STEER/STEERBase/AliExternalTrackParam.cxx

   1 /**************************************************************************
   2  * Copyright(c) 1998-1999, ALICE Experiment at CERN, All rights reserved. *
   3  *                                                                        *
   4  * Author: The ALICE Off-line Project.                                    *
   5  * Contributors are mentioned in the code where appropriate.              *
   6  *                                                                        *
   7  * Permission to use, copy, modify and distribute this software and its   *
   8  * documentation strictly for non-commercial purposes is hereby granted   *
   9  * without fee, provided that the above copyright notice appears in all   *
  10  * copies and that both the copyright notice and this permission notice   *
  11  * appear in the supporting documentation. The authors make no claims     *
  12  * about the suitability of this software for any purpose. It is          *
  13  * provided "as is" without express or implied warranty.                  *
  14  **************************************************************************/
  15
  16 /* $Id$ */
  17
  18 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  19 //                                                                           //
  20 // Implementation of the external track parameterisation class.              //
  21 //                                                                           //
  22 // This parameterisation is used to exchange tracks between the detectors.   //
  23 // A set of functions returning the position and the momentum of tracks      //
  24 // in the global coordinate system as well as the track impact parameters    //
  25 // are implemented.
  26 // Origin: I.Belikov, CERN, Jouri.Belikov@cern.ch                            //
  27 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  28 #include <cassert>
  29
  30 #include <TVectorD.h>
  31 #include <TMatrixDSym.h>
  32 #include <TPolyMarker3D.h>
  33 #include <TVector3.h>
  34 #include <TMatrixD.h>
  35
  36 #include "AliExternalTrackParam.h"
  37 #include "AliVVertex.h"
  38 #include "AliLog.h"
  39
  40 ClassImp(AliExternalTrackParam)
  41
  42 Double32_t AliExternalTrackParam::fgMostProbablePt=kMostProbablePt;
  43 Bool_t AliExternalTrackParam::fgUseLogTermMS = kFALSE;;
  44 //_____________________________________________________________________________
  45 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam() :
  46   AliVTrack(),
  47   fX(0),
  48   fAlpha(0)
  49 {
  50   //
  51   // default constructor
  52   //
  53   for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = 0;
  54   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = 0;
  55 }
  56
  57 //_____________________________________________________________________________
  58 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(const AliExternalTrackParam &track):
  59   AliVTrack(track),
  60   fX(track.fX),
  61   fAlpha(track.fAlpha)
  62 {
  63   //
  64   // copy constructor
  65   //
  66   for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = track.fP[i];
  67   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = track.fC[i];
  68   CheckCovariance();
  69 }
  70
  71 //_____________________________________________________________________________
  72 AliExternalTrackParam& AliExternalTrackParam::operator=(const AliExternalTrackParam &trkPar)
  73 {
  74   //
  75   // assignment operator
  76   //
  77
  78   if (this!=&trkPar) {
  79     AliVTrack::operator=(trkPar);
  80     fX = trkPar.fX;
  81     fAlpha = trkPar.fAlpha;
  82
  83     for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = trkPar.fP[i];
  84     for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = trkPar.fC[i];
  85     CheckCovariance();
  86   }
  87
  88   return *this;
  89 }
  90
  91 //_____________________________________________________________________________
  92 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(Double_t x, Double_t alpha,
  93                                              const Double_t param[5],
  94                                              const Double_t covar[15]) :
  95   AliVTrack(),
  96   fX(x),
  97   fAlpha(alpha)
  98 {
  99   //
 100   // create external track parameters from given arguments
 101   //
 102   for (Int_t i = 0; i < 5; i++)  fP[i] = param[i];
 103   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = covar[i];
 104   CheckCovariance();
 105 }
 106
 107 //_____________________________________________________________________________
 108 void AliExternalTrackParam::CopyFromVTrack(const AliVTrack *vTrack)
 109 {
 110   //
 111   // Recreate TrackParams from VTrack
 112   // This is not a copy contructor !
 113   //
 114   if (!vTrack) {
 115     AliError("Source VTrack is NULL");
 116     return;
 117   }
 118   if (this==vTrack) {
 119     AliError("Copy of itself is requested");
 120     return;
 121   }
 122   //
 123   if (vTrack->InheritsFrom(AliExternalTrackParam::Class())) {
 124     AliDebug(1,"Source itself is AliExternalTrackParam, using assignment operator");
 125     *this = *(AliExternalTrackParam*)vTrack;
 126     return;
 127   }
 128   //
 129   AliVTrack::operator=( *vTrack );
 130   //
 131   Double_t xyz[3],pxpypz[3],cv[21];
 132   vTrack->GetXYZ(xyz);
 133   pxpypz[0]=vTrack->Px();
 134   pxpypz[1]=vTrack->Py();
 135   pxpypz[2]=vTrack->Pz();
 136   vTrack->GetCovarianceXYZPxPyPz(cv);
 137   Short_t sign = (Short_t)vTrack->Charge();
 138   Set(xyz,pxpypz,cv,sign);
 139 }
 140
 141 //_____________________________________________________________________________
 142 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(const AliVTrack *vTrack) :
 143   AliVTrack(),
 144   fX(0.),
 145   fAlpha(0.)
 146 {
 147   //
 148   // Constructor from virtual track,
 149   // This is not a copy contructor !
 150   //
 151
 152   if (vTrack->InheritsFrom("AliExternalTrackParam")) {
 153      AliError("This is not a copy constructor. Use AliExternalTrackParam(const AliExternalTrackParam &) !");
 154      AliWarning("Calling the default constructor...");
 155      AliExternalTrackParam();
 156      return;
 157   }
 158
 159   Double_t xyz[3],pxpypz[3],cv[21];
 160   vTrack->GetXYZ(xyz);
 161   pxpypz[0]=vTrack->Px();
 162   pxpypz[1]=vTrack->Py();
 163   pxpypz[2]=vTrack->Pz();
 164   vTrack->GetCovarianceXYZPxPyPz(cv);
 165   Short_t sign = (Short_t)vTrack->Charge();
 166
 167   Set(xyz,pxpypz,cv,sign);
 168 }
 169
 170 //_____________________________________________________________________________
 171 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(Double_t xyz[3],Double_t pxpypz[3],
 172                                              Double_t cv[21],Short_t sign) :
 173   AliVTrack(),
 174   fX(0.),
 175   fAlpha(0.)
 176 {
 177   //
 178   // constructor from the global parameters
 179   //
 180
 181   Set(xyz,pxpypz,cv,sign);
 182 }
 183
 184 //_____________________________________________________________________________
 185 void AliExternalTrackParam::Set(Double_t xyz[3],Double_t pxpypz[3],
 186                                 Double_t cv[21],Short_t sign)
 187 {
 188   //
 189   // create external track parameters from the global parameters
 190   // x,y,z,px,py,pz and their 6x6 covariance matrix
 191   // A.Dainese 10.10.08
 192
 193   // Calculate alpha: the rotation angle of the corresponding local system.
 194   //
 195   // For global radial position inside the beam pipe, alpha is the
 196   // azimuthal angle of the momentum projected on (x,y).
 197   //
 198   // For global radial position outside the ITS, alpha is the
 199   // azimuthal angle of the centre of the TPC sector in which the point
 200   // xyz lies
 201   //
 202   const double kSafe = 1e-5;
 203   Double_t radPos2 = xyz[0]*xyz[0]+xyz[1]*xyz[1];
 204   Double_t radMax  = 45.; // approximately ITS outer radius
 205   if (radPos2 < radMax*radMax) { // inside the ITS
 206      fAlpha = TMath::ATan2(pxpypz[1],pxpypz[0]);
 207   } else { // outside the ITS
 208      Float_t phiPos = TMath::Pi()+TMath::ATan2(-xyz[1], -xyz[0]);
 209      fAlpha =
 210      TMath::DegToRad()*(20*((((Int_t)(phiPos*TMath::RadToDeg()))/20))+10);
 211   }
 212   //
 213   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
 214   // protection:  avoid alpha being too close to 0 or +-pi/2
 215   if (TMath::Abs(sn)<kSafe) {
 216     if (fAlpha>0) fAlpha += fAlpha< TMath::Pi()/2. ?  kSafe : -kSafe;
 217     else          fAlpha += fAlpha>-TMath::Pi()/2. ? -kSafe :  kSafe;
 218     cs=TMath::Cos(fAlpha);
 219     sn=TMath::Sin(fAlpha);
 220   }
 221   else if (TMath::Abs(cs)<kSafe) {
 222     if (fAlpha>0) fAlpha += fAlpha> TMath::Pi()/2. ? kSafe : -kSafe;
 223     else          fAlpha += fAlpha>-TMath::Pi()/2. ? kSafe : -kSafe;
 224     cs=TMath::Cos(fAlpha);
 225     sn=TMath::Sin(fAlpha);
 226   }
 227   // Get the vertex of origin and the momentum
 228   TVector3 ver(xyz[0],xyz[1],xyz[2]);
 229   TVector3 mom(pxpypz[0],pxpypz[1],pxpypz[2]);
 230   //
 231   // avoid momenta along axis
 232   if (TMath::Abs(mom[0])<kSafe) mom[0] = TMath::Sign(kSafe*TMath::Abs(mom[1]), mom[0]);
 233   if (TMath::Abs(mom[1])<kSafe) mom[1] = TMath::Sign(kSafe*TMath::Abs(mom[0]), mom[1]);
 234
 235   // Rotate to the local coordinate system
 236   ver.RotateZ(-fAlpha);
 237   mom.RotateZ(-fAlpha);
 238
 239   // x of the reference plane
 240   fX = ver.X();
 241
 242   Double_t charge = (Double_t)sign;
 243
 244   fP[0] = ver.Y();
 245   fP[1] = ver.Z();
 246   fP[2] = TMath::Sin(mom.Phi());
 247   fP[3] = mom.Pz()/mom.Pt();
 248   fP[4] = TMath::Sign(1/mom.Pt(),charge);
 249
 250   // Covariance matrix (formulas to be simplified)
 251
 252   if      (TMath::Abs( 1-fP[2]) < kSafe) fP[2] = 1.- kSafe; //Protection
 253   else if (TMath::Abs(-1-fP[2]) < kSafe) fP[2] =-1.+ kSafe; //Protection
 254
 255   Double_t pt=1./TMath::Abs(fP[4]);
 256   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2]));
 257
 258   Double_t m00=-sn;// m10=cs;
 259   Double_t m23=-pt*(sn + fP[2]*cs/r), m43=-pt*pt*(r*cs - fP[2]*sn);
 260   Double_t m24= pt*(cs - fP[2]*sn/r), m44=-pt*pt*(r*sn + fP[2]*cs);
 261   Double_t m35=pt, m45=-pt*pt*fP[3];
 262
 263   m43*=GetSign();
 264   m44*=GetSign();
 265   m45*=GetSign();
 266
 267   Double_t cv34 = TMath::Sqrt(cv[3 ]*cv[3 ]+cv[4 ]*cv[4 ]);
 268   Double_t a1=cv[13]-cv[9]*(m23*m44+m43*m24)/m23/m43;
 269   Double_t a2=m23*m24-m23*(m23*m44+m43*m24)/m43;
 270   Double_t a3=m43*m44-m43*(m23*m44+m43*m24)/m23;
 271   Double_t a4=cv[14]-2.*cv[9]*m24*m44/m23/m43;
 272   Double_t a5=m24*m24-2.*m24*m44*m23/m43;
 273   Double_t a6=m44*m44-2.*m24*m44*m43/m23;
 274
 275   fC[0 ] = cv[0 ]+cv[2 ];
 276   fC[1 ] = TMath::Sign(cv34,cv[3 ]/m00);
 277   fC[2 ] = cv[5 ];
 278   fC[3 ] = (cv[10]/m44-cv[6]/m43)/(m24/m44-m23/m43)/m00;
 279   fC[10] = (cv[6]/m00-fC[3 ]*m23)/m43;
 280   fC[6 ] = (cv[15]/m00-fC[10]*m45)/m35;
 281   fC[4 ] = (cv[12]-cv[8]*m44/m43)/(m24-m23*m44/m43);
 282   fC[11] = (cv[8]-fC[4]*m23)/m43;
 283   fC[7 ] = cv[17]/m35-fC[11]*m45/m35;
 284   fC[5 ] = TMath::Abs((a4-a6*a1/a3)/(a5-a6*a2/a3));
 285   fC[14] = TMath::Abs(a1/a3-a2*fC[5]/a3);
 286   fC[12] = (cv[9]-fC[5]*m23*m23-fC[14]*m43*m43)/m23/m43;
 287   Double_t b1=cv[18]-fC[12]*m23*m45-fC[14]*m43*m45;
 288   Double_t b2=m23*m35;
 289   Double_t b3=m43*m35;
 290   Double_t b4=cv[19]-fC[12]*m24*m45-fC[14]*m44*m45;
 291   Double_t b5=m24*m35;
 292   Double_t b6=m44*m35;
 293   fC[8 ] = (b4-b6*b1/b3)/(b5-b6*b2/b3);
 294   fC[13] = b1/b3-b2*fC[8]/b3;
 295   fC[9 ] = TMath::Abs((cv[20]-fC[14]*(m45*m45)-fC[13]*2.*m35*m45)/(m35*m35));
 296
 297   CheckCovariance();
 298
 299   return;
 300 }
 301
 302 //_____________________________________________________________________________
 303 void AliExternalTrackParam::Reset() {
 304   //
 305   // Resets all the parameters to 0
 306   //
 307   fX=fAlpha=0.;
 308   for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = 0;
 309   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = 0;
 310 }
 311
 312 //_____________________________________________________________________________
 313 void AliExternalTrackParam::AddCovariance(const Double_t c[15]) {
 314   //
 315   // Add "something" to the track covarince matrix.
