PYTHIA8/pythia8175/htmldoc/FourVectors.html

   1 <html>
   2 <head>
   3 <title>Four-Vectors</title>
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   6 </head>
   7 <body>
   8
   9 <h2>Four-Vectors</h2>
  10
  11 The <code>Vec4</code> class gives a simple implementation of four-vectors.
  12 The member function names are based on the assumption that these
  13 represent four-momentum vectors. Thus one can get or set
  14 <i>p_x, p_y, p_z</i> and <i>e</i>, but not <i>x, y, z</i>
  15 or <i>t</i>. This is only a matter of naming, however; a
  16 <code>Vec4</code> can equally well be used to store a space-time
  17 four-vector.
  18
  19 <p/>
  20 The <code>Particle</code> object contains a <code>Vec4 p</code> that
  21 stores the particle four-momentum, and another <code>Vec4 vProd</code>
  22 for the production vertex. For the latter the input/output method
  23 names are adapted to the space-time character rather than the normal
  24 energy-momentum one. Thus a user would not normally access the
  25 <code>Vec4</code> classes directly, but only via the methods of the
  26 <code>Particle</code> class,
  27 see <a href="ParticleProperties.html" target="page">Particle Properties</a>.
  28
  29 <p/>
  30 Nevertheless you are free to use the PYTHIA four-vectors, e.g. as
  31 part of some simple analysis code based directly on the PYTHIA output,
  32 say to define the four-vector sum of a set of particles. But note that
  33 this class was never set up to allow complete generality, only  to
  34 provide the operations that are of use inside PYTHIA. There is no
  35 separate class for three-vectors, since such can easily be represented
  36 by four-vectors where the fourth component is not used.
  37
  38 <p/>
  39 Four-vectors have the expected functionality: they can be created,
  40 copied, added, multiplied, rotated, boosted, and manipulated in other
  41 ways. Operator overloading is implemented where reasonable. Properties
  42 can be read out, not only the components themselves but also for derived
  43 quantities such as absolute momentum and direction angles.
  44
  45 <h3>Constructors and basic operators</h3>
  46
  47 A few methods are available to create or copy a four-vector:
  48
  49 <a name="method1"></a>
  50 <p/><strong>Vec4::Vec4(double x = 0., double y = 0., double z = 0., double t = 0.) &nbsp;</strong> <br/>
  51 creates a four-vector, by default with all components set to 0.
  52
  53
  54 <a name="method2"></a>
  55 <p/><strong>Vec4::Vec4(const Vec4& v) &nbsp;</strong> <br/>
  56 creates a four-vector copy of the input four-vector.
  57
  58
  59 <a name="method3"></a>
  60 <p/><strong>Vec4& Vec4::operator=(const Vec4& v) &nbsp;</strong> <br/>
  61 copies the input four-vector.
  62
  63
  64 <a name="method4"></a>
  65 <p/><strong>Vec4& Vec4::operator=(double value) &nbsp;</strong> <br/>
  66 gives a  four-vector with all components set to <i>value</i>.
  67
  68
  69 <h3>Member methods for input</h3>
  70
  71 The values stored in a four-vector can be modified in a few different
  72 ways:
  73
  74 <a name="method5"></a>
  75 <p/><strong>void Vec4::reset() &nbsp;</strong> <br/>
  76 sets all components to 0.
  77
  78
  79 <a name="method6"></a>
  80 <p/><strong>void Vec4::p(double pxIn, double pyIn, double pzIn, double eIn) &nbsp;</strong> <br/>
  81 sets all components to their input values.
  82
  83
  84 <a name="method7"></a>
  85 <p/><strong>void Vec4::p(Vec4 pIn) &nbsp;</strong> <br/>
  86 sets all components equal to those of the input four-vector.
  87
  88
  89 <a name="method8"></a>
  90 <p/><strong>void Vec4::px(double pxIn) &nbsp;</strong> <br/>
  91
  92 <strong>void Vec4::py(double pyIn) &nbsp;</strong> <br/>
  93
  94 <strong>void Vec4::pz(double pzIn) &nbsp;</strong> <br/>
  95
  96 <strong>void Vec4::e(double eIn) &nbsp;</strong> <br/>
  97 sets the respective component to the input value.
