
2141   g3helx3(GetSign()*bb,step,vect);
2142
2143
2144   // Rotate back to the Global System
2145   r[0] = cosphi*costet*vect[0] - sinphi*vect[1] + cosphi*sintet*vect[2];
2146   r[1] = sinphi*costet*vect[0] + cosphi*vect[1] + sinphi*sintet*vect[2];
2147   r[2] = -sintet*vect[0] + costet*vect[2];
2148
2149   p[0] = cosphi*costet*vect[3] - sinphi*vect[4] + cosphi*sintet*vect[5];
2150   p[1] = sinphi*costet*vect[3] + cosphi*vect[4] + sinphi*sintet*vect[5];
2151   p[2] = -sintet*vect[3] + costet*vect[5];
2152
2153
2154   // Rotate back to the Tracking System
2155   Double_t cosalp = TMath::Cos(fAlpha);
2156   Double_t sinalp =-TMath::Sin(fAlpha);
2157
2158   Double_t 
2159   t    = cosalp*r[0] - sinalp*r[1];
2160   r[1] = sinalp*r[0] + cosalp*r[1];  
2161   r[0] = t;
2162
2163   t    = cosalp*p[0] - sinalp*p[1]; 
2164   p[1] = sinalp*p[0] + cosalp*p[1];
2165   p[0] = t; 
2166
2167
2168   // Do the final correcting step to the target plane (linear approximation)
2169   Double_t x=r[0], y=r[1], z=r[2];
2170   if (TMath::Abs(dx) > kAlmost0) {
2171      if (TMath::Abs(p[0]) < kAlmost0) return kFALSE;
2172      dx = xk - r[0];
2173      x += dx;
2174      y += p[1]/p[0]*dx;
2175      z += p[2]/p[0]*dx;  
2176   }
2177
2178
2179   // Calculate the track parameters
2180   t=TMath::Sqrt(p[0]*p[0] + p[1]*p[1]);
2181   fX    = x;
2182   fP[0] = y;
2183   fP[1] = z;
2184   fP[2] = p[1]/t;
2185   fP[3] = p[2]/t; 
2186   fP[4] = GetSign()/(t*pp);
2187
2188   return kTRUE;
2189 }
2190
2191 Bool_t AliExternalTrackParam::Translate(Double_t *vTrasl,Double_t *covV){
2192   //
2193   //Translation: in the event mixing, the tracks can be shifted 
2194   //of the difference among primary vertices (vTrasl) and 
2195   //the covariance matrix is changed accordingly 
2196   //(covV = covariance of the primary vertex).
2197   //Origin: "Romita, Rossella" <R.Romita@gsi.de>
2198   // 
2199   TVector3 translation;
2200   // vTrasl coordinates in the local system
2201   translation.SetXYZ(vTrasl[0],vTrasl[1],vTrasl[2]);
2202   translation.RotateZ(-fAlpha);
2203   translation.GetXYZ(vTrasl);
2204
2205  //compute the new x,y,z of the track
2206   Double_t newX=fX-vTrasl[0];
2207   Double_t newY=fP[0]-vTrasl[1];
2208   Double_t newZ=fP[1]-vTrasl[2];
2209   
2210   //define the new parameters
2211   Double_t newParam[5];
2212   newParam[0]=newY;
2213   newParam[1]=newZ;
2214   newParam[2]=fP[2];
2215   newParam[3]=fP[3];
2216   newParam[4]=fP[4];
2217
2218   // recompute the covariance matrix:
2219   // 1. covV in the local system
2220   Double_t cosRot=TMath::Cos(fAlpha), sinRot=TMath::Sin(fAlpha);
2221   TMatrixD qQi(3,3);
2222   qQi(0,0) = cosRot;
2223   qQi(0,1) = sinRot;
2224   qQi(0,2) = 0.;
2225   qQi(1,0) = -sinRot;
2226   qQi(1,1) = cosRot;
2227   qQi(1,2) = 0.;
2228   qQi(2,0) = 0.;
2229   qQi(2,1) = 0.;
2230   qQi(2,2) = 1.;
2231   TMatrixD uUi(3,3);
2232   uUi(0,0) = covV[0];
2233   uUi(0,0) = covV[0];
2234   uUi(1,0) = covV[1];
2235   uUi(0,1) = covV[1];
2236   uUi(2,0) = covV[3];
2237   uUi(0,2) = covV[3];
2238   uUi(1,1) = covV[2];
2239   uUi(2,2) = covV[5];
2240   uUi(1,2) = covV[4];
2241   if(uUi.Determinant() <= 0.) {return kFALSE;}
2242   TMatrixD uUiQi(uUi,TMatrixD::kMult,qQi);
2243   TMatrixD m(qQi,TMatrixD::kTransposeMult,uUiQi);