 316   // May be needed to account for unknown mis-calibration/mis-alignment
 317   //
 318     fC[0] +=c[0];
 319     fC[1] +=c[1];  fC[2] +=c[2];
 320     fC[3] +=c[3];  fC[4] +=c[4];  fC[5] +=c[5];
 321     fC[6] +=c[6];  fC[7] +=c[7];  fC[8] +=c[8];  fC[9] +=c[9];
 322     fC[10]+=c[10]; fC[11]+=c[11]; fC[12]+=c[12]; fC[13]+=c[13]; fC[14]+=c[14];
 323     CheckCovariance();
 324 }
 325
 326
 327 Double_t AliExternalTrackParam::GetP() const {
 328   //---------------------------------------------------------------------
 329   // This function returns the track momentum
 330   // Results for (nearly) straight tracks are meaningless !
 331   //---------------------------------------------------------------------
 332   if (TMath::Abs(fP[4])<=kAlmost0) return kVeryBig;
 333   return TMath::Sqrt(1.+ fP[3]*fP[3])/TMath::Abs(fP[4]);
 334 }
 335
 336 Double_t AliExternalTrackParam::Get1P() const {
 337   //---------------------------------------------------------------------
 338   // This function returns the 1/(track momentum)
 339   //---------------------------------------------------------------------
 340   return TMath::Abs(fP[4])/TMath::Sqrt(1.+ fP[3]*fP[3]);
 341 }
 342
 343 //_______________________________________________________________________
 344 Double_t AliExternalTrackParam::GetD(Double_t x,Double_t y,Double_t b) const {
 345   //------------------------------------------------------------------
 346   // This function calculates the transverse impact parameter
 347   // with respect to a point with global coordinates (x,y)
 348   // in the magnetic field "b" (kG)
 349   //------------------------------------------------------------------
 350   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) return GetLinearD(x,y);
 351   Double_t rp4=GetC(b);
 352
 353   Double_t xt=fX, yt=fP[0];
 354
 355   Double_t sn=TMath::Sin(fAlpha), cs=TMath::Cos(fAlpha);
 356   Double_t a = x*cs + y*sn;
 357   y = -x*sn + y*cs; x=a;
 358   xt-=x; yt-=y;
 359
 360   sn=rp4*xt - fP[2]; cs=rp4*yt + TMath::Sqrt((1.- fP[2])*(1.+fP[2]));
 361   a=2*(xt*fP[2] - yt*TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2])))-rp4*(xt*xt + yt*yt);
 362   return  -a/(1 + TMath::Sqrt(sn*sn + cs*cs));
 363 }
 364
 365 //_______________________________________________________________________
 366 void AliExternalTrackParam::
 367 GetDZ(Double_t x, Double_t y, Double_t z, Double_t b, Float_t dz[2]) const {
 368   //------------------------------------------------------------------
 369   // This function calculates the transverse and longitudinal impact parameters
 370   // with respect to a point with global coordinates (x,y)
 371   // in the magnetic field "b" (kG)
 372   //------------------------------------------------------------------
 373   Double_t f1 = fP[2], r1 = TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1));
 374   Double_t xt=fX, yt=fP[0];
 375   Double_t sn=TMath::Sin(fAlpha), cs=TMath::Cos(fAlpha);
 376   Double_t a = x*cs + y*sn;
 377   y = -x*sn + y*cs; x=a;
 378   xt-=x; yt-=y;
 379
 380   Double_t rp4=GetC(b);
 381   if ((TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) || (TMath::Abs(rp4) < kAlmost0)) {
 382      dz[0] = -(xt*f1 - yt*r1);
 383      dz[1] = fP[1] + (dz[0]*f1 - xt)/r1*fP[3] - z;
 384      return;
 385   }
 386
 387   sn=rp4*xt - f1; cs=rp4*yt + r1;
 388   a=2*(xt*f1 - yt*r1)-rp4*(xt*xt + yt*yt);
 389   Double_t rr=TMath::Sqrt(sn*sn + cs*cs);
 390   dz[0] = -a/(1 + rr);
 391   Double_t f2 = -sn/rr, r2 = TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
 392   dz[1] = fP[1] + fP[3]/rp4*TMath::ASin(f2*r1 - f1*r2) - z;
 393 }
 394
 395 //_______________________________________________________________________
 396 Double_t AliExternalTrackParam::GetLinearD(Double_t xv,Double_t yv) const {
 397   //------------------------------------------------------------------
 398   // This function calculates the transverse impact parameter
 399   // with respect to a point with global coordinates (xv,yv)
 400   // neglecting the track curvature.
 401   //------------------------------------------------------------------
 402   Double_t sn=TMath::Sin(fAlpha), cs=TMath::Cos(fAlpha);
 403   Double_t x= xv*cs + yv*sn;
 404   Double_t y=-xv*sn + yv*cs;
 405
 406   Double_t d = (fX-x)*fP[2] - (fP[0]-y)*TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2]));
 407
 408   return -d;
 409 }
 410
 411 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMeanMaterialdEdx
 412 (Double_t xOverX0,  Double_t xTimesRho, Double_t mass,
 413  Double_t dEdx,
 414  Bool_t anglecorr) {
 415   //------------------------------------------------------------------
 416   // This function corrects the track parameters for the crossed material.
 417   // "xOverX0"   - X/X0, the thickness in units of the radiation length.
 418   // "xTimesRho" - is the product length*density (g/cm^2).
 419   //     It should be passed as negative when propagating tracks
 420   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel.
 421   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2).
 422   // "dEdx" - mean enery loss (GeV/(g/cm^2)
 423   // "anglecorr" - switch for the angular correction
 424   //------------------------------------------------------------------
 425   Double_t &fP2=fP[2];
 426   Double_t &fP3=fP[3];
 427   Double_t &fP4=fP[4];
 428
 429   Double_t &fC22=fC[5];
 430   Double_t &fC33=fC[9];
 431   Double_t &fC43=fC[13];
 432   Double_t &fC44=fC[14];
 433
 434   //Apply angle correction, if requested
 435   if(anglecorr) {
 436     Double_t angle=TMath::Sqrt((1.+ fP3*fP3)/((1-fP2)*(1.+fP2)));
 437     xOverX0 *=angle;
 438     xTimesRho *=angle;
 439   }
 440
 441   Double_t p=GetP();
 442   Double_t p2=p*p;
 443   Double_t beta2=p2/(p2 + mass*mass);
 444
 445   //Calculating the multiple scattering corrections******************
 446   Double_t cC22 = 0.;
 447   Double_t cC33 = 0.;
 448   Double_t cC43 = 0.;
 449   Double_t cC44 = 0.;
 450   if (xOverX0 != 0) {
 451     //Double_t theta2=1.0259e-6*14*14/28/(beta2*p2)*TMath::Abs(d)*9.36*2.33;
 452     Double_t theta2=0.0136*0.0136/(beta2*p2)*TMath::Abs(xOverX0);
 453     if (GetUseLogTermMS()) {
 454       double lt = 1+0.038*TMath::Log(TMath::Abs(xOverX0));
 455       if (lt>0) theta2 *= lt*lt;
 456     }
 457     if(theta2>TMath::Pi()*TMath::Pi()) return kFALSE;
 458     cC22 = theta2*((1.-fP2)*(1.+fP2))*(1. + fP3*fP3);
 459     cC33 = theta2*(1. + fP3*fP3)*(1. + fP3*fP3);
 460     cC43 = theta2*fP3*fP4*(1. + fP3*fP3);
 461     cC44 = theta2*fP3*fP4*fP3*fP4;
 462   }
 463
 464   //Calculating the energy loss corrections************************
 465   Double_t cP4=1.;
 466   if ((xTimesRho != 0.) && (beta2 < 1.)) {
 467      Double_t dE=dEdx*xTimesRho;
 468      Double_t e=TMath::Sqrt(p2 + mass*mass);
 469      if ( TMath::Abs(dE) > 0.3*e ) return kFALSE; //30% energy loss is too much!
 470      //cP4 = (1.- e/p2*dE);
 471      if ( (1.+ dE/p2*(dE + 2*e)) < 0. ) return kFALSE;
 472      cP4 = 1./TMath::Sqrt(1.+ dE/p2*(dE + 2*e));  //A precise formula by Ruben !
 473      if (TMath::Abs(fP4*cP4)>100.) return kFALSE; //Do not track below 10 MeV/c
 474
 475
 476      // Approximate energy loss fluctuation (M.Ivanov)
 477      const Double_t knst=0.07; // To be tuned.
 478      Double_t sigmadE=knst*TMath::Sqrt(TMath::Abs(dE));
 479      cC44 += ((sigmadE*e/p2*fP4)*(sigmadE*e/p2*fP4));
 480
 481   }
 482
 483   //Applying the corrections*****************************
 484   fC22 += cC22;
 485   fC33 += cC33;
 486   fC43 += cC43;
 487   fC44 += cC44;
 488   fP4  *= cP4;
 489
 490   CheckCovariance();
 491
 492   return kTRUE;
 493 }
 494
 495 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMeanMaterial
 496 (Double_t xOverX0,  Double_t xTimesRho, Double_t mass,
 497  Bool_t anglecorr,
 498  Double_t (*Bethe)(Double_t)) {
 499   //------------------------------------------------------------------
 500   // This function corrects the track parameters for the crossed material.
 501   // "xOverX0"   - X/X0, the thickness in units of the radiation length.
 502   // "xTimesRho" - is the product length*density (g/cm^2).
 503   //     It should be passed as negative when propagating tracks
 504   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel.
 505   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2).
 506   // "anglecorr" - switch for the angular correction
 507   // "Bethe" - function calculating the energy loss (GeV/(g/cm^2))
 508   //------------------------------------------------------------------
 509
 510   Double_t bg=GetP()/mass;
 511   Double_t dEdx=Bethe(bg);
 512
 513   return CorrectForMeanMaterialdEdx(xOverX0,xTimesRho,mass,dEdx,anglecorr);
 514 }
 515
 516 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMeanMaterialZA
 517 (Double_t xOverX0, Double_t xTimesRho, Double_t mass,
 518  Double_t zOverA,
 519  Double_t density,
 520  Double_t exEnergy,
 521  Double_t jp1,
 522  Double_t jp2,
 523  Bool_t anglecorr) {
 524   //------------------------------------------------------------------
 525   // This function corrects the track parameters for the crossed material
 526   // using the full Geant-like Bethe-Bloch formula parameterization
 527   // "xOverX0"   - X/X0, the thickness in units of the radiation length.
 528   // "xTimesRho" - is the product length*density (g/cm^2).
 529   //     It should be passed as negative when propagating tracks
 530   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel.
 531   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2).
 532   // "density"  - mean density (g/cm^3)
 533   // "zOverA"   - mean Z/A
 534   // "exEnergy" - mean exitation energy (GeV)
 535   // "jp1"      - density effect first junction point
 536   // "jp2"      - density effect second junction point
 537   // "anglecorr" - switch for the angular correction
 538   //
 539   //  The default values of the parameters are for silicon
 540   //
 541   //------------------------------------------------------------------
 542
 543   Double_t bg=GetP()/mass;
 544   Double_t dEdx=BetheBlochGeant(bg,density,jp1,jp2,exEnergy,zOverA);
 545
 546   return CorrectForMeanMaterialdEdx(xOverX0,xTimesRho,mass,dEdx,anglecorr);
 547 }
 548
 549
 550
 551 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMaterial
 552 (Double_t d,  Double_t x0, Double_t mass, Double_t (*Bethe)(Double_t)) {
 553   //------------------------------------------------------------------
 554   //                    Deprecated function !
 555   //       Better use CorrectForMeanMaterial instead of it.
 556   //
 557   // This function corrects the track parameters for the crossed material
 558   // "d"    - the thickness (fraction of the radiation length)
 559   //     It should be passed as negative when propagating tracks
 560   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel.
 561   // "x0"   - the radiation length (g/cm^2)
 562   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2)
 563   //------------------------------------------------------------------
 564
 565   return CorrectForMeanMaterial(d,x0*d,mass,kTRUE,Bethe);
 566
 567 }
 568
 569 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochAleph(Double_t bg,
 570          Double_t kp1,
 571          Double_t kp2,
 572          Double_t kp3,
 573          Double_t kp4,
 574          Double_t kp5) {
 575   //
 576   // This is the empirical ALEPH parameterization of the Bethe-Bloch formula.
 577   // It is normalized to 1 at the minimum.