  98
  99
 100 <h3>Member methods for output</h3>
 101
 102 A number of methods provides output of basic or derived quantities:
 103
 104 <a name="method9"></a>
 105 <p/><strong>double Vec4::px() &nbsp;</strong> <br/>
 106
 107 <strong>double Vec4::py() &nbsp;</strong> <br/>
 108
 109 <strong>double Vec4::pz() &nbsp;</strong> <br/>
 110
 111 <strong>double Vec4::e() &nbsp;</strong> <br/>
 112 gets the respective component.
 113
 114
 115 <a name="method10"></a>
 116 <p/><strong>double Vec4::mCalc() &nbsp;</strong> <br/>
 117
 118 <strong>double Vec4::m2Calc() &nbsp;</strong> <br/>
 119 the (squared) mass, calculated from the four-vectors.
 120 If <i>m^2 &lt; 0</i> the mass is given with a minus sign,
 121 <i>-sqrt(-m^2)</i>.  Note the possible loss of precision
 122 in the calculation of <i>E^2 - p^2</i>; for particles the
 123 correct mass is stored separately to avoid such problems.
 124
 125
 126 <a name="method11"></a>
 127 <p/><strong>double Vec4::pT() &nbsp;</strong> <br/>
 128
 129 <strong>double Vec4::pT2() &nbsp;</strong> <br/>
 130 the (squared) transverse momentum.
 131
 132
 133 <a name="method12"></a>
 134 <p/><strong>double Vec4::pAbs() &nbsp;</strong> <br/>
 135
 136 <strong>double Vec4::pAbs2() &nbsp;</strong> <br/>
 137 the (squared) absolute momentum.
 138
 139
 140 <a name="method13"></a>
 141 <p/><strong>double Vec4::eT() &nbsp;</strong> <br/>
 142
 143 <strong>double Vec4::eT2() &nbsp;</strong> <br/>
 144 the (squared) transverse energy,
 145 <i>eT = e * sin(theta) = e * pT / pAbs</i>.
 146
 147
 148 <a name="method14"></a>
 149 <p/><strong>double Vec4::theta() &nbsp;</strong> <br/>
 150 the polar angle, in the range 0 through
 151 <i>pi</i>.
 152
 153
 154 <a name="method15"></a>
 155 <p/><strong>double Vec4::phi() &nbsp;</strong> <br/>
 156 the azimuthal angle, in the range <i>-pi</i> through <i>pi</i>.
 157
 158
 159 <a name="method16"></a>
 160 <p/><strong>double Vec4::thetaXZ() &nbsp;</strong> <br/>
 161 the angle in the <i>xz</i> plane, in the range <i>-pi</i> through
 162 <i>pi</i>, with 0 along the <i>+z</i> axis.
 163
 164
 165 <a name="method17"></a>
 166 <p/><strong>double Vec4::pPos() &nbsp;</strong> <br/>
 167
 168 <strong>double Vec4::pNeg() &nbsp;</strong> <br/>
 169 the combinations <i>E+-p_z</i>.
 170
 171 <a name="method18"></a>
 172 <p/><strong>double Vec4::rap() &nbsp;</strong> <br/>
 173
 174 <strong>double Vec4::eta() &nbsp;</strong> <br/>
 175 true rapidity <i>y</i> and pseudorapidity <i>eta</i>.
 176
 177
 178 <h3>Friend methods for output</h3>
 179
 180 There are also some <code>friend</code> methods that take one, two
 181 or three four-vectors as argument. Several of them only use the
 182 three-vector part of the four-vector.
 183
 184 <a name="method19"></a>
 185 <p/><strong>friend ostream& operator&lt;&lt;(ostream&, const Vec4& v) &nbsp;</strong> <br/>
 186 writes out the values of the four components of a <code>Vec4</code> and,
 187 within brackets, a fifth component being the invariant length of the
 188 four-vector, as provided by <code>mCalc()</code> above, and it all
 189 ended with a newline.
 190
 191
 192 <a name="method20"></a>
 193 <p/><strong>friend double m(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 194
 195 <strong>friend double m2(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 196 the (squared) invariant mass.
 197
 198
 199 <a name="method21"></a>
 200 <p/><strong>friend double dot3(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 201 the three-product.
 202
 203
 204 <a name="method22"></a>
 205 <p/><strong>friend double cross3(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 206 the cross-product.
 207
 208
 209 <a name="method23"></a>
 210 <p/><strong>friend double theta(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 211
 212 <strong>friend double costheta(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 213 the (cosine) of the opening angle between the vectors,
 214 in the range 0 through <i>pi</i>.
