RALICE/AliMath.cxx

   1 /**************************************************************************
   2  * Copyright(c) 1998-1999, ALICE Experiment at CERN, All rights reserved. *
   3  *                                                                        *
   4  * Author: The ALICE Off-line Project.                                    *
   5  * Contributors are mentioned in the code where appropriate.              *
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   8  * documentation strictly for non-commercial purposes is hereby granted   *
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  13  * provided "as is" without express or implied warranty.                  *
  14  **************************************************************************/
  15
  16 // $Id$
  17
  18 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  19 // Class AliMath
  20 // Various mathematical tools which may be very convenient while
  21 // performing physics analysis.
  22 //
  23 // Example : Probability of a Chi-squared value
  24 // =========
  25 //
  26 // AliMath M;
  27 // Float_t chi2=20;            // The chi-squared value
  28 // Int_t ndf=12;               // The number of degrees of freedom
  29 // Float_t p=M.Prob(chi2,ndf); // The probability that at least a Chi-squared
  30 //                             // value of chi2 will be observed, even for a
  31 //                             // correct model
  32 //
  33 //--- Author: Nick van Eijndhoven 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
  34 //- Modified: NvE $Date$ UU-SAP Utrecht
  35 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  36
  37 #include "AliMath.h"
  38 #include "Riostream.h"
  39
  40 ClassImp(AliMath) // Class implementation to enable ROOT I/O
  41
  42 AliMath::AliMath() : TObject()
  43 {
  44 // Default constructor
  45 }
  46 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  47 AliMath::~AliMath()
  48 {
  49 // Destructor
  50 }
  51 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  52 AliMath::AliMath(const AliMath& m) : TObject(m)
  53 {
  54 // Copy constructor
  55 }
  56 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  57 Double_t AliMath::Gamma(Double_t z) const
  58 {
  59 // Computation of gamma(z) for all z>0.
  60 //
  61 // The algorithm is based on the article by C.Lanczos [1] as denoted in
  62 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 207 (W.H.Press et al.).
  63 //
  64 // [1] C.Lanczos, SIAM Journal of Numerical Analysis B1 (1964), 86.
  65 //
  66 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
  67
  68  if (z<=0.)
  69  {
  70   cout << "*Gamma(z)* Wrong argument z = " << z << endl;
  71   return 0;
  72  }
  73
  74  Double_t v=LnGamma(z);
  75  return exp(v);
  76 }
  77 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  78 Double_t AliMath::Gamma(Double_t a,Double_t x) const
  79 {
  80 // Computation of the incomplete gamma function P(a,x)
  81 //
  82 // The algorithm is based on the formulas and code as denoted in
  83 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 210-212 (W.H.Press et al.).
  84 //
  85 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
  86
  87  if (a<=0.)
  88  {
  89   cout << "*Gamma(a,x)* Invalid argument a = " << a << endl;
  90   return 0;
  91  }
  92
  93  if (x<=0.)
  94  {
  95   if (x<0) cout << "*Gamma(a,x)* Invalid argument x = " << x << endl;
  96   return 0;
  97  }
  98
  99  if (x<(a+1.))
 100  {
 101   return GamSer(a,x);
 102  }
 103  else
 104  {
 105   return GamCf(a,x);
 106  }
 107 }
 108 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 109 Double_t AliMath::LnGamma(Double_t z) const
 110 {
 111 // Computation of ln[gamma(z)] for all z>0.
 112 //
 113 // The algorithm is based on the article by C.Lanczos [1] as denoted in
 114 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 207 (W.H.Press et al.).
 115 //
 116 // [1] C.Lanczos, SIAM Journal of Numerical Analysis B1 (1964), 86.
 117 //
 118 // The accuracy of the result is better than 2e-10.
 119 //
 120 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 121
 122  if (z<=0.)
 123  {
 124   cout << "*LnGamma(z)* Wrong argument z = " << z << endl;
 125   return 0;
 126  }
 127
 128  // Coefficients for the series expansion
 129  Double_t c[7];
 130  c[0]=  2.5066282746310005;
 131  c[1]= 76.18009172947146;
 132  c[2]=-86.50532032941677;
 133  c[3]= 24.01409824083091;
 134  c[4]= -1.231739572450155;
 135  c[5]=  0.1208650973866179e-2;
 136  c[6]= -0.5395239384953e-5;
 137
 138  Double_t x=z;
 139  Double_t y=x;
 140  Double_t tmp=x+5.5;
 141  tmp=(x+0.5)*log(tmp)-tmp;
 142  Double_t ser=1.000000000190015;
 143  for (Int_t i=1; i<7; i++)
 144  {
 145   y+=1.;
 146   ser+=c[i]/y;
 147  }
 148  Double_t v=tmp+log(c[0]*ser/x);
 149  return v;
 150 }
 151 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 152 Double_t AliMath::GamSer(Double_t a,Double_t x) const
 153 {
 154 // Computation of the incomplete gamma function P(a,x)
 155 // via its series representation.
 156 //
 157 // The algorithm is based on the formulas and code as denoted in
 158 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 210-212 (W.H.Press et al.).
 159 //
 160 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 161
 162  Int_t itmax=100;   // Maximum number of iterations
 163  Double_t eps=3.e-7; // Relative accuracy
 164
 165  if (a<=0.)
 166  {
 167   cout << "*GamSer(a,x)* Invalid argument a = " << a << endl;
 168   return 0;
 169  }
 170
 171  if (x<=0.)
 172  {
 173   if (x<0) cout << "*GamSer(a,x)* Invalid argument x = " << x << endl;
 174   return 0;
 175  }
 176
 177  Double_t gln=LnGamma(a);
 178  Double_t ap=a;
 179  Double_t sum=1./a;
 180  Double_t del=sum;
 181  for (Int_t n=1; n<=itmax; n++)
 182  {
 183   ap+=1.;
 184   del=del*x/ap;
 185   sum+=del;
 186   if (fabs(del)<fabs(sum*eps)) break;
 187   if (n==itmax) cout << "*GamSer(a,x)* a too large or itmax too small" << endl;
 188  }
 189  Double_t v=sum*exp(-x+a*log(x)-gln);
 190  return v;
 191 }
 192 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 193 Double_t AliMath::GamCf(Double_t a,Double_t x) const
 194 {
 195 // Computation of the incomplete gamma function P(a,x)
 196 // via its continued fraction representation.