 578   //
 579   // bg - beta*gamma
 580   //
 581   // The default values for the kp* parameters are for ALICE TPC.
 582   // The returned value is in MIP units
 583   //
 584
 585   Double_t beta = bg/TMath::Sqrt(1.+ bg*bg);
 586
 587   Double_t aa = TMath::Power(beta,kp4);
 588   Double_t bb = TMath::Power(1./bg,kp5);
 589
 590   bb=TMath::Log(kp3+bb);
 591
 592   return (kp2-aa-bb)*kp1/aa;
 593 }
 594
 595 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochGeant(Double_t bg,
 596          Double_t kp0,
 597          Double_t kp1,
 598          Double_t kp2,
 599          Double_t kp3,
 600          Double_t kp4) {
 601   //
 602   // This is the parameterization of the Bethe-Bloch formula inspired by Geant.
 603   //
 604   // bg  - beta*gamma
 605   // kp0 - density [g/cm^3]
 606   // kp1 - density effect first junction point
 607   // kp2 - density effect second junction point
 608   // kp3 - mean excitation energy [GeV]
 609   // kp4 - mean Z/A
 610   //
 611   // The default values for the kp* parameters are for silicon.
 612   // The returned value is in [GeV/(g/cm^2)].
 613   //
 614
 615   const Double_t mK  = 0.307075e-3; // [GeV*cm^2/g]
 616   const Double_t me  = 0.511e-3;    // [GeV/c^2]
 617   const Double_t rho = kp0;
 618   const Double_t x0  = kp1*2.303;
 619   const Double_t x1  = kp2*2.303;
 620   const Double_t mI  = kp3;
 621   const Double_t mZA = kp4;
 622   const Double_t bg2 = bg*bg;
 623   const Double_t maxT= 2*me*bg2;    // neglecting the electron mass
 624
 625   //*** Density effect
 626   Double_t d2=0.;
 627   const Double_t x=TMath::Log(bg);
 628   const Double_t lhwI=TMath::Log(28.816*1e-9*TMath::Sqrt(rho*mZA)/mI);
 629   if (x > x1) {
 630     d2 = lhwI + x - 0.5;
 631   } else if (x > x0) {
 632     const Double_t r=(x1-x)/(x1-x0);
 633     d2 = lhwI + x - 0.5 + (0.5 - lhwI - x0)*r*r*r;
 634   }
 635
 636   return mK*mZA*(1+bg2)/bg2*
 637          (0.5*TMath::Log(2*me*bg2*maxT/(mI*mI)) - bg2/(1+bg2) - d2);
 638 }
 639
 640 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochSolid(Double_t bg) {
 641   //------------------------------------------------------------------
 642   // This is an approximation of the Bethe-Bloch formula,
 643   // reasonable for solid materials.
 644   // All the parameters are, in fact, for Si.
 645   // The returned value is in [GeV/(g/cm^2)]
 646   //------------------------------------------------------------------
 647
 648   return BetheBlochGeant(bg);
 649 }
 650
 651 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochGas(Double_t bg) {
 652   //------------------------------------------------------------------
 653   // This is an approximation of the Bethe-Bloch formula,
 654   // reasonable for gas materials.
 655   // All the parameters are, in fact, for Ne.
 656   // The returned value is in [GeV/(g/cm^2)]
 657   //------------------------------------------------------------------
 658
 659   const Double_t rho = 0.9e-3;
 660   const Double_t x0  = 2.;
 661   const Double_t x1  = 4.;
 662   const Double_t mI  = 140.e-9;
 663   const Double_t mZA = 0.49555;
 664
 665   return BetheBlochGeant(bg,rho,x0,x1,mI,mZA);
 666 }
 667
 668 Bool_t AliExternalTrackParam::Rotate(Double_t alpha) {
 669   //------------------------------------------------------------------
 670   // Transform this track to the local coord. system rotated
 671   // by angle "alpha" (rad) with respect to the global coord. system.
 672   //------------------------------------------------------------------
 673   if (TMath::Abs(fP[2]) >= kAlmost1) {
 674      AliError(Form("Precondition is not satisfied: |sin(phi)|>1 ! %f",fP[2]));
 675      return kFALSE;
 676   }
 677
 678   if      (alpha < -TMath::Pi()) alpha += 2*TMath::Pi();
 679   else if (alpha >= TMath::Pi()) alpha -= 2*TMath::Pi();
 680
 681   Double_t &fP0=fP[0];
 682   Double_t &fP2=fP[2];
 683   Double_t &fC00=fC[0];
 684   Double_t &fC10=fC[1];
 685   Double_t &fC20=fC[3];
 686   Double_t &fC21=fC[4];
 687   Double_t &fC22=fC[5];
 688   Double_t &fC30=fC[6];
 689   Double_t &fC32=fC[8];
 690   Double_t &fC40=fC[10];
 691   Double_t &fC42=fC[12];
 692
 693   Double_t x=fX;
 694   Double_t ca=TMath::Cos(alpha-fAlpha), sa=TMath::Sin(alpha-fAlpha);
 695   Double_t sf=fP2, cf=TMath::Sqrt((1.- fP2)*(1.+fP2)); // Improve precision
 696   // RS: check if rotation does no invalidate track model (cos(local_phi)>=0, i.e. particle
 697   // direction in local frame is along the X axis
 698   if ((cf*ca+sf*sa)<0) {
 699     AliDebug(1,Form("Rotation failed: local cos(phi) would become %.2f",cf*ca+sf*sa));
 700     return kFALSE;
 701   }
 702   //
 703   Double_t tmp=sf*ca - cf*sa;
 704
 705   if (TMath::Abs(tmp) >= kAlmost1) {
 706      if (TMath::Abs(tmp) > 1.+ Double_t(FLT_EPSILON))
 707         AliWarning(Form("Rotation failed ! %.10e",tmp));
 708      return kFALSE;
 709   }
 710   fAlpha = alpha;
 711   fX =  x*ca + fP0*sa;
 712   fP0= -x*sa + fP0*ca;
 713   fP2=  tmp;
 714
 715   if (TMath::Abs(cf)<kAlmost0) {
 716     AliError(Form("Too small cosine value %f",cf));
 717     cf = kAlmost0;
 718   }
 719
 720   Double_t rr=(ca+sf/cf*sa);
 721
 722   fC00 *= (ca*ca);
 723   fC10 *= ca;
 724   fC20 *= ca*rr;
 725   fC21 *= rr;
 726   fC22 *= rr*rr;
 727   fC30 *= ca;
 728   fC32 *= rr;
 729   fC40 *= ca;
 730   fC42 *= rr;
 731
 732   CheckCovariance();
 733
 734   return kTRUE;
 735 }
 736
 737 Bool_t AliExternalTrackParam::Invert() {
 738   //------------------------------------------------------------------
 739   // Transform this track to the local coord. system rotated by 180 deg.
 740   //------------------------------------------------------------------
 741   fX = -fX;
 742   fAlpha += TMath::Pi();
 743   while (fAlpha < -TMath::Pi()) fAlpha += 2*TMath::Pi();
 744   while (fAlpha >= TMath::Pi()) fAlpha -= 2*TMath::Pi();
 745   //
 746   fP[0] = -fP[0];
 747   //fP[2] = -fP[2];
 748   fP[3] = -fP[3];
 749   fP[4] = -fP[4];
 750   //
 751   fC[1] = -fC[1]; // since the fP1 and fP2 are not inverted, their covariances with others change sign
 752   fC[3] = -fC[3];
 753   fC[7] = -fC[7];
 754   fC[8] = -fC[8];
 755   fC[11] = -fC[11];
 756   fC[12] = -fC[12];
 757   //
 758   return kTRUE;
 759 }
 760
 761 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateTo(Double_t xk, Double_t b) {
 762   //----------------------------------------------------------------
 763   // Propagate this track to the plane X=xk (cm) in the field "b" (kG)
 764   //----------------------------------------------------------------
 765   Double_t dx=xk-fX;
 766   if (TMath::Abs(dx)<=kAlmost0)  return kTRUE;
 767
 768   Double_t crv=GetC(b);
 769   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
 770
 771   Double_t x2r = crv*dx;
 772   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + x2r;
 773   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
 774   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
 775   if (TMath::Abs(fP[4])< kAlmost0) return kFALSE;
 776
 777   Double_t &fP0=fP[0], &fP1=fP[1], &fP2=fP[2], &fP3=fP[3], &fP4=fP[4];
 778   Double_t
 779   &fC00=fC[0],
 780   &fC10=fC[1],   &fC11=fC[2],
 781   &fC20=fC[3],   &fC21=fC[4],   &fC22=fC[5],
 782   &fC30=fC[6],   &fC31=fC[7],   &fC32=fC[8],   &fC33=fC[9],
 783   &fC40=fC[10],  &fC41=fC[11],  &fC42=fC[12],  &fC43=fC[13], &fC44=fC[14];
 784
 785   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
 786   if (TMath::Abs(r1)<kAlmost0)  return kFALSE;
 787   if (TMath::Abs(r2)<kAlmost0)  return kFALSE;
 788
 789   fX=xk;
 790   double dy2dx = (f1+f2)/(r1+r2);
 791   fP0 += dx*dy2dx;
 792   if (TMath::Abs(x2r)<0.05) {
 793     fP1 += dx*(r2 + f2*dy2dx)*fP3;  // Many thanks to P.Hristov !
 794     fP2 += x2r;
 795   }
 796   else {
 797     // for small dx/R the linear apporximation of the arc by the segment is OK,
 798     // but at large dx/R the error is very large and leads to incorrect Z propagation
 799     // angle traversed delta = 2*asin(dist_start_end / R / 2), hence the arc is: R*deltaPhi
 800     // The dist_start_end is obtained from sqrt(dx^2+dy^2) = x/(r1+r2)*sqrt(2+f1*f2+r1*r2)
 801     // Similarly, the rotation angle in linear in dx only for dx<<R
 802     double chord = dx*TMath::Sqrt(1+dy2dx*dy2dx);   // distance from old position to new one
 803     double rot = 2*TMath::ASin(0.5*chord*crv); // angular difference seen from the circle center
 804     fP1 += rot/crv*fP3;
 805     fP2  = TMath::Sin(rot + TMath::ASin(fP2));
 806   }
 807
 808   //f = F - 1
 809
 810   Double_t f02=    dx/(r1*r1*r1);            Double_t cc=crv/fP4;
 811   Double_t f04=0.5*dx*dx/(r1*r1*r1);         f04*=cc;
 812   Double_t f12=    dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);
 813   Double_t f14=0.5*dx*dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);  f14*=cc;
 814   Double_t f13=    dx/r1;
 815   Double_t f24=    dx;                       f24*=cc;
 816
 817   //b = C*ft
 818   Double_t b00=f02*fC20 + f04*fC40, b01=f12*fC20 + f14*fC40 + f13*fC30;
 819   Double_t b02=f24*fC40;
 820   Double_t b10=f02*fC21 + f04*fC41, b11=f12*fC21 + f14*fC41 + f13*fC31;
 821   Double_t b12=f24*fC41;
 822   Double_t b20=f02*fC22 + f04*fC42, b21=f12*fC22 + f14*fC42 + f13*fC32;
 823   Double_t b22=f24*fC42;
 824   Double_t b40=f02*fC42 + f04*fC44, b41=f12*fC42 + f14*fC44 + f13*fC43;
 825   Double_t b42=f24*fC44;
 826   Double_t b30=f02*fC32 + f04*fC43, b31=f12*fC32 + f14*fC43 + f13*fC33;
 827   Double_t b32=f24*fC43;
 828
 829   //a = f*b = f*C*ft
 830   Double_t a00=f02*b20+f04*b40,a01=f02*b21+f04*b41,a02=f02*b22+f04*b42;
 831   Double_t a11=f12*b21+f14*b41+f13*b31,a12=f12*b22+f14*b42+f13*b32;
 832   Double_t a22=f24*b42;
 833
 834   //F*C*Ft = C + (b + bt + a)
 835   fC00 += b00 + b00 + a00;
 836   fC10 += b10 + b01 + a01;
 837   fC20 += b20 + b02 + a02;
 838   fC30 += b30;
 839   fC40 += b40;
 840   fC11 += b11 + b11 + a11;
 841   fC21 += b21 + b12 + a12;
 842   fC31 += b31;
 843   fC41 += b41;
 844   fC22 += b22 + b22 + a22;
 845   fC32 += b32;
 846   fC42 += b42;
 847
 848   CheckCovariance();
 849
 850   return kTRUE;
 851 }
 852
 853 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateParamOnlyTo(Double_t xk, Double_t b) {
 854   //----------------------------------------------------------------
 855   // Propagate this track to the plane X=xk (cm) in the field "b" (kG)
 856   // Only parameters are propagated, not the matrix. To be used for small
 857   // distances only (<mm, i.e. misalignment)
 858   //----------------------------------------------------------------
 859   Double_t dx=xk-fX;
 860   if (TMath::Abs(dx)<=kAlmost0)  return kTRUE;
 861
 862   Double_t crv=GetC(b);
 863   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
 864
 865   Double_t x2r = crv*dx;
 866   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + x2r;
 867   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
 868   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
 869   if (TMath::Abs(fP[4])< kAlmost0) return kFALSE;
 870
 871   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
 872   if (TMath::Abs(r1)<kAlmost0)  return kFALSE;
 873   if (TMath::Abs(r2)<kAlmost0)  return kFALSE;
 874
 875   fX=xk;
 876   double dy2dx = (f1+f2)/(r1+r2);
 877   fP[0] += dx*dy2dx;
 878   fP[1] += dx*(r2 + f2*dy2dx)*fP[3];  // Many thanks to P.Hristov !