 215
 216
 217 <a name="method24"></a>
 218 <p/><strong>friend double phi(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 219
 220 <strong>friend double cosphi(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 221 the (cosine) of the azimuthal angle between the vectors around the
 222 <i>z</i> axis, in the range 0 through <i>pi</i>.
 223
 224
 225 <a name="method25"></a>
 226 <p/><strong>friend double phi(const Vec4& v1, const Vec4& v2, const Vec4& v3) &nbsp;</strong> <br/>
 227
 228 <strong>friend double cosphi(const Vec4& v1, const Vec4& v2, const Vec4& v3) &nbsp;</strong> <br/>
 229 the (cosine) of the azimuthal angle between the first two vectors
 230 around the direction of the third, in the range 0 through <i>pi</i>.
 231
 232
 233 <a name="method26"></a>
 234 <p/><strong>friend double RRapPhi(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 235
 236 <strong>friend double REtaPhi(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 237 the <i>R</i> distance measure, in <i>(y, phi)</i> or
 238 <i>(eta, phi)</i> cylindrical coordinates, i.e.
 239 <i>R^2 = (y_1 - y_2)^2 + (phi_1 - phi_2)^2</i> and equivalent.
 240
 241
 242 <h3>Operations with four-vectors</h3>
 243
 244 Of course one should be able to add, subtract and scale four-vectors,
 245 and more:
 246
 247 <a name="method27"></a>
 248 <p/><strong>Vec4 Vec4::operator-() &nbsp;</strong> <br/>
 249 return a vector with flipped sign for all components, while leaving
 250 the original vector unchanged.
 251
 252
 253 <a name="method28"></a>
 254 <p/><strong>Vec4& Vec4::operator+=(const Vec4& v) &nbsp;</strong> <br/>
 255 add a four-vector to an existing one.
 256
 257
 258 <a name="method29"></a>
 259 <p/><strong>Vec4& Vec4::operator-=(const Vec4& v) &nbsp;</strong> <br/>
 260 subtract a four-vector from an existing one.
 261
 262
 263 <a name="method30"></a>
 264 <p/><strong>Vec4& Vec4::operator*=(double f) &nbsp;</strong> <br/>
 265 multiply all four-vector components by a real number.
 266
 267
 268 <a name="method31"></a>
 269 <p/><strong>Vec4& Vec4::operator/=(double f) &nbsp;</strong> <br/>
 270 divide all four-vector components by a real number.
 271
 272
 273 <a name="method32"></a>
 274 <p/><strong>friend Vec4 operator+(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 275 add two four-vectors.
 276
 277
 278 <a name="method33"></a>
 279 <p/><strong>friend Vec4 operator-(const Vec4& v1, const Vec4& v2) &nbsp;</strong> <br/>
 280 subtract two four-vectors.
 281
 282
 283 <a name="method34"></a>
 284 <p/><strong>friend Vec4 operator*(double f, const Vec4& v) &nbsp;</strong> <br/>
 285
 286 <strong>friend Vec4 operator*(const Vec4& v, double f) &nbsp;</strong> <br/>
 287 multiply a four-vector by a real number.
 288
 289
 290 <a name="method35"></a>
 291 <p/><strong>friend Vec4 operator/(const Vec4& v, double f) &nbsp;</strong> <br/>
 292 divide a four-vector by a real number.
 293
 294
 295 <a name="method36"></a>
 296 <p/><strong>friend double operator*(const Vec4& v1, const Vec4 v2) &nbsp;</strong> <br/>
 297 four-vector product.
 298
 299
 300 <p/>
 301 There are also a few related operations that are normal member methods:
 302
 303 <a name="method37"></a>
 304 <p/><strong>void Vec4::rescale3(double f) &nbsp;</strong> <br/>
 305 multiply the three-vector components by <i>f</i>, but keep the
 306 fourth component unchanged.
 307
 308
 309 <a name="method38"></a>
 310 <p/><strong>void Vec4::rescale4(double f) &nbsp;</strong> <br/>
 311 multiply all four-vector components by <i>f</i>.
 312
 313
 314 <a name="method39"></a>
 315 <p/><strong>void Vec4::flip3() &nbsp;</strong> <br/>
 316 flip the sign of the three-vector components, but keep the
 317 fourth component unchanged.
 318
 319
 320 <a name="method40"></a>
 321 <p/><strong>void Vec4::flip4() &nbsp;</strong> <br/>
 322 flip the sign of all four-vector components.