 197 //
 198 // The algorithm is based on the formulas and code as denoted in
 199 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 210-212 (W.H.Press et al.).
 200 //
 201 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 202
 203  Int_t itmax=100;      // Maximum number of iterations
 204  Double_t eps=3.e-7;    // Relative accuracy
 205  Double_t fpmin=1.e-30; // Smallest Double_t value allowed here
 206
 207  if (a<=0.)
 208  {
 209   cout << "*GamCf(a,x)* Invalid argument a = " << a << endl;
 210   return 0;
 211  }
 212
 213  if (x<=0.)
 214  {
 215   if (x<0) cout << "*GamCf(a,x)* Invalid argument x = " << x << endl;
 216   return 0;
 217  }
 218
 219  Double_t gln=LnGamma(a);
 220  Double_t b=x+1.-a;
 221  Double_t c=1./fpmin;
 222  Double_t d=1./b;
 223  Double_t h=d;
 224  Double_t an,del;
 225  for (Int_t i=1; i<=itmax; i++)
 226  {
 227   an=double(-i)*(double(i)-a);
 228   b+=2.;
 229   d=an*d+b;
 230   if (fabs(d)<fpmin) d=fpmin;
 231   c=b+an/c;
 232   if (fabs(c)<fpmin) c=fpmin;
 233   d=1./d;
 234   del=d*c;
 235   h=h*del;
 236   if (fabs(del-1.)<eps) break;
 237   if (i==itmax) cout << "*GamCf(a,x)* a too large or itmax too small" << endl;
 238  }
 239  Double_t v=exp(-x+a*log(x)-gln)*h;
 240  return (1.-v);
 241 }
 242 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 243 Double_t AliMath::Erf(Double_t x) const
 244 {
 245 // Computation of the error function erf(x).
 246 //
 247 //--- NvE 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 248
 249  return (1.-Erfc(x));
 250 }
 251 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 252 Double_t AliMath::Erfc(Double_t x) const
 253 {
 254 // Computation of the complementary error function erfc(x).
 255 //
 256 // The algorithm is based on a Chebyshev fit as denoted in
 257 // Numerical Recipes 2nd ed. on p. 214 (W.H.Press et al.).
 258 //
 259 // The fractional error is always less than 1.2e-7.
 260 //
 261 //--- Nve 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 262
 263  // The parameters of the Chebyshev fit
 264  const Double_t ka1=-1.26551223,  ka2=1.00002368,
 265                 ka3= 0.37409196,  ka4=0.09678418,
 266                 ka5=-0.18628806,  ka6=0.27886807,
 267                 ka7=-1.13520398,  ka8=1.48851587,
 268                 ka9=-0.82215223, ka10=0.17087277;
 269
 270  Double_t v=1.; // The return value
 271
 272  Double_t z=fabs(x);
 273
 274  if (z <= 0.) return v; // erfc(0)=1
 275
 276  Double_t t=1./(1.+0.5*z);
 277
 278  v=t*exp((-z*z)
 279    +ka1+t*(ka2+t*(ka3+t*(ka4+t*(ka5+t*(ka6+t*(ka7+t*(ka8+t*(ka9+t*ka10)))))))));
 280
 281  if (x < 0.) v=2.-v; // erfc(-x)=2-erfc(x)
 282
 283  return v;
 284 }
 285 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 286 Double_t AliMath::Prob(Double_t chi2,Int_t ndf,Int_t mode) const
 287 {
 288 // Computation of the probability for a certain Chi-squared (chi2)
 289 // and number of degrees of freedom (ndf).
 290 //
 291 // A more clear and flexible facility is offered by Chi2Pvalue.
 292 //
 293 // According to the value of the parameter "mode" various algorithms
 294 // can be selected.
 295 //
 296 // mode = 0 : Calculations are based on the incomplete gamma function P(a,x),
 297 //            where a=ndf/2 and x=chi2/2.
 298 //
 299 //        1 : Same as for mode=0. However, in case ndf=1 an exact expression
 300 //            based on the error function Erf() is used.
 301 //
 302 //        2 : Same as for mode=0. However, in case ndf>30 a Gaussian approximation
 303 //            is used instead of the gamma function.
 304 //
 305 // When invoked as Prob(chi2,ndf) the default mode=1 is used.
 306 //
 307 // P(a,x) represents the probability that the observed Chi-squared
 308 // for a correct model should be less than the value chi2.
 309 //
 310 // The returned probability corresponds to 1-P(a,x),
 311 // which denotes the probability that an observed Chi-squared exceeds
 312 // the value chi2 by chance, even for a correct model.
 313 //
 314 //--- NvE 14-nov-1998 UU-SAP Utrecht
 315
 316  if (ndf <= 0) return 0; // Set CL to zero in case ndf<=0
 317
 318  if (chi2 <= 0.)
 319  {
 320   if (chi2 < 0.)
 321   {
 322     return 0;
 323   }
 324   else
 325   {
 326    return 1;
 327   }
 328  }
 329
 330  Double_t v=-1.;
 331
 332  switch (mode)
 333  {
 334   case 1: // Exact expression for ndf=1 as alternative for the gamma function
 335    if (ndf==1) v=1.-Erf(sqrt(chi2)/sqrt(2.));
 336    break;
 337
 338   case 2: // Gaussian approximation for large ndf (i.e. ndf>30) as alternative for the gamma function
 339    if (ndf>30)
 340    {
 341     Double_t q=sqrt(2.*chi2)-sqrt(double(2*ndf-1));
 342     if (q>0.) v=0.5*(1.-Erf(q/sqrt(2.)));
 343    }
 344    break;
 345  }
 346
 347  if (v<0.)
 348  {
 349   // Evaluate the incomplete gamma function
 350   Double_t a=double(ndf)/2.;
 351   Double_t x=chi2/2.;
 352   v=1.-Gamma(a,x);
 353  }
 354
 355  return v;
 356 }
 357 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 358 Double_t AliMath::BesselI0(Double_t x) const
 359 {
 360 // Computation of the modified Bessel function I_0(x) for any real x.