 879   fP[2] += x2r;
 880
 881   return kTRUE;
 882 }
 883
 884 Bool_t
 885 AliExternalTrackParam::Propagate(Double_t alpha, Double_t x, Double_t b) {
 886   //------------------------------------------------------------------
 887   // Transform this track to the local coord. system rotated
 888   // by angle "alpha" (rad) with respect to the global coord. system,
 889   // and propagate this track to the plane X=xk (cm) in the field "b" (kG)
 890   //------------------------------------------------------------------
 891
 892   //Save the parameters
 893   Double_t as=fAlpha;
 894   Double_t xs=fX;
 895   Double_t ps[5], cs[15];
 896   for (Int_t i=0; i<5;  i++) ps[i]=fP[i];
 897   for (Int_t i=0; i<15; i++) cs[i]=fC[i];
 898
 899   if (Rotate(alpha))
 900      if (PropagateTo(x,b)) return kTRUE;
 901
 902   //Restore the parameters, if the operation failed
 903   fAlpha=as;
 904   fX=xs;
 905   for (Int_t i=0; i<5;  i++) fP[i]=ps[i];
 906   for (Int_t i=0; i<15; i++) fC[i]=cs[i];
 907   return kFALSE;
 908 }
 909
 910 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateBxByBz
 911 (Double_t alpha, Double_t x, Double_t b[3]) {
 912   //------------------------------------------------------------------
 913   // Transform this track to the local coord. system rotated
 914   // by angle "alpha" (rad) with respect to the global coord. system,
 915   // and propagate this track to the plane X=xk (cm),
 916   // taking into account all three components of the B field, "b[3]" (kG)
 917   //------------------------------------------------------------------
 918
 919   //Save the parameters
 920   Double_t as=fAlpha;
 921   Double_t xs=fX;
 922   Double_t ps[5], cs[15];
 923   for (Int_t i=0; i<5;  i++) ps[i]=fP[i];
 924   for (Int_t i=0; i<15; i++) cs[i]=fC[i];
 925
 926   if (Rotate(alpha))
 927      if (PropagateToBxByBz(x,b)) return kTRUE;
 928
 929   //Restore the parameters, if the operation failed
 930   fAlpha=as;
 931   fX=xs;
 932   for (Int_t i=0; i<5;  i++) fP[i]=ps[i];
 933   for (Int_t i=0; i<15; i++) fC[i]=cs[i];
 934   return kFALSE;
 935 }
 936
 937
 938 void AliExternalTrackParam::Propagate(Double_t len, Double_t x[3],
 939 Double_t p[3], Double_t bz) const {
 940   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 941   // Origin: K. Shileev (Kirill.Shileev@cern.ch)
 942   // Extrapolate track along simple helix in magnetic field
 943   // Arguments: len -distance alogn helix, [cm]
 944   //            bz  - mag field, [kGaus]
 945   // Returns: x and p contain extrapolated positon and momentum
 946   // The momentum returned for straight-line tracks is meaningless !
 947   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 948   GetXYZ(x);
 949
 950   if (OneOverPt() < kAlmost0 || TMath::Abs(bz) < kAlmost0Field || GetC(bz) < kAlmost0){ //straight-line tracks
 951      Double_t unit[3]; GetDirection(unit);
 952      x[0]+=unit[0]*len;
 953      x[1]+=unit[1]*len;
 954      x[2]+=unit[2]*len;
 955
 956      p[0]=unit[0]/kAlmost0;
 957      p[1]=unit[1]/kAlmost0;
 958      p[2]=unit[2]/kAlmost0;
 959   } else {
 960      GetPxPyPz(p);
 961      Double_t pp=GetP();
 962      Double_t a = -kB2C*bz*GetSign();
 963      Double_t rho = a/pp;
 964      x[0] += p[0]*TMath::Sin(rho*len)/a - p[1]*(1-TMath::Cos(rho*len))/a;
 965      x[1] += p[1]*TMath::Sin(rho*len)/a + p[0]*(1-TMath::Cos(rho*len))/a;
 966      x[2] += p[2]*len/pp;
 967
 968      Double_t p0=p[0];
 969      p[0] = p0  *TMath::Cos(rho*len) - p[1]*TMath::Sin(rho*len);
 970      p[1] = p[1]*TMath::Cos(rho*len) + p0  *TMath::Sin(rho*len);
 971   }
 972 }
 973
 974 Bool_t AliExternalTrackParam::Intersect(Double_t pnt[3], Double_t norm[3],
 975 Double_t bz) const {
 976   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 977   // Origin: K. Shileev (Kirill.Shileev@cern.ch)
 978   // Finds point of intersection (if exists) of the helix with the plane.
 979   // Stores result in fX and fP.
 980   // Arguments: planePoint,planeNorm - the plane defined by any plane's point
 981   // and vector, normal to the plane
 982   // Returns: kTrue if helix intersects the plane, kFALSE otherwise.
 983   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 984   Double_t x0[3]; GetXYZ(x0); //get track position in MARS
 985
 986   //estimates initial helix length up to plane
 987   Double_t s=
 988     (pnt[0]-x0[0])*norm[0] + (pnt[1]-x0[1])*norm[1] + (pnt[2]-x0[2])*norm[2];
 989   Double_t dist=99999,distPrev=dist;
 990   Double_t x[3],p[3];
 991   while(TMath::Abs(dist)>0.00001){
 992     //calculates helix at the distance s from x0 ALONG the helix
 993     Propagate(s,x,p,bz);
 994
 995     //distance between current helix position and plane
 996     dist=(x[0]-pnt[0])*norm[0]+(x[1]-pnt[1])*norm[1]+(x[2]-pnt[2])*norm[2];
 997
 998     if(TMath::Abs(dist) >= TMath::Abs(distPrev)) {return kFALSE;}
 999     distPrev=dist;
1000     s-=dist;
1001   }
1002   //on exit pnt is intersection point,norm is track vector at that point,
1003   //all in MARS
1004   for (Int_t i=0; i<3; i++) {pnt[i]=x[i]; norm[i]=p[i];}
1005   return kTRUE;
1006 }
1007
1008 Double_t
1009 AliExternalTrackParam::GetPredictedChi2(Double_t p[2],Double_t cov[3]) const {
1010   //----------------------------------------------------------------
1011   // Estimate the chi2 of the space point "p" with the cov. matrix "cov"
1012   //----------------------------------------------------------------
1013   Double_t sdd = fC[0] + cov[0];
1014   Double_t sdz = fC[1] + cov[1];
1015   Double_t szz = fC[2] + cov[2];
1016   Double_t det = sdd*szz - sdz*sdz;
1017
1018   if (TMath::Abs(det) < kAlmost0) return kVeryBig;
1019
1020   Double_t d = fP[0] - p[0];
1021   Double_t z = fP[1] - p[1];
1022
1023   return (d*szz*d - 2*d*sdz*z + z*sdd*z)/det;
1024 }
1025
1026 Double_t AliExternalTrackParam::
1027 GetPredictedChi2(Double_t p[3],Double_t covyz[3],Double_t covxyz[3]) const {
1028   //----------------------------------------------------------------
1029   // Estimate the chi2 of the 3D space point "p" and
1030   // the full covariance matrix "covyz" and "covxyz"
1031   //
1032   // Cov(x,x) ... :   covxyz[0]
1033   // Cov(y,x) ... :   covxyz[1]  covyz[0]
1034   // Cov(z,x) ... :   covxyz[2]  covyz[1]  covyz[2]
1035   //----------------------------------------------------------------
1036
1037   Double_t res[3] = {
1038     GetX() - p[0],
1039     GetY() - p[1],
1040     GetZ() - p[2]
1041   };
1042
1043   Double_t f=GetSnp();
1044   if (TMath::Abs(f) >= kAlmost1) return kVeryBig;
1045   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-f)*(1.+f));
1046   Double_t a=f/r, b=GetTgl()/r;
1047
1048   Double_t s2=333.*333.;  //something reasonably big (cm^2)
1049
1050   TMatrixDSym v(3);
1051   v(0,0)=  s2;  v(0,1)=  a*s2;                 v(0,2)=  b*s2;;
1052   v(1,0)=a*s2;  v(1,1)=a*a*s2 + GetSigmaY2();  v(1,2)=a*b*s2 + GetSigmaZY();
1053   v(2,0)=b*s2;  v(2,1)=a*b*s2 + GetSigmaZY();  v(2,2)=b*b*s2 + GetSigmaZ2();
1054
1055   v(0,0)+=covxyz[0]; v(0,1)+=covxyz[1]; v(0,2)+=covxyz[2];
1056   v(1,0)+=covxyz[1]; v(1,1)+=covyz[0];  v(1,2)+=covyz[1];
1057   v(2,0)+=covxyz[2]; v(2,1)+=covyz[1];  v(2,2)+=covyz[2];
1058
1059   v.Invert();
1060   if (!v.IsValid()) return kVeryBig;
1061
1062   Double_t chi2=0.;
1063   for (Int_t i = 0; i < 3; i++)
1064     for (Int_t j = 0; j < 3; j++) chi2 += res[i]*res[j]*v(i,j);
1065
1066   return chi2;
1067 }
1068
1069 Double_t AliExternalTrackParam::
1070 GetPredictedChi2(const AliExternalTrackParam *t) const {
1071   //----------------------------------------------------------------
1072   // Estimate the chi2 (5 dof) of this track with respect to the track
1073   // given by the argument.
1074   // The two tracks must be in the same reference system
1075   // and estimated at the same reference plane.
1076   //----------------------------------------------------------------
1077
1078   if (TMath::Abs(1. - t->GetAlpha()/GetAlpha()) > FLT_EPSILON) {
1079       AliError("The reference systems of the tracks differ !");
1080       return kVeryBig;
1081   }
1082   if (TMath::Abs(1. - t->GetX()/GetX()) > FLT_EPSILON) {
1083       AliError("The reference of the tracks planes differ !");
1084       return kVeryBig;
1085   }
1086
1087   TMatrixDSym c(5);
1088     c(0,0)=GetSigmaY2();
1089     c(1,0)=GetSigmaZY();   c(1,1)=GetSigmaZ2();
1090     c(2,0)=GetSigmaSnpY(); c(2,1)=GetSigmaSnpZ(); c(2,2)=GetSigmaSnp2();
1091     c(3,0)=GetSigmaTglY(); c(3,1)=GetSigmaTglZ(); c(3,2)=GetSigmaTglSnp(); c(3,3)=GetSigmaTgl2();
1092     c(4,0)=GetSigma1PtY(); c(4,1)=GetSigma1PtZ(); c(4,2)=GetSigma1PtSnp(); c(4,3)=GetSigma1PtTgl(); c(4,4)=GetSigma1Pt2();
1093
1094     c(0,0)+=t->GetSigmaY2();
1095     c(1,0)+=t->GetSigmaZY();  c(1,1)+=t->GetSigmaZ2();
1096     c(2,0)+=t->GetSigmaSnpY();c(2,1)+=t->GetSigmaSnpZ();c(2,2)+=t->GetSigmaSnp2();
1097     c(3,0)+=t->GetSigmaTglY();c(3,1)+=t->GetSigmaTglZ();c(3,2)+=t->GetSigmaTglSnp();c(3,3)+=t->GetSigmaTgl2();
1098     c(4,0)+=t->GetSigma1PtY();c(4,1)+=t->GetSigma1PtZ();c(4,2)+=t->GetSigma1PtSnp();c(4,3)+=t->GetSigma1PtTgl();c(4,4)+=t->GetSigma1Pt2();
1099     c(0,1)=c(1,0);
1100     c(0,2)=c(2,0); c(1,2)=c(2,1);
1101     c(0,3)=c(3,0); c(1,3)=c(3,1); c(2,3)=c(3,2);
1102     c(0,4)=c(4,0); c(1,4)=c(4,1); c(2,4)=c(4,2); c(3,4)=c(4,3);
1103
1104   c.Invert();
1105   if (!c.IsValid()) return kVeryBig;
1106
1107
1108   Double_t res[5] = {
1109     GetY()   - t->GetY(),
1110     GetZ()   - t->GetZ(),
1111     GetSnp() - t->GetSnp(),
1112     GetTgl() - t->GetTgl(),
1113     GetSigned1Pt() - t->GetSigned1Pt()
1114   };
1115
1116   Double_t chi2=0.;
1117   for (Int_t i = 0; i < 5; i++)
1118     for (Int_t j = 0; j < 5; j++) chi2 += res[i]*res[j]*c(i,j);
1119
1120   return chi2;
1121 }
1122
1123 Bool_t AliExternalTrackParam::
1124 PropagateTo(Double_t p[3],Double_t covyz[3],Double_t covxyz[3],Double_t bz) {
1125   //----------------------------------------------------------------
1126   // Propagate this track to the plane
1127   // the 3D space point "p" (with the covariance matrix "covyz" and "covxyz")
1128   // belongs to.