2244
2245   //2. compute the new covariance matrix of the track
2246   Double_t sigmaXX=m(0,0);
2247   Double_t sigmaXZ=m(2,0);
2248   Double_t sigmaXY=m(1,0);
2249   Double_t sigmaYY=GetSigmaY2()+m(1,1);
2250   Double_t sigmaYZ=fC[1]+m(1,2);
2251   Double_t sigmaZZ=fC[2]+m(2,2);
2252   Double_t covarianceYY=sigmaYY + (-1.)*((sigmaXY*sigmaXY)/sigmaXX);
2253   Double_t covarianceYZ=sigmaYZ-(sigmaXZ*sigmaXY/sigmaXX);
2254   Double_t covarianceZZ=sigmaZZ-((sigmaXZ*sigmaXZ)/sigmaXX);
2255
2256   Double_t newCov[15];
2257   newCov[0]=covarianceYY;
2258   newCov[1]=covarianceYZ;
2259   newCov[2]=covarianceZZ;
2260   for(Int_t i=3;i<15;i++){
2261     newCov[i]=fC[i];
2262    }
2263
2264   // set the new parameters
2265
2266   Set(newX,fAlpha,newParam,newCov);
2267
2268   return kTRUE;
2269  }
2270
2271 void AliExternalTrackParam::CheckCovariance() {
2272
2273   // This function forces the diagonal elements of the covariance matrix to be positive.
2274   // In case the diagonal element is bigger than the maximal allowed value, it is set to
2275   // the limit and the off-diagonal elements that correspond to it are set to zero.
2276   fC[0] = TMath::Abs(fC[0]);
2277   if (fC[0]>kC0max) {
2278     double scl = TMath::Sqrt(kC0max/fC[0]);
2279     fC[0] = kC0max;
2280     fC[1] *= scl;
2281     fC[3] *= scl;
2282     fC[6] *= scl;
2283     fC[10] *= scl;
2284   }
2285   fC[2] = TMath::Abs(fC[2]);
2286   if (fC[2]>kC2max) {
2287     double scl = TMath::Sqrt(kC2max/fC[2]);
2288     fC[2] = kC2max;
2289     fC[1] *= scl;
2290     fC[4] *= scl;
2291     fC[7] *= scl;
2292     fC[11] *= scl;
2293   }
2294   fC[5] = TMath::Abs(fC[5]);
2295   if (fC[5]>kC5max) {
2296     double scl = TMath::Sqrt(kC5max/fC[5]);
2297     fC[5] = kC5max;
2298     fC[3] *= scl;
2299     fC[4] *= scl;
2300     fC[8] *= scl;
2301     fC[12] *= scl;
2302   }
2303   fC[9] = TMath::Abs(fC[9]);
2304   if (fC[9]>kC9max) {
2305     double scl = TMath::Sqrt(kC9max/fC[9]);
2306     fC[9] = kC9max;
2307     fC[6] *= scl;
2308     fC[7] *= scl;
2309     fC[8] *= scl;
2310     fC[13] *= scl;
2311   }
2312   fC[14] = TMath::Abs(fC[14]);
2313   if (fC[14]>kC14max) {
2314     double scl = TMath::Sqrt(kC14max/fC[14]);
2315     fC[14] = kC14max;
2316     fC[10] *= scl;
2317     fC[11] *= scl;
2318     fC[12] *= scl;
2319     fC[13] *= scl;
2320   }
2321       
2322     // The part below is used for tests and normally is commented out    
2323 //     TMatrixDSym m(5);
2324 //     TVectorD eig(5);
2325     
2326 //     m(0,0)=fC[0];
2327 //     m(1,0)=fC[1];  m(1,1)=fC[2];
2328 //     m(2,0)=fC[3];  m(2,1)=fC[4];  m(2,2)=fC[5];
2329 //     m(3,0)=fC[6];  m(3,1)=fC[7];  m(3,2)=fC[8];  m(3,3)=fC[9];
2330 //     m(4,0)=fC[10]; m(4,1)=fC[11]; m(4,2)=fC[12]; m(4,3)=fC[13]; m(4,4)=fC[14];
2331     
2332 //     m(0,1)=m(1,0);
2333 //     m(0,2)=m(2,0); m(1,2)=m(2,1);
2334 //     m(0,3)=m(3,0); m(1,3)=m(3,1); m(2,3)=m(3,2);
2335 //     m(0,4)=m(4,0); m(1,4)=m(4,1); m(2,4)=m(4,2); m(3,4)=m(4,3);
2336 //     m.EigenVectors(eig);
2337
2338 //     //    assert(eig(0)>=0 && eig(1)>=0 && eig(2)>=0 && eig(3)>=0 && eig(4)>=0);
2339 //     if (!(eig(0)>=0 && eig(1)>=0 && eig(2)>=0 && eig(3)>=0 && eig(4)>=0)) {
2340 //       AliWarning("Negative eigenvalues of the covariance matrix!");