 361 //
 362 // The algorithm is based on the article by Abramowitz and Stegun [1]
 363 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 230 (W.H.Press et al.).
 364 //
 365 // [1] M.Abramowitz and I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions,
 366 //     Applied Mathematics Series vol. 55 (1964), Washington.
 367 //
 368 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 369
 370  // Parameters of the polynomial approximation
 371  const Double_t kp1=1.0,          kp2=3.5156229,    kp3=3.0899424,
 372                 kp4=1.2067492,    kp5=0.2659732,    kp6=3.60768e-2,  kp7=4.5813e-3;
 373
 374  const Double_t kq1= 0.39894228,  kq2= 1.328592e-2, kq3= 2.25319e-3,
 375                 kq4=-1.57565e-3,  kq5= 9.16281e-3,  kq6=-2.057706e-2,
 376                 kq7= 2.635537e-2, kq8=-1.647633e-2, kq9= 3.92377e-3;
 377
 378  Double_t ax=fabs(x);
 379
 380  Double_t y=0,result=0;
 381
 382  if (ax < 3.75)
 383  {
 384   y=pow(x/3.75,2);
 385   result=kp1+y*(kp2+y*(kp3+y*(kp4+y*(kp5+y*(kp6+y*kp7)))));
 386  }
 387  else
 388  {
 389   y=3.75/ax;
 390   result=(exp(ax)/sqrt(ax))
 391          *(kq1+y*(kq2+y*(kq3+y*(kq4+y*(kq5+y*(kq6+y*(kq7+y*(kq8+y*kq9))))))));
 392  }
 393
 394  return result;
 395 }
 396 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 397 Double_t AliMath::BesselK0(Double_t x) const
 398 {
 399 // Computation of the modified Bessel function K_0(x) for positive real x.
 400 //
 401 // The algorithm is based on the article by Abramowitz and Stegun [1]
 402 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 230 (W.H.Press et al.).
 403 //
 404 // [1] M.Abramowitz and I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions,
 405 //     Applied Mathematics Series vol. 55 (1964), Washington.
 406 //
 407 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 408
 409  // Parameters of the polynomial approximation
 410  const Double_t kp1=-0.57721566,  kp2=0.42278420,   kp3=0.23069756,
 411                 kp4= 3.488590e-2, kp5=2.62698e-3,   kp6=1.0750e-4,    kp7=7.4e-6;
 412
 413  const Double_t kq1= 1.25331414,  kq2=-7.832358e-2, kq3= 2.189568e-2,
 414                 kq4=-1.062446e-2, kq5= 5.87872e-3,  kq6=-2.51540e-3,  kq7=5.3208e-4;
 415
 416  if (x <= 0)
 417  {
 418   cout << " *BesselK0* Invalid argument x = " << x << endl;
 419   return 0;
 420  }
 421
 422  Double_t y=0,result=0;
 423
 424  if (x <= 2)
 425  {
 426   y=x*x/4.;
 427   result=(-log(x/2.)*BesselI0(x))
 428          +(kp1+y*(kp2+y*(kp3+y*(kp4+y*(kp5+y*(kp6+y*kp7))))));
 429  }
 430  else
 431  {
 432   y=2./x;
 433   result=(exp(-x)/sqrt(x))
 434          *(kq1+y*(kq2+y*(kq3+y*(kq4+y*(kq5+y*(kq6+y*kq7))))));
 435  }
 436
 437  return result;
 438 }
 439 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 440 Double_t AliMath::BesselI1(Double_t x) const
 441 {
 442 // Computation of the modified Bessel function I_1(x) for any real x.
 443 //
 444 // The algorithm is based on the article by Abramowitz and Stegun [1]
 445 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 230 (W.H.Press et al.).
 446 //
 447 // [1] M.Abramowitz and I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions,
 448 //     Applied Mathematics Series vol. 55 (1964), Washington.
 449 //
 450 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 451
 452  // Parameters of the polynomial approximation
 453  const Double_t kp1=0.5,          kp2=0.87890594,   kp3=0.51498869,
 454                 kp4=0.15084934,   kp5=2.658733e-2,  kp6=3.01532e-3,  kp7=3.2411e-4;
 455
 456  const Double_t kq1= 0.39894228,  kq2=-3.988024e-2, kq3=-3.62018e-3,
 457                 kq4= 1.63801e-3,  kq5=-1.031555e-2, kq6= 2.282967e-2,
 458                 kq7=-2.895312e-2, kq8= 1.787654e-2, kq9=-4.20059e-3;
 459
 460  Double_t ax=fabs(x);
 461
 462  Double_t y=0,result=0;
 463
 464  if (ax < 3.75)
 465  {
 466   y=pow(x/3.75,2);
 467   result=x*(kp1+y*(kp2+y*(kp3+y*(kp4+y*(kp5+y*(kp6+y*kp7))))));
 468  }
 469  else
 470  {
 471   y=3.75/ax;
 472   result=(exp(ax)/sqrt(ax))
 473          *(kq1+y*(kq2+y*(kq3+y*(kq4+y*(kq5+y*(kq6+y*(kq7+y*(kq8+y*kq9))))))));
 474   if (x < 0) result=-result;
 475  }
 476
 477  return result;
 478 }
 479 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 480 Double_t AliMath::BesselK1(Double_t x) const
 481 {
 482 // Computation of the modified Bessel function K_1(x) for positive real x.
 483 //
 484 // The algorithm is based on the article by Abramowitz and Stegun [1]
 485 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 230 (W.H.Press et al.).
 486 //
 487 // [1] M.Abramowitz and I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions,
 488 //     Applied Mathematics Series vol. 55 (1964), Washington.