1129   // The magnetic field is "bz" (kG)
1130   //
1131   // The track curvature and the change of the covariance matrix
1132   // of the track parameters are negleted !
1133   // (So the "step" should be small compared with 1/curvature)
1134   //----------------------------------------------------------------
1135
1136   Double_t f=GetSnp();
1137   if (TMath::Abs(f) >= kAlmost1) return kFALSE;
1138   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-f)*(1.+f));
1139   Double_t a=f/r, b=GetTgl()/r;
1140
1141   Double_t s2=333.*333.;  //something reasonably big (cm^2)
1142
1143   TMatrixDSym tV(3);
1144   tV(0,0)=  s2;  tV(0,1)=  a*s2;  tV(0,2)=  b*s2;
1145   tV(1,0)=a*s2;  tV(1,1)=a*a*s2;  tV(1,2)=a*b*s2;
1146   tV(2,0)=b*s2;  tV(2,1)=a*b*s2;  tV(2,2)=b*b*s2;
1147
1148   TMatrixDSym pV(3);
1149   pV(0,0)=covxyz[0]; pV(0,1)=covxyz[1]; pV(0,2)=covxyz[2];
1150   pV(1,0)=covxyz[1]; pV(1,1)=covyz[0];  pV(1,2)=covyz[1];
1151   pV(2,0)=covxyz[2]; pV(2,1)=covyz[1];  pV(2,2)=covyz[2];
1152
1153   TMatrixDSym tpV(tV);
1154   tpV+=pV;
1155   tpV.Invert();
1156   if (!tpV.IsValid()) return kFALSE;
1157
1158   TMatrixDSym pW(3),tW(3);
1159   for (Int_t i=0; i<3; i++)
1160     for (Int_t j=0; j<3; j++) {
1161       pW(i,j)=tW(i,j)=0.;
1162       for (Int_t k=0; k<3; k++) {
1163         pW(i,j) += tV(i,k)*tpV(k,j);
1164         tW(i,j) += pV(i,k)*tpV(k,j);
1165       }
1166     }
1167
1168   Double_t t[3] = {GetX(), GetY(), GetZ()};
1169
1170   Double_t x=0.;
1171   for (Int_t i=0; i<3; i++) x += (tW(0,i)*t[i] + pW(0,i)*p[i]);
1172   Double_t crv=GetC(bz);
1173   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
1174   f += crv*(x-fX);
1175   if (TMath::Abs(f) >= kAlmost1) return kFALSE;
1176   fX=x;
1177
1178   fP[0]=0.;
1179   for (Int_t i=0; i<3; i++) fP[0] += (tW(1,i)*t[i] + pW(1,i)*p[i]);
1180   fP[1]=0.;
1181   for (Int_t i=0; i<3; i++) fP[1] += (tW(2,i)*t[i] + pW(2,i)*p[i]);
1182
1183   return kTRUE;
1184 }
1185
1186 Double_t *AliExternalTrackParam::GetResiduals(
1187 Double_t *p,Double_t *cov,Bool_t updated) const {
1188   //------------------------------------------------------------------
1189   // Returns the track residuals with the space point "p" having
1190   // the covariance matrix "cov".
1191   // If "updated" is kTRUE, the track parameters expected to be updated,
1192   // otherwise they must be predicted.
1193   //------------------------------------------------------------------
1194   static Double_t res[2];
1195
1196   Double_t r00=cov[0], r01=cov[1], r11=cov[2];
1197   if (updated) {
1198      r00-=fC[0]; r01-=fC[1]; r11-=fC[2];
1199   } else {
1200      r00+=fC[0]; r01+=fC[1]; r11+=fC[2];
1201   }
1202   Double_t det=r00*r11 - r01*r01;
1203
1204   if (TMath::Abs(det) < kAlmost0) return 0;
1205
1206   Double_t tmp=r00; r00=r11/det; r11=tmp/det;
1207
1208   if (r00 < 0.) return 0;
1209   if (r11 < 0.) return 0;
1210
1211   Double_t dy = fP[0] - p[0];
1212   Double_t dz = fP[1] - p[1];
1213
1214   res[0]=dy*TMath::Sqrt(r00);
1215   res[1]=dz*TMath::Sqrt(r11);
1216
1217   return res;
1218 }
1219
1220 Bool_t AliExternalTrackParam::Update(Double_t p[2], Double_t cov[3]) {
1221   //------------------------------------------------------------------
1222   // Update the track parameters with the space point "p" having
1223   // the covariance matrix "cov"
1224   //------------------------------------------------------------------
1225   Double_t &fP0=fP[0], &fP1=fP[1], &fP2=fP[2], &fP3=fP[3], &fP4=fP[4];
1226   Double_t
1227   &fC00=fC[0],
1228   &fC10=fC[1],   &fC11=fC[2],
1229   &fC20=fC[3],   &fC21=fC[4],   &fC22=fC[5],
1230   &fC30=fC[6],   &fC31=fC[7],   &fC32=fC[8],   &fC33=fC[9],
1231   &fC40=fC[10],  &fC41=fC[11],  &fC42=fC[12],  &fC43=fC[13], &fC44=fC[14];
1232
1233   Double_t r00=cov[0], r01=cov[1], r11=cov[2];
1234   r00+=fC00; r01+=fC10; r11+=fC11;
1235   Double_t det=r00*r11 - r01*r01;
1236
1237   if (TMath::Abs(det) < kAlmost0) return kFALSE;
1238
1239
1240   Double_t tmp=r00; r00=r11/det; r11=tmp/det; r01=-r01/det;
1241
1242   Double_t k00=fC00*r00+fC10*r01, k01=fC00*r01+fC10*r11;
1243   Double_t k10=fC10*r00+fC11*r01, k11=fC10*r01+fC11*r11;
1244   Double_t k20=fC20*r00+fC21*r01, k21=fC20*r01+fC21*r11;
1245   Double_t k30=fC30*r00+fC31*r01, k31=fC30*r01+fC31*r11;
1246   Double_t k40=fC40*r00+fC41*r01, k41=fC40*r01+fC41*r11;
1247
1248   Double_t dy=p[0] - fP0, dz=p[1] - fP1;
1249   Double_t sf=fP2 + k20*dy + k21*dz;
1250   if (TMath::Abs(sf) > kAlmost1) return kFALSE;
1251
1252   fP0 += k00*dy + k01*dz;
1253   fP1 += k10*dy + k11*dz;
1254   fP2  = sf;
1255   fP3 += k30*dy + k31*dz;
1256   fP4 += k40*dy + k41*dz;
1257
1258   Double_t c01=fC10, c02=fC20, c03=fC30, c04=fC40;
1259   Double_t c12=fC21, c13=fC31, c14=fC41;
1260
1261   fC00-=k00*fC00+k01*fC10; fC10-=k00*c01+k01*fC11;
1262   fC20-=k00*c02+k01*c12;   fC30-=k00*c03+k01*c13;
1263   fC40-=k00*c04+k01*c14;
1264
1265   fC11-=k10*c01+k11*fC11;
1266   fC21-=k10*c02+k11*c12;   fC31-=k10*c03+k11*c13;
1267   fC41-=k10*c04+k11*c14;
1268
1269   fC22-=k20*c02+k21*c12;   fC32-=k20*c03+k21*c13;
1270   fC42-=k20*c04+k21*c14;
1271
1272   fC33-=k30*c03+k31*c13;
1273   fC43-=k30*c04+k31*c14;
1274
1275   fC44-=k40*c04+k41*c14;
1276
1277   CheckCovariance();
1278
1279   return kTRUE;
1280 }
1281
1282 void
1283 AliExternalTrackParam::GetHelixParameters(Double_t hlx[6], Double_t b) const {
1284   //--------------------------------------------------------------------
1285   // External track parameters -> helix parameters
1286   // "b" - magnetic field (kG)
1287   //--------------------------------------------------------------------
1288   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
1289
1290   hlx[0]=fP[0]; hlx[1]=fP[1]; hlx[2]=fP[2]; hlx[3]=fP[3];
1291
1292   hlx[5]=fX*cs - hlx[0]*sn;               // x0
1293   hlx[0]=fX*sn + hlx[0]*cs;               // y0
1294 //hlx[1]=                                 // z0
1295   hlx[2]=TMath::ASin(hlx[2]) + fAlpha;    // phi0
1296 //hlx[3]=                                 // tgl
1297   hlx[4]=GetC(b);                         // C
1298 }
1299
1300
1301 static void Evaluate(const Double_t *h, Double_t t,
1302                      Double_t r[3],  //radius vector
1303                      Double_t g[3],  //first defivatives
1304                      Double_t gg[3]) //second derivatives
1305 {
1306   //--------------------------------------------------------------------
1307   // Calculate position of a point on a track and some derivatives
1308   //--------------------------------------------------------------------
1309   Double_t phase=h[4]*t+h[2];
1310   Double_t sn=TMath::Sin(phase), cs=TMath::Cos(phase);
1311
1312   r[0] = h[5];
1313   r[1] = h[0];
1314   if (TMath::Abs(h[4])>kAlmost0) {
1315      r[0] += (sn - h[6])/h[4];
1316      r[1] -= (cs - h[7])/h[4];
1317   }
1318   r[2] = h[1] + h[3]*t;
1319
1320   g[0] = cs; g[1]=sn; g[2]=h[3];
1321
1322   gg[0]=-h[4]*sn; gg[1]=h[4]*cs; gg[2]=0.;
1323 }
1324
1325 Double_t AliExternalTrackParam::GetDCA(const AliExternalTrackParam *p,
1326 Double_t b, Double_t &xthis, Double_t &xp) const {
1327   //------------------------------------------------------------
1328   // Returns the (weighed !) distance of closest approach between
1329   // this track and the track "p".
1330   // Other returned values:
1331   //   xthis, xt - coordinates of tracks' reference planes at the DCA
1332   //-----------------------------------------------------------
1333   Double_t dy2=GetSigmaY2() + p->GetSigmaY2();
1334   Double_t dz2=GetSigmaZ2() + p->GetSigmaZ2();
1335   Double_t dx2=dy2;
1336
1337   Double_t p1[8]; GetHelixParameters(p1,b);
1338   p1[6]=TMath::Sin(p1[2]); p1[7]=TMath::Cos(p1[2]);
1339   Double_t p2[8]; p->GetHelixParameters(p2,b);
1340   p2[6]=TMath::Sin(p2[2]); p2[7]=TMath::Cos(p2[2]);
1341
1342
1343   Double_t r1[3],g1[3],gg1[3]; Double_t t1=0.;
1344   Evaluate(p1,t1,r1,g1,gg1);
1345   Double_t r2[3],g2[3],gg2[3]; Double_t t2=0.;
1346   Evaluate(p2,t2,r2,g2,gg2);
1347
1348   Double_t dx=r2[0]-r1[0], dy=r2[1]-r1[1], dz=r2[2]-r1[2];
1349   Double_t dm=dx*dx/dx2 + dy*dy/dy2 + dz*dz/dz2;
1350
1351   Int_t max=27;
1352   while (max--) {
1353      Double_t gt1=-(dx*g1[0]/dx2 + dy*g1[1]/dy2 + dz*g1[2]/dz2);
1354      Double_t gt2=+(dx*g2[0]/dx2 + dy*g2[1]/dy2 + dz*g2[2]/dz2);
1355      Double_t h11=(g1[0]*g1[0] - dx*gg1[0])/dx2 +
1356                   (g1[1]*g1[1] - dy*gg1[1])/dy2 +
1357                   (g1[2]*g1[2] - dz*gg1[2])/dz2;
1358      Double_t h22=(g2[0]*g2[0] + dx*gg2[0])/dx2 +
1359                   (g2[1]*g2[1] + dy*gg2[1])/dy2 +
1360                   (g2[2]*g2[2] + dz*gg2[2])/dz2;
1361      Double_t h12=-(g1[0]*g2[0]/dx2 + g1[1]*g2[1]/dy2 + g1[2]*g2[2]/dz2);
1362
1363      Double_t det=h11*h22-h12*h12;
1364
1365      Double_t dt1,dt2;
1366      if (TMath::Abs(det)<1.e-33) {
1367         //(quasi)singular Hessian
1368         dt1=-gt1; dt2=-gt2;
1369      } else {
1370         dt1=-(gt1*h22 - gt2*h12)/det;
1371         dt2=-(h11*gt2 - h12*gt1)/det;
1372      }
1373
1374      if ((dt1*gt1+dt2*gt2)>0) {dt1=-dt1; dt2=-dt2;}
1375
1376      //check delta(phase1) ?
1377      //check delta(phase2) ?
