Update of documentation (Marian)
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Thu, 15 Jan 2009 19:27:32 +0000 (19:27 +0000)
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TPC/doc/calib/DriftV/tpcDrift.tex

index 6750bbd..8bd14f4 100644 (file)
@@ -7,11 +7,11 @@
 
 The TPC drift velocity is changing in time together with the change of environment variables
 \begin{equation}
-v_d=v_d(E,N(T,P),C_{CO2},C_{N2})  \\
+v_d=v_d(E,N(T,P),C_{CO_2},C_{N_2})  \\
 \end{equation}
-where $E$ is the electric field in the TPC, P is the atmospheric pressure, T is the temperature inside of the TPC and $C_{CO2}$ and $C_{N2}$ is the concentration and N is the gas density. We suppose that these parameters will vary in time in reasonable range and the Taylor expansion of the function around the nominal values can be used.
+where $E$ is the electric field in the TPC, P is the atmospheric pressure, T is the temperature inside of the TPC and $C_{CO_2}$ and $C_{N_2}$ is the concentration and N is the gas density. We suppose that these parameters will vary in time in reasonable range and the Taylor expansion of the function around the nominal values can be used.
 \begin{equation}
-\Delta{v_d}=v_d-v_{d0}=\frac{dv}{dE}\Delta{E}+\frac{dv}{dN}\Delta{N(P,T)}+\frac{dv}{dC_{CO2}}\Delta{C_{CO2}}+\frac{dv}{dC_{N2}}\Delta{C_{N2}}
+\Delta{v_d}=v_d-v_{d0}=\frac{dv}{dE}\Delta{E}+\frac{dv}{dN}\Delta{N(P,T)}+\frac{dv}{dC_{CO_2}}\Delta{C_{CO_2}}+\frac{dv}{dC_{N_2}}\Delta{C_{N_2}}
 \end{equation}
 
 The parameters in the expansion are changing with different time constant. Significant change of the drift velocity due to the gas composition changes has a time constant of days. On the other hand the changes due to the pressure and temperature variation had to be corrected on minutes level.
@@ -103,15 +103,15 @@ interval
 \label{eq:sigmaX}
 \end{eqnarray}
 
-The typical relative resolution of the pressure and temperature measurement is on the level of 6.$10^{-5}$ and
-1.$10^{-5}$ respectively (see picture \ref{figDCSResol}). For cool gas the  coefficient $k_N$ is close to one. The contribution of the P/T correction to the drift velocity uncertainty is on the level of  6.1.$10^{-5}$ (150 microns for the full drift length of 250 cm)
+The typical relative resolution of the pressure and temperature measurement is on the level of $6\times10^{-5}$ and
+$1\times10^{-5}$ respectively (see picture \ref{figDCSResol}). For cool gas the  coefficient $k_N$ is close to one. The contribution of the P/T correction to the drift velocity uncertainty is on the level of  $6.1\times10^{-5}$ (150 microns for the full drift length of 250 cm)
 
 The $\sigma_{xoff}$ from equation \ref{eq:sigmaX} was  estimated from plot \ref{figVDriftCorrected} and is on the level of 0.001 in a four day period. This estimate was obtained for the period of largest change in the present data sample. Further investigations should be carried out for extended time periods.
 
-For the TPC drift velocity determination, the requiered relative resolution is on the level of $6.10^{-5}$.
+For the TPC drift velocity determination, the requiered relative resolution is on the level of $6\times10^{-5}$.
 Entering the observed sigmas into equation (\ref{eq:sigmaX}) the minimal frequncy of the drift velocity updates were estimated (equation \ref{eq:driftUpdateTime}) to be about 1 hour.  
 \begin{eqnarray}
-    \Delta{t}\le\frac{\sigma^2_x}{\sigma^2_{xoff}}\approx(\frac{6.10^{-5}}{0.001/4days})^2=0.05 day.
+    \Delta{t}\le\frac{\sigma^2_x}{\sigma^2_{xoff}}\approx\left(\frac{6\times10^{-5}}{0.001/4days}\right)^2=0.05 day.
 \label{eq:driftUpdateTime}
 \end{eqnarray}
 
@@ -133,32 +133,30 @@ The relative resolution of the pressure and temperature  measurement.
 
 In the first approximation there is a linear dependence of the z position on the drift time.
 In the Alice TPC the expression on the A side and C side of the chambers have the same drift velocity part $v_d$ 
-with opposite sign. The full drift length $z_0A$ and $z_0C$ are different. We suppose that
+with opposite sign. The full drift length $z_{0A}$ and $z_{0C}$ are different. We suppose that
 the $t_0$ offset given by trigger arrival time is the same. In reality the $t_0$ equalization is applied before,
-using the pad-by-pad calibration pulser measurement.  
+using the pad-by-pad calibration pulser measurement. We let the variable $s$ represent the sides A and C with, with respective values $s_A=-1$ and $s_C=+1$. 
 \begin{equation}
 \begin{split}
-z_A = z_{0A}-v_d(t-t_0) \\
-z_C = z_{0C}+v_d(t-t_0)    
+z_s = z_{s0}+sv_d(t-t_0)
 \end{split}
 \end{equation}
 