 489 //
 490 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 491
 492  // Parameters of the polynomial approximation
 493  const Double_t kp1= 1.,          kp2= 0.15443144,  kp3=-0.67278579,
 494                 kp4=-0.18156897,  kp5=-1.919402e-2, kp6=-1.10404e-3,  kp7=-4.686e-5;
 495
 496  const Double_t kq1= 1.25331414,  kq2= 0.23498619,  kq3=-3.655620e-2,
 497                 kq4= 1.504268e-2, kq5=-7.80353e-3,  kq6= 3.25614e-3,  kq7=-6.8245e-4;
 498
 499  if (x <= 0)
 500  {
 501   cout << " *BesselK1* Invalid argument x = " << x << endl;
 502   return 0;
 503  }
 504
 505  Double_t y=0,result=0;
 506
 507  if (x <= 2)
 508  {
 509   y=x*x/4.;
 510   result=(log(x/2.)*BesselI1(x))
 511          +(1./x)*(kp1+y*(kp2+y*(kp3+y*(kp4+y*(kp5+y*(kp6+y*kp7))))));
 512  }
 513  else
 514  {
 515   y=2./x;
 516   result=(exp(-x)/sqrt(x))
 517          *(kq1+y*(kq2+y*(kq3+y*(kq4+y*(kq5+y*(kq6+y*kq7))))));
 518  }
 519
 520  return result;
 521 }
 522 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 523 Double_t AliMath::BesselK(Int_t n,Double_t x) const
 524 {
 525 // Computation of the Integer Order Modified Bessel function K_n(x)
 526 // for n=0,1,2,... and positive real x.
 527 //
 528 // The algorithm uses the recurrence relation
 529 //
 530 //               K_n+1(x) = (2n/x)*K_n(x) + K_n-1(x)
 531 //
 532 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 232 (W.H.Press et al.).
 533 //
 534 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 535
 536  if (x <= 0 || n < 0)
 537  {
 538   cout << " *BesselK* Invalid argument(s) (n,x) = (" << n << " , " << x << ")" << endl;
 539   return 0;
 540  }
 541
 542  if (n==0) return BesselK0(x);
 543
 544  if (n==1) return BesselK1(x);
 545
 546  // Perform upward recurrence for all x
 547  Double_t tox=2./x;
 548  Double_t bkm=BesselK0(x);
 549  Double_t bk=BesselK1(x);
 550  Double_t bkp=0;
 551  for (Int_t j=1; j<n; j++)
 552  {
 553   bkp=bkm+double(j)*tox*bk;
 554   bkm=bk;
 555   bk=bkp;
 556  }
 557
 558  return bk;
 559 }
 560 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 561 Double_t AliMath::BesselI(Int_t n,Double_t x) const
 562 {
 563 // Computation of the Integer Order Modified Bessel function I_n(x)
 564 // for n=0,1,2,... and any real x.
 565 //
 566 // The algorithm uses the recurrence relation
 567 //
 568 //               I_n+1(x) = (-2n/x)*I_n(x) + I_n-1(x)
 569 //
 570 // as denoted in Numerical Recipes 2nd ed. on p. 232 (W.H.Press et al.).
 571 //
 572 //--- NvE 12-mar-2000 UU-SAP Utrecht
 573
 574  Int_t iacc=40; // Increase to enhance accuracy
 575  Double_t bigno=1.e10, bigni=1.e-10;
 576
 577  if (n < 0)
 578  {
 579   cout << " *BesselI* Invalid argument (n,x) = (" << n << " , " << x << ")" << endl;
 580   return 0;
 581  }
 582
 583  if (n==0) return BesselI0(x);
 584
 585  if (n==1) return BesselI1(x);
 586
 587  if (fabs(x) < 1.e-10) return 0;
 588
 589  Double_t tox=2./fabs(x);
 590  Double_t bip=0,bim=0;
 591  Double_t bi=1;
 592  Double_t result=0;
 593  Int_t m=2*((n+int(sqrt(float(iacc*n))))); // Downward recurrence from even m
 594  for (Int_t j=m; j<=1; j--)
 595  {
 596   bim=bip+double(j)*tox*bi;
 597   bip=bi;
 598   bi=bim;
 599   if (fabs(bi) > bigno) // Renormalise to prevent overflows
 600   {
 601    result*=bigni;
 602    bi*=bigni;
 603    bip*=bigni;
 604   }
 605   if (j==n) result=bip;
 606  }
 607
 608  result*=BesselI0(x)/bi; // Normalise with I0(x)
 609  if ((x < 0) && (n%2 == 1)) result=-result;
 610
 611  return result;
 612 }
 613 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 614 TF1 AliMath::Chi2Dist(Int_t ndf) const
 615 {
 616 // Provide the Chi-squared distribution function corresponding to the
 617 // specified ndf degrees of freedom.
 618 //
 619 // Details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
 620 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 621 //
 622 // Note : <chi2>=ndf  Var(chi2)=2*ndf
 623
 624  TF1 chi2dist("chi2dist","1./(TMath::Gamma([0]/2.)*pow(2,[0]/2.))*pow(x,[0]/2.-1.)*exp(-x/2.)");
 625  TString title="#chi^{2} distribution for ndf = ";
 626  title+=ndf;
 627  chi2dist.SetTitle(title.Data());
 628  chi2dist.SetParName(0,"ndf");
 629  chi2dist.SetParameter(0,ndf);
 630
 631  return chi2dist;
 632 }
 633 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 634 TF1 AliMath::StudentDist(Double_t ndf) const
 635 {
 636 // Provide the Student's T distribution function corresponding to the
 637 // specified ndf degrees of freedom.
 638 //
 639 // In a frequentist approach, the Student's T distribution is particularly
 640 // useful in making inferences about the mean of an underlying population
 641 // based on the data from a random sample.
 642 //
 643 // In a Bayesian context it is used to characterise the posterior PDF
 644 // for a particular state of information.
 645 //
 646 // Note : ndf is not restricted to integer values
 647 //
 648 // Details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
 649 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 650 //
 651 // Note : <T>=0  Var(T)=ndf/(ndf-2)
 652
 653  Double_t pi=acos(-1.);
 654
 655  TF1 tdist("tdist","(TMath::Gamma(([0]+1.)/2.)/(sqrt(pi*[0])*TMath::Gamma([0]/2.)))*pow(1.+x*x/[0],-([0]+1.)/2.)");
 656  TString title="Student's t distribution for ndf = ";
 657  title+=ndf;
 658  tdist.SetTitle(title.Data());
 659  tdist.SetParName(0,"ndf");
 660  tdist.SetParameter(0,ndf);
 661
 662  return tdist;
 663 }
 664 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 665 TF1 AliMath::FratioDist(Int_t ndf1,Int_t ndf2) const
 666 {
 667 // Provide the F (ratio) distribution function corresponding to the
 668 // specified ndf1 and ndf2 degrees of freedom of the two samples.