1378
1379      if (TMath::Abs(dt1)/(TMath::Abs(t1)+1.e-3) < 1.e-4)
1380      if (TMath::Abs(dt2)/(TMath::Abs(t2)+1.e-3) < 1.e-4) {
1381         if ((gt1*gt1+gt2*gt2) > 1.e-4/dy2/dy2)
1382           AliDebug(1," stopped at not a stationary point !");
1383         Double_t lmb=h11+h22; lmb=lmb-TMath::Sqrt(lmb*lmb-4*det);
1384         if (lmb < 0.)
1385           AliDebug(1," stopped at not a minimum !");
1386         break;
1387      }
1388
1389      Double_t dd=dm;
1390      for (Int_t div=1 ; ; div*=2) {
1391         Evaluate(p1,t1+dt1,r1,g1,gg1);
1392         Evaluate(p2,t2+dt2,r2,g2,gg2);
1393         dx=r2[0]-r1[0]; dy=r2[1]-r1[1]; dz=r2[2]-r1[2];
1394         dd=dx*dx/dx2 + dy*dy/dy2 + dz*dz/dz2;
1395         if (dd<dm) break;
1396         dt1*=0.5; dt2*=0.5;
1397         if (div>512) {
1398           AliDebug(1," overshoot !"); break;
1399         }
1400      }
1401      dm=dd;
1402
1403      t1+=dt1;
1404      t2+=dt2;
1405
1406   }
1407
1408   if (max<=0) AliDebug(1," too many iterations !");
1409
1410   Double_t cs=TMath::Cos(GetAlpha());
1411   Double_t sn=TMath::Sin(GetAlpha());
1412   xthis=r1[0]*cs + r1[1]*sn;
1413
1414   cs=TMath::Cos(p->GetAlpha());
1415   sn=TMath::Sin(p->GetAlpha());
1416   xp=r2[0]*cs + r2[1]*sn;
1417
1418   return TMath::Sqrt(dm*TMath::Sqrt(dy2*dz2));
1419 }
1420
1421 Double_t AliExternalTrackParam::
1422 PropagateToDCA(AliExternalTrackParam *p, Double_t b) {
1423   //--------------------------------------------------------------
1424   // Propagates this track and the argument track to the position of the
1425   // distance of closest approach.
1426   // Returns the (weighed !) distance of closest approach.
1427   //--------------------------------------------------------------
1428   Double_t xthis,xp;
1429   Double_t dca=GetDCA(p,b,xthis,xp);
1430
1431   if (!PropagateTo(xthis,b)) {
1432     //AliWarning(" propagation failed !");
1433     return 1e+33;
1434   }
1435
1436   if (!p->PropagateTo(xp,b)) {
1437     //AliWarning(" propagation failed !";
1438     return 1e+33;
1439   }
1440
1441   return dca;
1442 }
1443
1444
1445 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateToDCA(const AliVVertex *vtx,
1446 Double_t b, Double_t maxd, Double_t dz[2], Double_t covar[3]) {
1447   //
1448   // Propagate this track to the DCA to vertex "vtx",
1449   // if the (rough) transverse impact parameter is not bigger then "maxd".
1450   //            Magnetic field is "b" (kG).
1451   //
1452   // a) The track gets extapolated to the DCA to the vertex.
1453   // b) The impact parameters and their covariance matrix are calculated.
1454   //
1455   //    In the case of success, the returned value is kTRUE
1456   //    (otherwise, it's kFALSE)
1457   //
1458   Double_t alpha=GetAlpha();
1459   Double_t sn=TMath::Sin(alpha), cs=TMath::Cos(alpha);
1460   Double_t x=GetX(), y=GetParameter()[0], snp=GetParameter()[2];
1461   Double_t xv= vtx->GetX()*cs + vtx->GetY()*sn;
1462   Double_t yv=-vtx->GetX()*sn + vtx->GetY()*cs, zv=vtx->GetZ();
1463   x-=xv; y-=yv;
1464
1465   //Estimate the impact parameter neglecting the track curvature
1466   Double_t d=TMath::Abs(x*snp - y*TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1467   if (d > maxd) return kFALSE;
1468
1469   //Propagate to the DCA
1470   Double_t crv=GetC(b);
1471   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
1472
1473   Double_t tgfv=-(crv*x - snp)/(crv*y + TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1474   sn=tgfv/TMath::Sqrt(1.+ tgfv*tgfv); cs=TMath::Sqrt((1.-sn)*(1.+sn));
1475   if (TMath::Abs(tgfv)>0.) cs = sn/tgfv;
1476   else cs=1.;
1477
1478   x = xv*cs + yv*sn;
1479   yv=-xv*sn + yv*cs; xv=x;
1480
1481   if (!Propagate(alpha+TMath::ASin(sn),xv,b)) return kFALSE;
1482
1483   if (dz==0) return kTRUE;
1484   dz[0] = GetParameter()[0] - yv;
1485   dz[1] = GetParameter()[1] - zv;
1486
1487   if (covar==0) return kTRUE;
1488   Double_t cov[6]; vtx->GetCovarianceMatrix(cov);
1489
1490   //***** Improvements by A.Dainese
1491   alpha=GetAlpha(); sn=TMath::Sin(alpha); cs=TMath::Cos(alpha);
1492   Double_t s2ylocvtx = cov[0]*sn*sn + cov[2]*cs*cs - 2.*cov[1]*cs*sn;
1493   covar[0] = GetCovariance()[0] + s2ylocvtx;   // neglecting correlations
1494   covar[1] = GetCovariance()[1];               // between (x,y) and z
1495   covar[2] = GetCovariance()[2] + cov[5];      // in vertex's covariance matrix
1496   //*****
1497
1498   return kTRUE;
1499 }
1500
1501 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateToDCABxByBz(const AliVVertex *vtx,
1502 Double_t b[3], Double_t maxd, Double_t dz[2], Double_t covar[3]) {
1503   //
1504   // Propagate this track to the DCA to vertex "vtx",
1505   // if the (rough) transverse impact parameter is not bigger then "maxd".
1506   //
1507   // This function takes into account all three components of the magnetic
1508   // field given by the b[3] arument (kG)
1509   //
1510   // a) The track gets extapolated to the DCA to the vertex.
1511   // b) The impact parameters and their covariance matrix are calculated.
1512   //
1513   //    In the case of success, the returned value is kTRUE
1514   //    (otherwise, it's kFALSE)
1515   //
1516   Double_t alpha=GetAlpha();
1517   Double_t sn=TMath::Sin(alpha), cs=TMath::Cos(alpha);
1518   Double_t x=GetX(), y=GetParameter()[0], snp=GetParameter()[2];
1519   Double_t xv= vtx->GetX()*cs + vtx->GetY()*sn;
1520   Double_t yv=-vtx->GetX()*sn + vtx->GetY()*cs, zv=vtx->GetZ();
1521   x-=xv; y-=yv;
1522
1523   //Estimate the impact parameter neglecting the track curvature
1524   Double_t d=TMath::Abs(x*snp - y*TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1525   if (d > maxd) return kFALSE;
1526
1527   //Propagate to the DCA
1528   Double_t crv=GetC(b[2]);
1529   if (TMath::Abs(b[2]) < kAlmost0Field) crv=0.;
1530
1531   Double_t tgfv=-(crv*x - snp)/(crv*y + TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1532   sn=tgfv/TMath::Sqrt(1.+ tgfv*tgfv); cs=TMath::Sqrt((1.-sn)*(1.+sn));
1533   if (TMath::Abs(tgfv)>0.) cs = sn/tgfv;
1534   else cs=1.;
1535
1536   x = xv*cs + yv*sn;
1537   yv=-xv*sn + yv*cs; xv=x;
1538
1539   if (!PropagateBxByBz(alpha+TMath::ASin(sn),xv,b)) return kFALSE;
1540
1541   if (dz==0) return kTRUE;
1542   dz[0] = GetParameter()[0] - yv;
1543   dz[1] = GetParameter()[1] - zv;
1544
1545   if (covar==0) return kTRUE;
1546   Double_t cov[6]; vtx->GetCovarianceMatrix(cov);
1547
1548   //***** Improvements by A.Dainese
1549   alpha=GetAlpha(); sn=TMath::Sin(alpha); cs=TMath::Cos(alpha);
1550   Double_t s2ylocvtx = cov[0]*sn*sn + cov[2]*cs*cs - 2.*cov[1]*cs*sn;
1551   covar[0] = GetCovariance()[0] + s2ylocvtx;   // neglecting correlations
1552   covar[1] = GetCovariance()[1];               // between (x,y) and z
1553   covar[2] = GetCovariance()[2] + cov[5];      // in vertex's covariance matrix
1554   //*****
1555
1556   return kTRUE;
1557 }
1558
1559 void AliExternalTrackParam::GetDirection(Double_t d[3]) const {
1560   //----------------------------------------------------------------
1561   // This function returns a unit vector along the track direction
1562   // in the global coordinate system.
1563   //----------------------------------------------------------------
1564   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
1565   Double_t snp=fP[2];
1566   Double_t csp =TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp));
1567   Double_t norm=TMath::Sqrt(1.+ fP[3]*fP[3]);
1568   d[0]=(csp*cs - snp*sn)/norm;
1569   d[1]=(snp*cs + csp*sn)/norm;
1570   d[2]=fP[3]/norm;
1571 }
1572
1573 Bool_t AliExternalTrackParam::GetPxPyPz(Double_t p[3]) const {
1574   //---------------------------------------------------------------------
1575   // This function returns the global track momentum components
1576   // Results for (nearly) straight tracks are meaningless !
1577   //---------------------------------------------------------------------
1578   p[0]=fP[4]; p[1]=fP[2]; p[2]=fP[3];
1579   return Local2GlobalMomentum(p,fAlpha);
1580 }
1581
1582 Double_t AliExternalTrackParam::Px() const {
1583   //---------------------------------------------------------------------
1584   // Returns x-component of momentum
1585   // Result for (nearly) straight tracks is meaningless !
1586   //---------------------------------------------------------------------
1587
1588   Double_t p[3]={kVeryBig,kVeryBig,kVeryBig};
1589   GetPxPyPz(p);
1590
1591   return p[0];
1592 }
1593
1594 Double_t AliExternalTrackParam::Py() const {
1595   //---------------------------------------------------------------------
1596   // Returns y-component of momentum
1597   // Result for (nearly) straight tracks is meaningless !
1598   //---------------------------------------------------------------------
1599
1600   Double_t p[3]={kVeryBig,kVeryBig,kVeryBig};
1601   GetPxPyPz(p);
1602
1603   return p[1];
1604 }
1605
1606 Double_t AliExternalTrackParam::Xv() const {
1607   //---------------------------------------------------------------------
1608   // Returns x-component of first track point
1609   //---------------------------------------------------------------------
1610
1611   Double_t r[3]={0.,0.,0.};
1612   GetXYZ(r);
1613
1614   return r[0];
1615 }
1616
1617 Double_t AliExternalTrackParam::Yv() const {
1618   //---------------------------------------------------------------------
1619   // Returns y-component of first track point
1620   //---------------------------------------------------------------------
1621
1622   Double_t r[3]={0.,0.,0.};
1623   GetXYZ(r);
1624
1625   return r[1];
1626 }
1627
1628 Double_t AliExternalTrackParam::Theta() const {
1629   // return theta angle of momentum
1630
1631   return 0.5*TMath::Pi() - TMath::ATan(fP[3]);
1632 }
1633
1634 Double_t AliExternalTrackParam::Phi() const {
1635   //---------------------------------------------------------------------
1636   // Returns the azimuthal angle of momentum
1637   // 0 <= phi < 2*pi
1638   //---------------------------------------------------------------------
1639
1640   Double_t phi=TMath::ASin(fP[2]) + fAlpha;
1641   if (phi<0.) phi+=2.*TMath::Pi();
1642   else if (phi>=2.*TMath::Pi()) phi-=2.*TMath::Pi();
1643
1644   return phi;
1645 }
1646
1647 Double_t AliExternalTrackParam::M() const {
1648   // return particle mass
1649
1650   // No mass information available so far.
1651   // Redifine in derived class!
1652
1653   return -999.;
1654 }
1655
1656 Double_t AliExternalTrackParam::E() const {
1657   // return particle energy
1658
1659   // No PID information available so far.
1660   // Redifine in derived class!
1661
1662   return -999.;
1663 }
1664
1665 Double_t AliExternalTrackParam::Eta() const {
1666   // return pseudorapidity
1667
1668   return -TMath::Log(TMath::Tan(0.5 * Theta()));
1669 }
1670
1671 Double_t AliExternalTrackParam::Y() const {
1672   // return rapidity
1673
1674   // No PID information available so far.
1675   // Redifine in derived class!