-Let's the actual value of drift velocity $v_d$ and the time offset $t_0$ are shifted by some $\Delta$ value.
-Our starting drift velocity values and time offset are $\tilde{v_d}$ and $\tilde{t_0}$
+Let the actual value of drift velocity $v_d$ and the time offset $t_0$ are shifted by some $\Delta$ value.
+Our starting drift velocity values and time offset are $\tilde{v}_d$ and $\tilde{t}_0$
 \begin{equation}
 \begin{split}
-v_d=\tilde{v_d}+\Delta v_d \\
-t_0=\tilde{t_0}+\Delta t_0 \\
+v_d=\tilde{v}_d+\Delta v_d \\
+t_0=\tilde{t}_0+\Delta t_0 \\
 v_c = \frac{\Delta{v_d}}{\tilde{v}_d} \\
-\Delta{z} = \Delta{t}_0\tilde{v}_d \\
+\Delta{z}_{t_0} = \Delta{t}_0\tilde{v}_d \\
 \end{split}
 \end{equation}
 
-Than the actual z position is expressed using the starting z position measurement $\tilde{z}_A$ reps. $\tilde{z}_C$ 
+Then the actual z position is expressed using the starting z position measurement $\tilde{z}_s$. 
 \begin{equation}
 \begin{split}
-z_A = \tilde{z}_A-\frac{\Delta v_d}{v_d}(z_{0A}-\tilde{z}_{A})+\Delta t_0 \tilde{v_d}\\= \tilde{z_{A}} -v_c(z_{0A}-\tilde{z}_{A})+\Delta{z}\\
-z_C = \tilde{z}_C-\frac{\Delta v_d}{v_d}(\tilde{z}_{C}-z_{0C})-\Delta t_0 \tilde{v_d}\\= \tilde{z_{C}} +v_c(\tilde{z}_{C}-z_{0C})-\Delta{z}
+z_s = \tilde{z}_s-\frac{\Delta v_d}{v_d}(z_{s0}-\tilde{z}_{s})-s\Delta t_0 \tilde{v}_d\\= \tilde{z}_{s} -v_c(z_{s0}-\tilde{z}_{s})+\Delta{z}\\
 \end{split}
 \end{equation}
 
@@ -166,68 +164,41 @@ z_C = \tilde{z}_C-\frac{\Delta v_d}{v_d}(\tilde{z}_{C}-z_{0C})-\Delta t_0 \tilde
 In previous expression  we neglected second order correction
 \begin{equation}
 \begin{split}
-\Delta{v_d}\Delta{t_0}\ll\frac{\Delta v_d}{v_d}(z_{0A}-z_{A}) \\
-(t-t_0)\approx \frac{(z_{0A}-\tilde{z}_{A})}{v_d}
+\Delta{v_d}\Delta{t_0}\ll\frac{\Delta v_d}{v_d}(z_{s0}-z_{s}) \\
+(t-t_0)\approx \frac{(z_{s0}-\tilde{z}_{s})}{v_d}
 \end{split}
 \end{equation}
 
 Combining the z measurement the track parameters can be fitted. Let's assume linear track model:
 \begin{equation}
 \begin{split}
-\tilde{z}_A =\tilde{a}_A+\tilde{b}_Ax \\
-z_A = a_A+ b_Ax \\
-\tilde{z}_C =\tilde{a}_C+\tilde{b}_Cx \\
-z_C = a_C+ b_Cx
+\tilde{z}_s =\tilde{a}_s+\tilde{b}_sx \\
+z_s = a_s+ b_sx \\
 \end{split}
 \end{equation}
 
 The relation between starting  parameters $\tilde{a}, \tilde{b}$ and corrected parameters $a,b$ is linear.
 \begin{equation}
 \begin{split}
-a_A=\tilde{a}_A-v_c(z_{0A}-\tilde{a}_A)+\Delta{z}\\
-b_A=\tilde{b}_A(1+v_c)\\
-a_C=\tilde{a}_C+v_c(\tilde{a}_C-z_{0C})-\Delta{z}\\
-b_C=\tilde{b}_C(1+v_c)\\
+a_s=\tilde{a}_s-v_c(z_{s0}-\tilde{a}_s)-s\Delta{z}\\
+b_s=\tilde{b}_s(1+v_c)\\
 \end{split}
 \end{equation}
 The inclination angle correction is the same on the A and C side.
  
-
 Tracks crossing the central electrode, respectively primary tracks can be used to
 monitor correction coefficients $\Delta{z}$ and $v_c$. For tracks crossing the central electrode the a and b parameters at the crossing point fitted form A and C side are the same. In case of primary tracks, the z position at r-$\phi$ DCA are also the same:
 \begin{equation}
 \begin{split}
 a_A-a_C=0 \\
-\Delta\tilde{a}(1-vc)+2\Delta{z}-v_c(z_{0A}-z_{0C})=0 \\
+\Delta\tilde{a}(1-v_c)+2\Delta{z}-v_c(z_{0A}-z_{0C})=0 \\
 \Delta\tilde{a}=\frac{v_c(z_{0A}-z_{0C})-2\Delta{z}}{1-v_c}    
 \end{split}
 \end{equation}
 
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 Combining information from A and C side the correction parameters, drift correction $v_c$ and offset correction $\Delta{z}$ can be fitted.
 
 In case track crossed the central electrode the track parameters of the same track on A side and C side can be fitted.
 The actual track parameters $a_A$ and $a_C$  respectivally $b_A$ and $b_C$ are the same.
  
-\begin{equation}
-\begin{split}
-\end{split}
-\end{equation}
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 \end{document}