 669 //
 670 // In a frequentist approach, the F (ratio) distribution is particularly useful
 671 // in making inferences about the ratio of the variances of two underlying
 672 // populations based on a measurement of the variance of a random sample taken
 673 // from each one of the two populations.
 674 // So the F test provides a means to investigate the degree of equality of
 675 // two populations.
 676 //
 677 // Details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
 678 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 679 //
 680 // Note : <F>=ndf2/(ndf2-2)  Var(F)=2*ndf2*ndf2*(ndf2+ndf1-2)/(ndf1*(ndf2-1)*(ndf2-1)*(ndf2-4))
 681
 682  TF1 fdist("fdist",
 683  "(TMath::Gamma(([0]+[1])/2.)/(TMath::Gamma([0]/2.)*TMath::Gamma([1]/2.)))*pow([0]/[1],[0]/2.)*pow(x,([0]-2.)/2.)/pow(1.+x*[0]/[1],([0]+[1])/2.)");
 684  TString title="F (ratio) distribution for ndf1 = ";
 685  title+=ndf1;
 686  title+=" ndf2 = ";
 687  title+=ndf2;
 688  fdist.SetTitle(title.Data());
 689  fdist.SetParName(0,"ndf1");
 690  fdist.SetParameter(0,ndf1);
 691  fdist.SetParName(1,"ndf2");
 692  fdist.SetParameter(1,ndf2);
 693
 694  return fdist;
 695 }
 696 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 697 TF1 AliMath::BinomialDist(Int_t n,Double_t p) const
 698 {
 699 // Provide the Binomial distribution function corresponding to the
 700 // specified number of trials n and probability p of success.
 701 //
 702 // p(k|n,p) = probability to obtain exactly k successes in n trials.
 703 //
 704 // Details can be found in the excelent textbook of Phil Gregory
 705 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 706 //
 707 // Note : <k>=n*p  Var(k)=n*p*(1-p)
 708
 709  TF1 bindist("bindist","TMath::Binomial(int([0]),int(x))*pow([1],int(x))*pow(1.-[1],int([0])-int(x))");
 710  TString title="Binomial distribution for n = ";
 711  title+=n;
 712  title+=" p = ";
 713  title+=p;
 714  bindist.SetTitle(title.Data());
 715  bindist.SetParName(0,"n");
 716  bindist.SetParameter(0,n);
 717  bindist.SetParName(1,"p");
 718  bindist.SetParameter(1,p);
 719
 720  return bindist;
 721 }
 722 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 723 TF1 AliMath::NegBinomialDist(Int_t k,Double_t p) const
 724 {
 725 // Provide the Negative Binomial distribution function corresponding to the
 726 // specified number of successes k and probability p of success.
 727 //
 728 // p(n|k,p) = probability to have reached k successes after n trials.
 729 //
 730 // Details can be found in the excelent textbook of Phil Gregory
 731 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 732 //
 733 // Note : <n>=k*(1-p)/p  Var(n)=k*(1-p)/(p*p)
 734
 735  TF1 negbindist("negbindist","TMath::Binomial(int(x)-1,int([0])-1)*pow([1],int([0]))*pow(1.-[1],int(x)-int([0]))");
 736  TString title="Negative Binomial distribution for k = ";
 737  title+=k;
 738  title+=" p = ";
 739  title+=p;
 740  negbindist.SetTitle(title.Data());
 741  negbindist.SetParName(0,"k");
 742  negbindist.SetParameter(0,k);
 743  negbindist.SetParName(1,"p");
 744  negbindist.SetParameter(1,p);
 745
 746  return negbindist;
 747 }
 748 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 749 TF1 AliMath::PoissonDist(Double_t mu) const
 750 {
 751 // Provide the Poisson distribution function corresponding to the
 752 // specified average rate (in time or space) mu of occurrences.
 753 //
 754 // p(n|mu) = probability for n occurrences in a certain time or space interval.
 755 //
 756 // Details can be found in the excelent textbook of Phil Gregory
 757 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 758 //
 759 // Note : <n>=mu  Var(n)=mu
 760
 761  TF1 poissdist("poissdist","exp(-[0])*pow([0],int(x))/TMath::Factorial(int(x))");
 762  TString title="Poisson distribution for mu = ";
 763  title+=mu;
 764  poissdist.SetTitle(title.Data());
 765  poissdist.SetParName(0,"mu");
 766  poissdist.SetParameter(0,mu);
 767
 768  return poissdist;
 769 }
 770 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 771 Double_t AliMath::Chi2Pvalue(Double_t chi2,Int_t ndf,Int_t sides,Int_t sigma,Int_t mode) const
 772 {
 773 // Computation of the P-value for a certain specified Chi-squared (chi2) value
 774 // for a Chi-squared distribution with ndf degrees of freedom.
 775 //
 776 // The P-value for a certain Chi-squared value chi2 corresponds to the fraction of
 777 // repeatedly drawn equivalent samples from a certain population, which is expected
 778 // to yield a Chi-squared value exceeding (less than) the value chi2 for an
 779 // upper (lower) tail test in case a certain hypothesis is true.
 780 //
 781 // Further details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
 782 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 783 //
 784 // Note : <Chi2>=ndf  Var(Chi2)=2*ndf
 785 //
 786 // With the "sides" parameter a one-sided or two-sided test can be selected
 787 // using either the upper or lower tail contents.
 788 // In case of automatic upper/lower selection the decision is made on basis
 789 // of the location of the input chi2 value w.r.t. <Chi2> of the distribution.
 790 //
 791 // sides =  1 : One-sided test using the upper tail contents
 792 //          2 : Two-sided test using the upper tail contents
 793 //         -1 : One-sided test using the lower tail contents
 794 //         -2 : Two-sided test using the lower tail contents
 795 //          0 : One-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
 796 //          3 : Two-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
 797 //
 798 // The argument "sigma" allows for the following return values :
 799 //
 800 // sigma = 0 : P-value is returned as the above specified fraction
 801 //         1 : The difference chi2-<Chi2> expressed in units of sigma
 802 //             Note : This difference may be negative.