1676
1677   return -999.;
1678 }
1679
1680 Bool_t AliExternalTrackParam::GetXYZ(Double_t *r) const {
1681   //---------------------------------------------------------------------
1682   // This function returns the global track position
1683   //---------------------------------------------------------------------
1684   r[0]=fX; r[1]=fP[0]; r[2]=fP[1];
1685   return Local2GlobalPosition(r,fAlpha);
1686 }
1687
1688 Bool_t AliExternalTrackParam::GetCovarianceXYZPxPyPz(Double_t cv[21]) const {
1689   //---------------------------------------------------------------------
1690   // This function returns the global covariance matrix of the track params
1691   //
1692   // Cov(x,x) ... :   cv[0]
1693   // Cov(y,x) ... :   cv[1]  cv[2]
1694   // Cov(z,x) ... :   cv[3]  cv[4]  cv[5]
1695   // Cov(px,x)... :   cv[6]  cv[7]  cv[8]  cv[9]
1696   // Cov(py,x)... :   cv[10] cv[11] cv[12] cv[13] cv[14]
1697   // Cov(pz,x)... :   cv[15] cv[16] cv[17] cv[18] cv[19] cv[20]
1698   //
1699   // Results for (nearly) straight tracks are meaningless !
1700   //---------------------------------------------------------------------
1701   if (TMath::Abs(fP[4])<=kAlmost0) {
1702      for (Int_t i=0; i<21; i++) cv[i]=0.;
1703      return kFALSE;
1704   }
1705   if (TMath::Abs(fP[2]) > kAlmost1) {
1706      for (Int_t i=0; i<21; i++) cv[i]=0.;
1707      return kFALSE;
1708   }
1709   Double_t pt=1./TMath::Abs(fP[4]);
1710   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
1711   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2]));
1712
1713   Double_t m00=-sn, m10=cs;
1714   Double_t m23=-pt*(sn + fP[2]*cs/r), m43=-pt*pt*(r*cs - fP[2]*sn);
1715   Double_t m24= pt*(cs - fP[2]*sn/r), m44=-pt*pt*(r*sn + fP[2]*cs);
1716   Double_t m35=pt, m45=-pt*pt*fP[3];
1717
1718   m43*=GetSign();
1719   m44*=GetSign();
1720   m45*=GetSign();
1721
1722   cv[0 ] = fC[0]*m00*m00;
1723   cv[1 ] = fC[0]*m00*m10;
1724   cv[2 ] = fC[0]*m10*m10;
1725   cv[3 ] = fC[1]*m00;
1726   cv[4 ] = fC[1]*m10;
1727   cv[5 ] = fC[2];
1728   cv[6 ] = m00*(fC[3]*m23 + fC[10]*m43);
1729   cv[7 ] = m10*(fC[3]*m23 + fC[10]*m43);
1730   cv[8 ] = fC[4]*m23 + fC[11]*m43;
1731   cv[9 ] = m23*(fC[5]*m23 + fC[12]*m43)  +  m43*(fC[12]*m23 + fC[14]*m43);
1732   cv[10] = m00*(fC[3]*m24 + fC[10]*m44);
1733   cv[11] = m10*(fC[3]*m24 + fC[10]*m44);
1734   cv[12] = fC[4]*m24 + fC[11]*m44;
1735   cv[13] = m23*(fC[5]*m24 + fC[12]*m44)  +  m43*(fC[12]*m24 + fC[14]*m44);
1736   cv[14] = m24*(fC[5]*m24 + fC[12]*m44)  +  m44*(fC[12]*m24 + fC[14]*m44);
1737   cv[15] = m00*(fC[6]*m35 + fC[10]*m45);
1738   cv[16] = m10*(fC[6]*m35 + fC[10]*m45);
1739   cv[17] = fC[7]*m35 + fC[11]*m45;
1740   cv[18] = m23*(fC[8]*m35 + fC[12]*m45)  +  m43*(fC[13]*m35 + fC[14]*m45);
1741   cv[19] = m24*(fC[8]*m35 + fC[12]*m45)  +  m44*(fC[13]*m35 + fC[14]*m45);
1742   cv[20] = m35*(fC[9]*m35 + fC[13]*m45)  +  m45*(fC[13]*m35 + fC[14]*m45);
1743
1744   return kTRUE;
1745 }
1746
1747
1748 Bool_t
1749 AliExternalTrackParam::GetPxPyPzAt(Double_t x, Double_t b, Double_t *p) const {
1750   //---------------------------------------------------------------------
1751   // This function returns the global track momentum extrapolated to
1752   // the radial position "x" (cm) in the magnetic field "b" (kG)
1753   //---------------------------------------------------------------------
1754   p[0]=fP[4];
1755   p[1]=fP[2]+(x-fX)*GetC(b);
1756   p[2]=fP[3];
1757   return Local2GlobalMomentum(p,fAlpha);
1758 }
1759
1760 Bool_t
1761 AliExternalTrackParam::GetYAt(Double_t x, Double_t b, Double_t &y) const {
1762   //---------------------------------------------------------------------
1763   // This function returns the local Y-coordinate of the intersection
1764   // point between this track and the reference plane "x" (cm).
1765   // Magnetic field "b" (kG)
1766   //---------------------------------------------------------------------
1767   Double_t dx=x-fX;
1768   if(TMath::Abs(dx)<=kAlmost0) {y=fP[0]; return kTRUE;}
1769
1770   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + dx*GetC(b);
1771
1772   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1773   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1774
1775   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1776   y = fP[0] + dx*(f1+f2)/(r1+r2);
1777   return kTRUE;
1778 }
1779
1780 Bool_t
1781 AliExternalTrackParam::GetZAt(Double_t x, Double_t b, Double_t &z) const {
1782   //---------------------------------------------------------------------
1783   // This function returns the local Z-coordinate of the intersection
1784   // point between this track and the reference plane "x" (cm).
1785   // Magnetic field "b" (kG)
1786   //---------------------------------------------------------------------
1787   Double_t dx=x-fX;
1788   if(TMath::Abs(dx)<=kAlmost0) {z=fP[1]; return kTRUE;}
1789
1790   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + dx*GetC(b);
1791
1792   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1793   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1794
1795   Double_t r1=sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1796   z = fP[1] + dx*(r2 + f2*(f1+f2)/(r1+r2))*fP[3]; // Many thanks to P.Hristov !
1797   return kTRUE;
1798 }
1799
1800 Bool_t
1801 AliExternalTrackParam::GetXYZAt(Double_t x, Double_t b, Double_t *r) const {
1802   //---------------------------------------------------------------------
1803   // This function returns the global track position extrapolated to
1804   // the radial position "x" (cm) in the magnetic field "b" (kG)
1805   //---------------------------------------------------------------------
1806   Double_t dx=x-fX;
1807   if(TMath::Abs(dx)<=kAlmost0) return GetXYZ(r);
1808
1809   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + dx*GetC(b);
1810
1811   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1812   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1813
1814   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1815   r[0] = x;
1816   r[1] = fP[0] + dx*(f1+f2)/(r1+r2);
1817   r[2] = fP[1] + dx*(r2 + f2*(f1+f2)/(r1+r2))*fP[3];//Thanks to Andrea & Peter
1818
1819   return Local2GlobalPosition(r,fAlpha);
1820 }
1821
1822 //_____________________________________________________________________________
1823 void AliExternalTrackParam::Print(Option_t* /*option*/) const
1824 {
1825 // print the parameters and the covariance matrix
1826
1827   printf("AliExternalTrackParam: x = %-12g  alpha = %-12g\n", fX, fAlpha);
1828   printf("  parameters: %12g %12g %12g %12g %12g\n",
1829          fP[0], fP[1], fP[2], fP[3], fP[4]);
1830   printf("  covariance: %12g\n", fC[0]);
1831   printf("              %12g %12g\n", fC[1], fC[2]);
1832   printf("              %12g %12g %12g\n", fC[3], fC[4], fC[5]);
1833   printf("              %12g %12g %12g %12g\n",
1834          fC[6], fC[7], fC[8], fC[9]);
1835   printf("              %12g %12g %12g %12g %12g\n",
1836          fC[10], fC[11], fC[12], fC[13], fC[14]);
1837 }
1838
1839 Double_t AliExternalTrackParam::GetSnpAt(Double_t x,Double_t b) const {
1840   //
1841   // Get sinus at given x
1842   //
1843   Double_t crv=GetC(b);
1844   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
1845   Double_t dx = x-fX;
1846   Double_t res = fP[2]+dx*crv;
1847   return res;
1848 }
1849
1850 Bool_t AliExternalTrackParam::GetDistance(AliExternalTrackParam *param2, Double_t x, Double_t dist[3], Double_t bz){
1851   //------------------------------------------------------------------------
1852   // Get the distance between two tracks at the local position x
1853   // working in the local frame of this track.
1854   // Origin :   Marian.Ivanov@cern.ch
1855   //-----------------------------------------------------------------------
1856   Double_t xyz[3];
1857   Double_t xyz2[3];
1858   xyz[0]=x;
1859   if (!GetYAt(x,bz,xyz[1])) return kFALSE;
1860   if (!GetZAt(x,bz,xyz[2])) return kFALSE;
1861   //
1862   //
1863   if (TMath::Abs(GetAlpha()-param2->GetAlpha())<kAlmost0){
1864     xyz2[0]=x;
1865     if (!param2->GetYAt(x,bz,xyz2[1])) return kFALSE;
1866     if (!param2->GetZAt(x,bz,xyz2[2])) return kFALSE;
1867   }else{
1868     //
1869     Double_t xyz1[3];
1870     Double_t dfi = param2->GetAlpha()-GetAlpha();
1871     Double_t ca = TMath::Cos(dfi), sa = TMath::Sin(dfi);
1872     xyz2[0] =  xyz[0]*ca+xyz[1]*sa;
1873     xyz2[1] = -xyz[0]*sa+xyz[1]*ca;
1874     //
1875     xyz1[0]=xyz2[0];
1876     if (!param2->GetYAt(xyz2[0],bz,xyz1[1])) return kFALSE;
1877     if (!param2->GetZAt(xyz2[0],bz,xyz1[2])) return kFALSE;
1878     //
1879     xyz2[0] =  xyz1[0]*ca-xyz1[1]*sa;
1880     xyz2[1] = +xyz1[0]*sa+xyz1[1]*ca;
1881     xyz2[2] = xyz1[2];
1882   }
1883   dist[0] = xyz[0]-xyz2[0];
1884   dist[1] = xyz[1]-xyz2[1];
1885   dist[2] = xyz[2]-xyz2[2];
1886
1887   return kTRUE;
1888 }
1889
1890
1891 //
1892 // Draw functionality.
1893 // Origin: Marian Ivanov, Marian.Ivanov@cern.ch
1894 //
1895
1896 void  AliExternalTrackParam::DrawTrack(Float_t magf, Float_t minR, Float_t maxR, Float_t stepR){
1897   //
1898   // Draw track line
1899   //
1900   if (minR>maxR) return ;
1901   if (stepR<=0) return ;
1902   Int_t npoints = TMath::Nint((maxR-minR)/stepR)+1;
1903   if (npoints<1) return;
1904   TPolyMarker3D *polymarker = new TPolyMarker3D(npoints);
1905   FillPolymarker(polymarker, magf,minR,maxR,stepR);
1906   polymarker->Draw();
1907 }
1908
1909 //
1910 void AliExternalTrackParam::FillPolymarker(TPolyMarker3D *pol, Float_t magF, Float_t minR, Float_t maxR, Float_t stepR){
1911   //
1912   // Fill points in the polymarker
1913   //
1914   Int_t counter=0;
1915   for (Double_t r=minR; r<maxR; r+=stepR){
1916     Double_t point[3];
1917     GetXYZAt(r,magF,point);
1918     pol->SetPoint(counter,point[0],point[1], point[2]);
1919     //    printf("xyz\t%f\t%f\t%f\n",point[0], point[1],point[2]);
1920     counter++;
1921   }
1922 }
1923
1924 Int_t AliExternalTrackParam::GetIndex(Int_t i, Int_t j) const {
1925   //
1926   Int_t min = TMath::Min(i,j);
1927   Int_t max = TMath::Max(i,j);
1928
1929   return min+(max+1)*max/2;
1930 }
1931
1932
1933 void AliExternalTrackParam::g3helx3(Double_t qfield,
1934                                     Double_t step,
1935                                     Double_t vect[7]) {
1936 /******************************************************************
1937  *                                                                *
1938  *       GEANT3 tracking routine in a constant field oriented     *
1939  *       along axis 3                                             *
1940  *       Tracking is performed with a conventional                *
1941  *       helix step method                                        *
1942  *                                                                *
1943  *       Authors    R.Brun, M.Hansroul  *********                 *
1944  *       Rewritten  V.Perevoztchikov                              *
1945  *                                                                *
1946  *       Rewritten in C++ by I.Belikov                            *
1947  *                                                                *
1948  *  qfield (kG)       - particle charge times magnetic field      *
1949  *  step   (cm)       - step length along the helix               *
1950  *  vect[7](cm,GeV/c) - input/output x, y, z, px/p, py/p ,pz/p, p *
1951  *                                                                *
1952  ******************************************************************/
1953   const Int_t ix=0, iy=1, iz=2, ipx=3, ipy=4, ipz=5, ipp=6;
1954   const Double_t kOvSqSix=TMath::Sqrt(1./6.);
1955
1956   Double_t cosx=vect[ipx], cosy=vect[ipy], cosz=vect[ipz];
1957
1958   Double_t rho = qfield*kB2C/vect[ipp];
1959   Double_t tet = rho*step;
1960
1961   Double_t tsint, sintt, sint, cos1t;
1962   if (TMath::Abs(tet) > 0.03) {
1963      sint  = TMath::Sin(tet);
1964      sintt = sint/tet;
1965      tsint = (tet - sint)/tet;
1966      Double_t t=TMath::Sin(0.5*tet);
1967      cos1t = 2*t*t/tet;
1968   } else {
1969      tsint = tet*tet/6.;
1970      sintt = (1.-tet*kOvSqSix)*(1.+tet*kOvSqSix); // 1.- tsint;
1971      sint  = tet*sintt;
1972      cos1t = 0.5*tet;
1973   }
1974
1975   Double_t f1 = step*sintt;
1976   Double_t f2 = step*cos1t;
1977   Double_t f3 = step*tsint*cosz;
1978   Double_t f4 = -tet*cos1t;
1979   Double_t f5 = sint;
1980
1981   vect[ix]  += f1*cosx - f2*cosy;
1982   vect[iy]  += f1*cosy + f2*cosx;
1983   vect[iz]  += f1*cosz + f3;
1984
1985   vect[ipx] += f4*cosx - f5*cosy;
1986   vect[ipy] += f4*cosy + f5*cosx;
1987
1988 }
1989
1990 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateToBxByBz(Double_t xk, const Double_t b[3]) {
1991   //----------------------------------------------------------------
1992   // Extrapolate this track to the plane X=xk in the field b[].