 323
 324
 325 <h3>Rotations and boosts</h3>
 326
 327 A common task is to rotate or boost four-vectors. In case only one
 328 four-vector is affected the operation may be performed directly on it.
 329 However, in case many particles are affected, the helper class
 330 <code>RotBstMatrix</code> can be used to speed up operations.
 331
 332 <a name="method41"></a>
 333 <p/><strong>void Vec4::rot(double theta, double phi) &nbsp;</strong> <br/>
 334 rotate the three-momentum with the polar angle <i>theta</i>
 335 and the azimuthal angle <i>phi</i>.
 336
 337
 338 <a name="method42"></a>
 339 <p/><strong>void Vec4::rotaxis(double phi, double nx, double ny, double nz) &nbsp;</strong> <br/>
 340 rotate the three-momentum with the azimuthal angle <i>phi</i>
 341 around the direction defined by the <i>(n_x, n_y, n_z)</i>
 342 three-vector.
 343
 344
 345 <a name="method43"></a>
 346 <p/><strong>void Vec4::rotaxis(double phi, Vec4& n) &nbsp;</strong> <br/>
 347 rotate the three-momentum with the azimuthal angle <i>phi</i>
 348 around the direction defined by the three-vector part of <i>n</i>.
 349
 350
 351 <a name="method44"></a>
 352 <p/><strong>void Vec4::bst(double betaX, double betaY, double betaZ) &nbsp;</strong> <br/>
 353 boost the four-momentum by <i>beta = (beta_x, beta_y, beta_z)</i>.
 354
 355
 356 <a name="method45"></a>
 357 <p/><strong>void Vec4::bst(double betaX, double betaY, double betaZ,double gamma) &nbsp;</strong> <br/>
 358 boost the four-momentum by <i>beta = (beta_x, beta_y, beta_z)</i>,
 359 where the <i>gamma = 1/sqrt(1 - beta^2)</i> is also input to allow
 360 better precision when <i>beta</i> is close to unity.
 361
 362
 363 <a name="method46"></a>
 364 <p/><strong>void Vec4::bst(const Vec4& p) &nbsp;</strong> <br/>
 365 boost the four-momentum by <i>beta = (p_x/E, p_y/E, p_z/E)</i>.
 366
 367
 368 <a name="method47"></a>
 369 <p/><strong>void Vec4::bst(const Vec4& p, double m) &nbsp;</strong> <br/>
 370 boost the four-momentum by <i>beta = (p_x/E, p_y/E, p_z/E)</i>,
 371 where the <i>gamma = E/m</i> is also calculated from input to allow
 372 better precision when <i>beta</i> is close to unity.
 373
 374
 375 <a name="method48"></a>
 376 <p/><strong>void Vec4::bstback(const Vec4& p) &nbsp;</strong> <br/>
 377 boost the four-momentum by <i>beta = (-p_x/E, -p_y/E, -p_z/E)</i>.
 378
 379
 380 <a name="method49"></a>
 381 <p/><strong>void Vec4::bstback(const Vec4& p, double m) &nbsp;</strong> <br/>
 382 boost the four-momentum by <i>beta = (-p_x/E, -p_y/E, -p_z/E)</i>,
 383 where the <i>gamma = E/m</i> is also calculated from input to allow
 384 better precision when <i>beta</i> is close to unity.
 385
 386
 387 <a name="method50"></a>
 388 <p/><strong>void Vec4::rotbst(const RotBstMatrix& M) &nbsp;</strong> <br/>
 389 perform a combined rotation and boost; see below for a description
 390 of the <code>RotBstMatrix</code>.
 391
 392
 393 <p/>
 394 For a longer sequence of rotations and boosts, and where several
 395 <code>Vec4</code> are to be rotated and boosted in the same way,
 396 a more efficient approach is to define a <code>RotBstMatrix</code>,
 397 which forms a separate auxiliary class. You can build up this
 398 4-by-4 matrix by successive calls to the methods of the class,
 399 such that the matrix encodes the full sequence of operations.
 400 The order in which you do these calls must agree with the imagined
 401 order in which the rotations/boosts should be applied to a
 402 four-momentum, since in general the operations do not commute.
 403
 404 <a name="method51"></a>
 405 <p/><strong>RotBstMatrix::RotBstMatrix() &nbsp;</strong> <br/>
 406 creates a diagonal unit matrix, i.e. one that leaves a four-vector
 407 unchanged.