 803 //
 804 // According to the value of the parameter "mode" various algorithms
 805 // can be selected.
 806 //
 807 // mode = 0 : Calculations are based on the incomplete gamma function.
 808 //
 809 //        1 : Same as for mode=0. However, in case ndf=1 an exact expression
 810 //            based on the error function Erf() is used.
 811 //
 812 //        2 : Same as for mode=0. However, in case ndf>30 a Gaussian approximation
 813 //            is used instead of the gamma function.
 814 //
 815 // The default values are sides=0, sigma=0 and mode=1.
 816 //
 817 //--- NvE 21-may-2005 Utrecht University
 818
 819  if (ndf<=0) return 0;
 820
 821  Double_t mean=ndf;
 822
 823  if (!sides) // Automatic one-sided test
 824  {
 825   sides=1;
 826   if (chi2<mean) sides=-1;
 827  }
 828
 829  if (sides==3) // Automatic two-sided test
 830  {
 831   sides=2;
 832   if (chi2<mean) sides=-2;
 833  }
 834
 835  Double_t val=0;
 836  if (sigma) // P-value in units of sigma
 837  {
 838   Double_t s=sqrt(double(2*ndf));
 839   val=(chi2-mean)/s;
 840  }
 841  else // P-value from tail contents
 842  {
 843   if (sides>0) // Upper tail
 844   {
 845    val=Prob(chi2,ndf,mode);
 846   }
 847   else // Lower tail
 848   {
 849    val=1.-Prob(chi2,ndf,mode);
 850   }
 851  }
 852
 853  if (abs(sides)==2) val=val*2.;
 854
 855  return val;
 856 }
 857 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 858 Double_t AliMath::StudentPvalue(Double_t t,Double_t ndf,Int_t sides,Int_t sigma) const
 859 {
 860 // Computation of the P-value for a certain specified Student's t value
 861 // for a Student's T distribution with ndf degrees of freedom.
 862 //
 863 // In a frequentist approach, the Student's T distribution is particularly
 864 // useful in making inferences about the mean of an underlying population
 865 // based on the data from a random sample.
 866 //
 867 // The P-value for a certain t value corresponds to the fraction of
 868 // repeatedly drawn equivalent samples from a certain population, which is expected
 869 // to yield a T value exceeding (less than) the value t for an upper (lower)
 870 // tail test in case a certain hypothesis is true.
 871 //
 872 // Further details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
 873 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 874 //
 875 // Note : <T>=0  Var(T)=ndf/(ndf-2)
 876 //
 877 // With the "sides" parameter a one-sided or two-sided test can be selected
 878 // using either the upper or lower tail contents.
 879 // In case of automatic upper/lower selection the decision is made on basis
 880 // of the location of the input t value w.r.t. <T> of the distribution.
 881 //
 882 // sides =  1 : One-sided test using the upper tail contents
 883 //          2 : Two-sided test using the upper tail contents
 884 //         -1 : One-sided test using the lower tail contents
 885 //         -2 : Two-sided test using the lower tail contents
 886 //          0 : One-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
 887 //          3 : Two-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
 888 //
 889 // The argument "sigma" allows for the following return values :
 890 //
 891 // sigma = 0 : P-value is returned as the above specified fraction
 892 //         1 : The difference t-<T> expressed in units of sigma
 893 //             Note : This difference may be negative and sigma
 894 //                    is only defined for ndf>2.
 895 //
 896 // The default values are sides=0 and sigma=0.
 897 //
 898 //--- NvE 21-may-2005 Utrecht University
 899
 900  if (ndf<=0) return 0;
 901
 902  Double_t mean=0;
 903
 904  if (!sides) // Automatic one-sided test
 905  {
 906   sides=1;
 907   if (t<mean) sides=-1;
 908  }
 909
 910  if (sides==3) // Automatic two-sided test
 911  {
 912   sides=2;
 913   if (t<mean) sides=-2;
 914  }
 915
 916  Double_t val=0;
 917  if (sigma) // P-value in units of sigma
 918  {
 919   if (ndf>2) // Sigma is only defined for ndf>2
 920   {
 921    Double_t s=sqrt(ndf/(ndf-2.));
 922    val=t/s;
 923   }
 924  }
 925  else // P-value from tail contents
 926  {
 927   if (sides>0) // Upper tail
 928   {
 929    val=1.-TMath::StudentI(t,ndf);
 930   }
 931   else // Lower tail
 932   {
 933    val=TMath::StudentI(t,ndf);
 934   }
 935  }
 936
 937  if (abs(sides)==2) val=val*2.;
 938
 939  return val;
 940 }
 941 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 942 Double_t AliMath::FratioPvalue(Double_t f,Int_t ndf1,Int_t ndf2,Int_t sides,Int_t sigma) const
 943 {
 944 // Computation of the P-value for a certain specified F ratio f value
 945 // for an F (ratio) distribution with ndf1 and ndf2 degrees of freedom
 946 // for the two samples X,Y respectively to be compared in the ratio X/Y.
 947 //
 948 // In a frequentist approach, the F (ratio) distribution is particularly useful
 949 // in making inferences about the ratio of the variances of two underlying
 950 // populations based on a measurement of the variance of a random sample taken
 951 // from each one of the two populations.
 952 // So the F test provides a means to investigate the degree of equality of
 953 // two populations.
 954 //
 955 // The P-value for a certain f value corresponds to the fraction of
 956 // repeatedly drawn equivalent samples from a certain population, which is expected
 957 // to yield an F value exceeding (less than) the value f for an upper (lower)
 958 // tail test in case a certain hypothesis is true.
 959 //
 960 // Further details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
 961 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
 962 //
 963 // Note : <F>=ndf2/(ndf2-2)  Var(F)=2*ndf2*ndf2*(ndf2+ndf1-2)/(ndf1*(ndf2-1)*(ndf2-1)*(ndf2-4))
 964 //
 965 // With the "sides" parameter a one-sided or two-sided test can be selected
 966 // using either the upper or lower tail contents.