2341 //       this->Print();
2342 //       eig.Print();
2343 //     }
2344 }
2345
2346 Bool_t AliExternalTrackParam::ConstrainToVertex(const AliVVertex* vtx, Double_t b[3])
2347 {
2348   // Constrain TPC inner params constrained
2349   //
2350   if (!vtx) 
2351     return kFALSE;
2352
2353   Double_t dz[2], cov[3];
2354   if (!PropagateToDCABxByBz(vtx, b, 3, dz, cov)) 
2355     return kFALSE; 
2356
2357   Double_t covar[6]; 
2358   vtx->GetCovarianceMatrix(covar);
2359   
2360   Double_t p[2]= { fP[0] - dz[0], fP[1] - dz[1] };
2361   Double_t c[3]= { covar[2], 0., covar[5] };
2362   
2363   Double_t chi2C = GetPredictedChi2(p,c);
2364   if (chi2C>kVeryBig) 
2365     return kFALSE; 
2366
2367   if (!Update(p,c)) 
2368     return kFALSE; 
2369
2370   return kTRUE;
2371 }
2372
2373 //___________________________________________________________________________________________
2374 Bool_t AliExternalTrackParam::GetXatLabR(Double_t r,Double_t &x, Double_t bz, Int_t dir) const
2375 {
2376   // Get local X of the track position estimated at the radius lab radius r. 
2377   // The track curvature is accounted exactly
2378   //
2379   // The flag "dir" can be used to remove the ambiguity of which intersection to take (out of 2 possible)
2380   // 0  - take the intersection closest to the current track position
2381   // >0 - go along the track (increasing fX)
2382   // <0 - go backward (decreasing fX)
2383   //
2384   const Double_t &fy=fP[0], &sn = fP[2];
2385   //
2386   double crv = GetC(bz);
2387   if (TMath::Abs(crv)<=kAlmost0) { // this is a straight track
2388     if (TMath::Abs(sn)>=kAlmost1) { // || to Y axis
2389       double det = (r-fX)*(r+fX);
2390       if (det<0) return kFALSE;     // does not reach raduis r
2391       x = fX;
2392       if (dir==0) return kTRUE;
2393       det = TMath::Sqrt(det);
2394       if (dir>0) {                       // along the track direction
2395         if (sn>0) {if (fy>det)  return kFALSE;} // track is along Y axis and above the circle
2396         else      {if (fy<-det) return kFALSE;} // track is against Y axis amd belo the circle
2397       }
2398       else {                                    // agains track direction
2399         if (sn>0) {if (fy<-det) return kFALSE;} // track is along Y axis
2400         else if (fy>det)  return kFALSE;        // track is against Y axis
2401       }
2402     }
2403     else if (TMath::Abs(sn)<=kAlmost0) { // || to X axis
2404       double det = (r-fy)*(r+fy);
2405       if (det<0) return kFALSE;     // does not reach raduis r
2406       det = TMath::Sqrt(det);
2407       if (!dir) {
2408         x = fX>0  ? det : -det;    // choose the solution requiring the smalest step
2409         return kTRUE;
2410       }
2411       else if (dir>0) {                    // along the track direction
2412         if      (fX > det) return kFALSE;  // current point is in on the right from the circle
2413         else if (fX <-det) x = -det;       // on the left
2414         else               x =  det;       // within the circle
2415       }
2416       else {                               // against the track direction
2417         if      (fX <-det) return kFALSE;  
2418         else if (fX > det) x =  det;