 408
 409
 410 <a name="method52"></a>
 411 <p/><strong>RotBstMatrix::RotBstMatrix(const RotBstMatrix& Min) &nbsp;</strong> <br/>
 412 creates a copy of the input matrix.
 413
 414
 415 <a name="method53"></a>
 416 <p/><strong>RotBstMatrix& RotBstMatrix::operator=(const RotBstMatrix4& Min) &nbsp;</strong> <br/>
 417 copies the input matrix.
 418
 419
 420 <a name="method54"></a>
 421 <p/><strong>void RotBstMatrix::rot(double theta = 0., double phi = 0.) &nbsp;</strong> <br/>
 422 rotate by this polar and azimuthal angle.
 423
 424
 425 <a name="method55"></a>
 426 <p/><strong>void RotBstMatrix::rot(const Vec4& p) &nbsp;</strong> <br/>
 427 rotate so that a vector originally along the <i>+z</i> axis becomes
 428 parallel with <i>p</i>. More specifically, rotate by <i>-phi</i>,
 429 <i>theta</i> and <i>phi</i>, with angles defined by <i>p</i>.
 430
 431
 432 <a name="method56"></a>
 433 <p/><strong>void RotBstMatrix::bst(double betaX = 0., double betaY = 0., double betaZ = 0.) &nbsp;</strong> <br/>
 434 boost by this <i>beta</i> vector.
 435
 436
 437 <a name="method57"></a>
 438 <p/><strong>void RotBstMatrix::bst(const Vec4&) &nbsp;</strong> <br/>
 439
 440 <strong>void RotBstMatrix::bstback(const Vec4&) &nbsp;</strong> <br/>
 441 boost with a <i>beta = p/E</i> or <i>beta = -p/E</i>, respectively.
 442
 443
 444 <a name="method58"></a>
 445 <p/><strong>void RotBstMatrix::bst(const Vec4& p1, const Vec4& p2) &nbsp;</strong> <br/>
 446 boost so that <i>p_1</i> is transformed to <i>p_2</i>. It is assumed
 447 that the two vectors obey <i>p_1^2 = p_2^2</i>.
 448
 449
 450 <a name="method59"></a>
 451 <p/><strong>void RotBstMatrix::toCMframe(const Vec4& p1, const Vec4& p2) &nbsp;</strong> <br/>
 452 boost and rotate to the rest frame of <i>p_1</i> and <i>p_2</i>,
 453 with <i>p_1</i> along the <i>+z</i> axis.
 454
 455
 456 <a name="method60"></a>
 457 <p/><strong>void RotBstMatrix::fromCMframe(const Vec4& p1, const Vec4& p2) &nbsp;</strong> <br/>
 458 rotate and boost from the rest frame of <i>p_1</i> and <i>p_2</i>,
 459 with <i>p_1</i> along the <i>+z</i> axis, to the actual frame of
 460 <i>p_1</i> and <i>p_2</i>, i.e. the inverse of the above.
 461
 462
 463 <a name="method61"></a>
 464 <p/><strong>void RotBstMatrix::rotbst(const RotBstMatrix& Min); &nbsp;</strong> <br/>
 465 combine the current matrix with another one.
 466
 467
 468 <a name="method62"></a>
 469 <p/><strong>void RotBstMatrix::invert() &nbsp;</strong> <br/>
 470 invert the matrix, which corresponds to an opposite sequence and sign
 471 of rotations and boosts.
 472
 473
 474 <a name="method63"></a>
 475 <p/><strong>void RotBstMatrix::reset() &nbsp;</strong> <br/>
 476 reset to no rotation/boost; i.e. the default at creation.
 477
 478
 479 <a name="method64"></a>
 480 <p/><strong>double RotBstMatrix::deviation() &nbsp;</strong> <br/>
 481 crude estimate how much a matrix deviates from the unit matrix:
 482 the sum of the absolute values of all non-diagonal matrix elements
 483 plus the sum of the absolute deviation of the diagonal matrix
 484 elements from unity.
 485
 486
 487 <a name="method65"></a>
 488 <p/><strong>friend ostream& operator&lt;&lt;(ostream&, const RotBstMatrix& M) &nbsp;</strong> <br/>
 489 writes out the values of the sixteen components of a
 490 <code>RotBstMatrix</code>, on four consecutive lines and
 491 ended with a newline.
 492
 493
 494 </body>
 495 </html>
 496
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