 967 // In case of automatic upper/lower selection the decision is made on basis
 968 // of the location of the input f value w.r.t. <F> of the distribution.
 969 //
 970 // sides =  1 : One-sided test using the upper tail contents
 971 //          2 : Two-sided test using the upper tail contents
 972 //         -1 : One-sided test using the lower tail contents
 973 //         -2 : Two-sided test using the lower tail contents
 974 //          0 : One-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
 975 //          3 : Two-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
 976 //
 977 // The argument "sigma" allows for the following return values :
 978 //
 979 // sigma = 0 : P-value is returned as the above specified fraction
 980 //         1 : The difference f-<F> expressed in units of sigma
 981 //             Note : This difference may be negative and sigma
 982 //                    is only defined for ndf2>4.
 983 //
 984 // The default values are sides=0 and sigma=0.
 985 //
 986 //--- NvE 21-may-2005 Utrecht University
 987
 988  if (ndf1<=0 || ndf2<=0 || f<=0) return 0;
 989
 990  Double_t mean=double(ndf2/(ndf2-2));
 991
 992  if (!sides) // Automatic one-sided test
 993  {
 994   sides=1;
 995   if (f<mean) sides=-1;
 996  }
 997
 998  if (sides==3) // Automatic two-sided test
 999  {
1000   sides=2;
1001   if (f<mean) sides=-2;
1002  }
1003
1004  Double_t val=0;
1005  if (sigma) // P-value in units of sigma
1006  {
1007   // Sigma is only defined for ndf2>4
1008   if (ndf2>4)
1009   {
1010    Double_t s=sqrt(double(ndf2*ndf2*(2*ndf2+2*ndf1-4))/double(ndf1*pow(ndf2-1,2)*(ndf2-4)));
1011    val=(f-mean)/s;
1012   }
1013  }
1014  else // P-value from tail contents
1015  {
1016   if (sides>0) // Upper tail
1017   {
1018    val=1.-TMath::FDistI(f,ndf1,ndf2);
1019   }
1020   else // Lower tail
1021   {
1022    val=TMath::FDistI(f,ndf1,ndf2);
1023   }
1024  }
1025
1026  if (abs(sides)==2) val=val*2.;
1027
1028  return val;
1029 }
1030 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1031 Double_t AliMath::BinomialPvalue(Int_t k,Int_t n,Double_t p,Int_t sides,Int_t sigma,Int_t mode) const
1032 {
1033 // Computation of the P-value for a certain specified number of successes k
1034 // for a Binomial distribution with n trials and success probability p.
1035 //
1036 // The P-value for a certain number of successes k corresponds to the fraction of
1037 // repeatedly drawn equivalent samples from a certain population, which is expected
1038 // to yield a number of successes exceeding (less than) the value k for an
1039 // upper (lower) tail test in case a certain hypothesis is true.
1040 //
1041 // Further details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
1042 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
1043 //
1044 // Note : <K>=n*p  Var(K)=n*p*(1-p)
1045 //
1046 // With the "sides" parameter a one-sided or two-sided test can be selected
1047 // using either the upper or lower tail contents.
1048 // In case of automatic upper/lower selection the decision is made on basis
1049 // of the location of the input k value w.r.t. <K> of the distribution.
1050 //
1051 // sides =  1 : One-sided test using the upper tail contents
1052 //          2 : Two-sided test using the upper tail contents
1053 //         -1 : One-sided test using the lower tail contents
1054 //         -2 : Two-sided test using the lower tail contents
1055 //          0 : One-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
1056 //          3 : Two-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
1057 //
1058 // The argument "sigma" allows for the following return values :
1059 //
1060 // sigma = 0 : P-value is returned as the above specified fraction
1061 //         1 : The difference k-<K> expressed in units of sigma
1062 //             Note : This difference may be negative.
1063 //
1064 // mode = 0 : Incomplete Beta function will be used to calculate the tail content.
1065 //        1 : Straightforward summation of the Binomial terms is used.
1066 //
1067 // The Incomplete Beta function in general provides the most accurate values.
1068 //
1069 // The default values are sides=0, sigma=0 and mode=0.
1070 //
1071 //--- NvE 24-may-2005 Utrecht University
1072
1073  Double_t mean=double(n)*p;
1074
1075  if (!sides) // Automatic one-sided test
1076  {
1077   sides=1;
1078   if (k<mean) sides=-1;
1079  }
1080
1081  if (sides==3) // Automatic two-sided test
1082  {
1083   sides=2;
1084   if (k<mean) sides=-2;
1085  }
1086
1087  Double_t val=0;
1088
1089  if (sigma) // P-value in units of sigma
1090  {
1091   Double_t s=sqrt(double(n)*p*(1.-p));
1092   val=(double(k)-mean)/s;
1093  }
1094  else // P-value from tail contents
1095  {
1096   if (sides>0)
1097   {
1098    if (!mode) // Use Incomplete Beta function
1099    {
1100     val=TMath::BetaIncomplete(p,k+1,n-k);
1101    }
1102    else // Use straightforward summation
1103    {
1104     for (Int_t i=k+1; i<=n; i++)
1105     {
1106      val+=TMath::Binomial(n,i)*pow(p,i)*pow(1.-p,n-i);
1107     }
1108    }
1109   }
1110   else
1111   {
1112    if (!mode) // Use Incomplete Beta function
1113    {
1114     val=1.-TMath::BetaIncomplete(p,k+1,n-k);
1115    }
1116    else
1117    {
1118     for (Int_t j=0; j<=k; j++)
1119     {
1120      val+=TMath::Binomial(n,j)*pow(p,j)*pow(1.-p,n-j);
1121     }
1122    }
1123   }
1124  }
1125
1126  if (abs(sides)==2) val=val*2.;
1127
1128  return val;
1129 }
1130 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1131 Double_t AliMath::PoissonPvalue(Int_t k,Double_t mu,Int_t sides,Int_t sigma) const
1132 {
1133 // Computation of the P-value for a certain specified number of occurrences k
1134 // for a Poisson distribution with a specified average rate (in time or space)
1135 // mu of occurrences.
1136 //
1137 // The P-value for a certain number of occurrences k corresponds to the fraction of
1138 // repeatedly drawn equivalent samples from a certain population, which is expected
1139 // to yield a number of occurrences exceeding (less than) the value k for an
1140 // upper (lower) tail test in case a certain hypothesis is true.