2419         else               x = -det;
2420       }
2421     }
2422     else {                                 // general case of straight line
2423       double cs = TMath::Sqrt((1-sn)*(1+sn));
2424       double xsyc = fX*sn-fy*cs;
2425       double det = (r-xsyc)*(r+xsyc);
2426       if (det<0) return kFALSE;    // does not reach raduis r
2427       det = TMath::Sqrt(det);
2428       double xcys = fX*cs+fy*sn;
2429       double t = -xcys;
2430       if (dir==0) t += t>0 ? -det:det;  // chose the solution requiring the smalest step
2431       else if (dir>0) {                 // go in increasing fX direction. ( t+-det > 0)
2432         if (t>=-det) t += -det;         // take minimal step giving t>0
2433         else return kFALSE;             // both solutions have negative t
2434       }
2435       else {                            // go in increasing fX direction. (t+-det < 0)
2436         if (t<det) t -= det;            // take minimal step giving t<0
2437         else return kFALSE;             // both solutions have positive t
2438       }
2439       x = fX + cs*t;
2440     }
2441   }
2442   else {                                 // helix
2443     // get center of the track circle
2444     double tR = 1./crv;   // track radius (for the moment signed)
2445     double cs = TMath::Sqrt((1-sn)*(1+sn));
2446     double x0 = fX - sn*tR;
2447     double y0 = fy + cs*tR;
2448     double r0 = TMath::Sqrt(x0*x0+y0*y0);
2449     //    printf("Xc:%+e Yc:%+e\n",x0,y0);
2450     //
2451     if (r0<=kAlmost0) return kFALSE;            // the track is concentric to circle
2452     tR = TMath::Abs(tR);
2453     double tR2r0 = tR/r0;
2454     double g = 0.5*(r*r/(r0*tR) - tR2r0 - 1./tR2r0);
2455     double det = (1.-g)*(1.+g);
2456     if (det<0) return kFALSE;         // does not reach raduis r
2457     det = TMath::Sqrt(det);
2458     //
2459     // the intersection happens in 2 points: {x0+tR*C,y0+tR*S} 
2460     // with C=f*c0+-|s0|*det and S=f*s0-+c0 sign(s0)*det
2461     // where s0 and c0 make direction for the circle center (=x0/r0 and y0/r0)
2462     //
2463     double tmp = 1.+g*tR2r0;
2464     x = x0*tmp; 
2465     double y = y0*tmp;
2466     if (TMath::Abs(y0)>kAlmost0) { // when y0==0 the x,y is unique
2467       double dfx = tR2r0*TMath::Abs(y0)*det;
2468       double dfy = tR2r0*x0*TMath::Sign(det,y0);
2469       if (dir==0) {                    // chose the one which corresponds to smallest step 
2470         double delta = (x-fX)*dfx-(y-fy)*dfy; // the choice of + in C will lead to smaller step if delta<0
2471         if (delta<0) x += dfx;
2472         else         x -= dfx;
2473       }
2474       else if (dir>0) {  // along track direction: x must be > fX
2475         x -= dfx; // try the smallest step (dfx is positive)
2476         if (x<fX && (x+=dfx+dfx)<fX) return kFALSE;
2477       }
2478       else { // backward: x must be < fX
2479         x += dfx; // try the smallest step (dfx is positive)
2480         if (x>fX && (x-=dfx+dfx)>fX) return kFALSE;
2481       }
2482     }
2483     else { // special case: track touching the circle just in 1 point
2484       if ( (dir>0&&x<fX) || (dir<0&&x>fX) ) return kFALSE; 
2485     }
2486   }
2487   //
2488   return kTRUE;
2489 }