1141 //
1142 // Further details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
1143 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
1144 //
1145 // Note : <K>=mu  Var(K)=mu
1146 //
1147 // With the "sides" parameter a one-sided or two-sided test can be selected
1148 // using either the upper or lower tail contents.
1149 // In case of automatic upper/lower selection the decision is made on basis
1150 // of the location of the input k value w.r.t. <K> of the distribution.
1151 //
1152 // sides =  1 : One-sided test using the upper tail contents
1153 //          2 : Two-sided test using the upper tail contents
1154 //         -1 : One-sided test using the lower tail contents
1155 //         -2 : Two-sided test using the lower tail contents
1156 //          0 : One-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
1157 //          3 : Two-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
1158 //
1159 // The argument "sigma" allows for the following return values :
1160 //
1161 // sigma = 0 : P-value is returned as the above specified fraction
1162 //         1 : The difference k-<K> expressed in units of sigma
1163 //             Note : This difference may be negative.
1164 //
1165 // The default values are sides=0 and sigma=0.
1166 //
1167 // Note : The tail contents are given by the incomplete Gamma function P(a,x).
1168 //        Lower tail contents = 1-P(k,mu)
1169 //        Upper tail contents = P(k,mu)
1170 //
1171 //--- NvE 24-may-2005 Utrecht University
1172
1173  Double_t mean=mu;
1174
1175  if (!sides) // Automatic one-sided test
1176  {
1177   sides=1;
1178   if (k<mean) sides=-1;
1179  }
1180
1181  if (sides==3) // Automatic two-sided test
1182  {
1183   sides=2;
1184   if (k<mean) sides=-2;
1185  }
1186
1187  Double_t val=0;
1188
1189  if (sigma) // P-value in units of sigma
1190  {
1191   Double_t s=sqrt(mu);
1192   val=(double(k)-mean)/s;
1193  }
1194  else // P-value from tail contents
1195  {
1196   if (sides>0) // Upper tail
1197   {
1198    val=Gamma(k,mu);
1199   }
1200   else // Lower tail
1201   {
1202    val=1.-Gamma(k,mu);
1203   }
1204  }
1205
1206  if (abs(sides)==2) val=val*2.;
1207
1208  return val;
1209 }
1210 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1211 Double_t AliMath::NegBinomialPvalue(Int_t n,Int_t k,Double_t p,Int_t sides,Int_t sigma,Int_t mode) const
1212 {
1213 // Computation of the P-value for a certain specified number of trials n
1214 // for a Negative Binomial distribution where exactly k successes are to
1215 // be reached which have each a probability p.
1216 //
1217 // The P-value for a certain number of trials n corresponds to the fraction of
1218 // repeatedly drawn equivalent samples from a certain population, which is expected
1219 // to yield a number of trials exceeding (less than) the value n for an
1220 // upper (lower) tail test in case a certain hypothesis is true.
1221 //
1222 // Further details can be found in the excellent textbook of Phil Gregory
1223 // "Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences".
1224 //
1225 // Note : <N>=k*(1-p)/p  Var(N)=k*(1-p)/(p*p)
1226 //
1227 // With the "sides" parameter a one-sided or two-sided test can be selected
1228 // using either the upper or lower tail contents.
1229 // In case of automatic upper/lower selection the decision is made on basis
1230 // of the location of the input n value w.r.t. <N> of the distribution.
1231 //
1232 // sides =  1 : One-sided test using the upper tail contents
1233 //          2 : Two-sided test using the upper tail contents
1234 //         -1 : One-sided test using the lower tail contents
1235 //         -2 : Two-sided test using the lower tail contents
1236 //          0 : One-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
1237 //          3 : Two-sided test using the auto-selected upper or lower tail contents
1238 //
1239 // The argument "sigma" allows for the following return values :
1240 //
1241 // sigma = 0 : P-value is returned as the above specified fraction
1242 //         1 : The difference n-<N> expressed in units of sigma
1243 //             Note : This difference may be negative.
1244 //
1245 // mode = 0 : Incomplete Beta function will be used to calculate the tail content.
1246 //        1 : Straightforward summation of the Negative Binomial terms is used.
1247 //
1248 // The Incomplete Beta function in general provides the most accurate values.
1249 //
1250 // The default values are sides=0, sigma=0 and mode=0.
1251 //
1252 //--- NvE 24-may-2005 Utrecht University
1253
1254  Double_t mean=double(k)*(1.-p)/p;
1255
1256  if (!sides) // Automatic one-sided test
1257  {
1258   sides=1;
1259   if (n<mean) sides=-1;
1260  }
1261
1262  if (sides==3) // Automatic two-sided test
1263  {
1264   sides=2;
1265   if (n<mean) sides=-2;
1266  }
1267
1268  Double_t val=0;
1269
1270  if (sigma) // P-value in units of sigma
1271  {
1272   Double_t s=sqrt(double(k)*(1.-p)/(p*p));
1273   val=(double(n)-mean)/s;
1274  }
1275  else // P-value from tail contents
1276  {
1277   if (sides>0) // Upper tail
1278   {
1279    if (!mode) // Use Incomplete Beta function
1280    {
1281     val=1.-TMath::BetaIncomplete(p,k,n-k);
1282    }
1283    else // Use straightforward summation
1284    {
1285     for (Int_t i=1; i<n; i++)
1286     {
1287      val+=TMath::Binomial(i-1,k-1)*pow(p,k)*pow(1.-p,i-k);
1288     }
1289     val=1.-val;
1290    }
1291   }
1292   else // Lower tail
1293   {
1294    if (!mode) // Use Incomplete Beta function
1295    {
1296     val=TMath::BetaIncomplete(p,k,n-k);
1297    }
1298    else
1299    {
1300     for (Int_t j=1; j<n; j++)
1301     {
1302      val+=TMath::Binomial(j-1,k-1)*pow(p,k)*pow(1.-p,j-k);
1303     }
1304    }
1305   }
1306  }
1307
1308  if (abs(sides)==2) val=val*2.;
1309
1310  return val;
1311 }
1312 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////