1993   //
1994   // X [cm] is in the "tracking coordinate system" of this track.
1995   // b[]={Bx,By,Bz} [kG] is in the Global coordidate system.
1996   //----------------------------------------------------------------
1997
1998   Double_t dx=xk-fX;
1999   if (TMath::Abs(dx)<=kAlmost0)  return kTRUE;
2000   if (TMath::Abs(fP[4])<=kAlmost0) return kFALSE;
2001   // Do not propagate tracks outside the ALICE detector
2002   if (TMath::Abs(dx)>1e5 ||
2003       TMath::Abs(GetY())>1e5 ||
2004       TMath::Abs(GetZ())>1e5) {
2005     AliWarning(Form("Anomalous track, target X:%f",xk));
2006     Print();
2007     return kFALSE;
2008   }
2009
2010   Double_t crv=GetC(b[2]);
2011   if (TMath::Abs(b[2]) < kAlmost0Field) crv=0.;
2012
2013   Double_t x2r = crv*dx;
2014   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + x2r;
2015   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
2016   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
2017
2018
2019   // Estimate the covariance matrix
2020   Double_t &fP3=fP[3], &fP4=fP[4];
2021   Double_t
2022   &fC00=fC[0],
2023   &fC10=fC[1],   &fC11=fC[2],
2024   &fC20=fC[3],   &fC21=fC[4],   &fC22=fC[5],
2025   &fC30=fC[6],   &fC31=fC[7],   &fC32=fC[8],   &fC33=fC[9],
2026   &fC40=fC[10],  &fC41=fC[11],  &fC42=fC[12],  &fC43=fC[13], &fC44=fC[14];
2027
2028   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
2029
2030   //f = F - 1
2031   Double_t f02=    dx/(r1*r1*r1);            Double_t cc=crv/fP4;
2032   Double_t f04=0.5*dx*dx/(r1*r1*r1);         f04*=cc;
2033   Double_t f12=    dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);
2034   Double_t f14=0.5*dx*dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);  f14*=cc;
2035   Double_t f13=    dx/r1;
2036   Double_t f24=    dx;                       f24*=cc;
2037
2038   //b = C*ft
2039   Double_t b00=f02*fC20 + f04*fC40, b01=f12*fC20 + f14*fC40 + f13*fC30;
2040   Double_t b02=f24*fC40;
2041   Double_t b10=f02*fC21 + f04*fC41, b11=f12*fC21 + f14*fC41 + f13*fC31;
2042   Double_t b12=f24*fC41;
2043   Double_t b20=f02*fC22 + f04*fC42, b21=f12*fC22 + f14*fC42 + f13*fC32;
2044   Double_t b22=f24*fC42;
2045   Double_t b40=f02*fC42 + f04*fC44, b41=f12*fC42 + f14*fC44 + f13*fC43;
2046   Double_t b42=f24*fC44;
2047   Double_t b30=f02*fC32 + f04*fC43, b31=f12*fC32 + f14*fC43 + f13*fC33;
2048   Double_t b32=f24*fC43;
2049
2050   //a = f*b = f*C*ft
2051   Double_t a00=f02*b20+f04*b40,a01=f02*b21+f04*b41,a02=f02*b22+f04*b42;
2052   Double_t a11=f12*b21+f14*b41+f13*b31,a12=f12*b22+f14*b42+f13*b32;
2053   Double_t a22=f24*b42;
2054
2055   //F*C*Ft = C + (b + bt + a)
2056   fC00 += b00 + b00 + a00;
2057   fC10 += b10 + b01 + a01;
2058   fC20 += b20 + b02 + a02;
2059   fC30 += b30;
2060   fC40 += b40;
2061   fC11 += b11 + b11 + a11;
2062   fC21 += b21 + b12 + a12;
2063   fC31 += b31;
2064   fC41 += b41;
2065   fC22 += b22 + b22 + a22;
2066   fC32 += b32;
2067   fC42 += b42;
2068
2069   CheckCovariance();
2070
2071   // Appoximate step length
2072   double dy2dx = (f1+f2)/(r1+r2);
2073   Double_t step = (TMath::Abs(x2r)<0.05) ? dx*TMath::Abs(r2 + f2*dy2dx)  // chord
2074     : 2.*TMath::ASin(0.5*dx*TMath::Sqrt(1.+dy2dx*dy2dx)*crv)/crv;        // arc
2075   step *= TMath::Sqrt(1.+ GetTgl()*GetTgl());
2076
2077   // Get the track's (x,y,z) and (px,py,pz) in the Global System
2078   Double_t r[3]; GetXYZ(r);
2079   Double_t p[3]; GetPxPyPz(p);
2080   Double_t pp=GetP();
2081   p[0] /= pp;
2082   p[1] /= pp;
2083   p[2] /= pp;
2084
2085
2086   // Rotate to the system where Bx=By=0.
2087   Double_t bt=TMath::Sqrt(b[0]*b[0] + b[1]*b[1]);
2088   Double_t cosphi=1., sinphi=0.;
2089   if (bt > kAlmost0) {cosphi=b[0]/bt; sinphi=b[1]/bt;}
2090   Double_t bb=TMath::Sqrt(b[0]*b[0] + b[1]*b[1] + b[2]*b[2]);
2091   Double_t costet=1., sintet=0.;
2092   if (bb > kAlmost0) {costet=b[2]/bb; sintet=bt/bb;}
2093   Double_t vect[7];
2094
2095   vect[0] = costet*cosphi*r[0] + costet*sinphi*r[1] - sintet*r[2];
2096   vect[1] = -sinphi*r[0] + cosphi*r[1];
2097   vect[2] = sintet*cosphi*r[0] + sintet*sinphi*r[1] + costet*r[2];
2098
2099   vect[3] = costet*cosphi*p[0] + costet*sinphi*p[1] - sintet*p[2];
2100   vect[4] = -sinphi*p[0] + cosphi*p[1];
2101   vect[5] = sintet*cosphi*p[0] + sintet*sinphi*p[1] + costet*p[2];
2102
2103   vect[6] = pp;
2104
2105
2106   // Do the helix step
2107   g3helx3(GetSign()*bb,step,vect);
2108
2109
2110   // Rotate back to the Global System
2111   r[0] = cosphi*costet*vect[0] - sinphi*vect[1] + cosphi*sintet*vect[2];
2112   r[1] = sinphi*costet*vect[0] + cosphi*vect[1] + sinphi*sintet*vect[2];
2113   r[2] = -sintet*vect[0] + costet*vect[2];
2114
2115   p[0] = cosphi*costet*vect[3] - sinphi*vect[4] + cosphi*sintet*vect[5];
2116   p[1] = sinphi*costet*vect[3] + cosphi*vect[4] + sinphi*sintet*vect[5];
2117   p[2] = -sintet*vect[3] + costet*vect[5];
2118
2119
2120   // Rotate back to the Tracking System
2121   Double_t cosalp = TMath::Cos(fAlpha);
2122   Double_t sinalp =-TMath::Sin(fAlpha);
2123
2124   Double_t
2125   t    = cosalp*r[0] - sinalp*r[1];
2126   r[1] = sinalp*r[0] + cosalp*r[1];
2127   r[0] = t;
2128
2129   t    = cosalp*p[0] - sinalp*p[1];
2130   p[1] = sinalp*p[0] + cosalp*p[1];
2131   p[0] = t;
2132
2133
2134   // Do the final correcting step to the target plane (linear approximation)
2135   Double_t x=r[0], y=r[1], z=r[2];
2136   if (TMath::Abs(dx) > kAlmost0) {
2137      if (TMath::Abs(p[0]) < kAlmost0) return kFALSE;
2138      dx = xk - r[0];
2139      x += dx;
2140      y += p[1]/p[0]*dx;
2141      z += p[2]/p[0]*dx;
2142   }
2143
2144
2145   // Calculate the track parameters
2146   t=TMath::Sqrt(p[0]*p[0] + p[1]*p[1]);
2147   fX    = x;
2148   fP[0] = y;
2149   fP[1] = z;
2150   fP[2] = p[1]/t;
2151   fP[3] = p[2]/t;
2152   fP[4] = GetSign()/(t*pp);
2153
2154   return kTRUE;
2155 }
2156
2157 Bool_t AliExternalTrackParam::Translate(Double_t *vTrasl,Double_t *covV){
2158   //
2159   //Translation: in the event mixing, the tracks can be shifted
2160   //of the difference among primary vertices (vTrasl) and
2161   //the covariance matrix is changed accordingly
2162   //(covV = covariance of the primary vertex).
2163   //Origin: "Romita, Rossella" <R.Romita@gsi.de>
2164   //
2165   TVector3 translation;
2166   // vTrasl coordinates in the local system
2167   translation.SetXYZ(vTrasl[0],vTrasl[1],vTrasl[2]);
2168   translation.RotateZ(-fAlpha);
2169   translation.GetXYZ(vTrasl);
2170
2171  //compute the new x,y,z of the track
2172   Double_t newX=fX-vTrasl[0];
2173   Double_t newY=fP[0]-vTrasl[1];
2174   Double_t newZ=fP[1]-vTrasl[2];
2175
2176   //define the new parameters
2177   Double_t newParam[5];
2178   newParam[0]=newY;
2179   newParam[1]=newZ;
2180   newParam[2]=fP[2];
2181   newParam[3]=fP[3];
2182   newParam[4]=fP[4];
2183
2184   // recompute the covariance matrix:
2185   // 1. covV in the local system
2186   Double_t cosRot=TMath::Cos(fAlpha), sinRot=TMath::Sin(fAlpha);
2187   TMatrixD qQi(3,3);
2188   qQi(0,0) = cosRot;
2189   qQi(0,1) = sinRot;
2190   qQi(0,2) = 0.;
2191   qQi(1,0) = -sinRot;
2192   qQi(1,1) = cosRot;
2193   qQi(1,2) = 0.;
2194   qQi(2,0) = 0.;
2195   qQi(2,1) = 0.;
2196   qQi(2,2) = 1.;
2197   TMatrixD uUi(3,3);
2198   uUi(0,0) = covV[0];
2199   uUi(0,0) = covV[0];
2200   uUi(1,0) = covV[1];
2201   uUi(0,1) = covV[1];
2202   uUi(2,0) = covV[3];
2203   uUi(0,2) = covV[3];
2204   uUi(1,1) = covV[2];
2205   uUi(2,2) = covV[5];
2206   uUi(1,2) = covV[4];
2207   if(uUi.Determinant() <= 0.) {return kFALSE;}
2208   TMatrixD uUiQi(uUi,TMatrixD::kMult,qQi);
2209   TMatrixD m(qQi,TMatrixD::kTransposeMult,uUiQi);
2210
2211   //2. compute the new covariance matrix of the track
2212   Double_t sigmaXX=m(0,0);
2213   Double_t sigmaXZ=m(2,0);
2214   Double_t sigmaXY=m(1,0);
2215   Double_t sigmaYY=GetSigmaY2()+m(1,1);
2216   Double_t sigmaYZ=fC[1]+m(1,2);
2217   Double_t sigmaZZ=fC[2]+m(2,2);
2218   Double_t covarianceYY=sigmaYY + (-1.)*((sigmaXY*sigmaXY)/sigmaXX);
2219   Double_t covarianceYZ=sigmaYZ-(sigmaXZ*sigmaXY/sigmaXX);
2220   Double_t covarianceZZ=sigmaZZ-((sigmaXZ*sigmaXZ)/sigmaXX);
2221
2222   Double_t newCov[15];
2223   newCov[0]=covarianceYY;
2224   newCov[1]=covarianceYZ;
2225   newCov[2]=covarianceZZ;
2226   for(Int_t i=3;i<15;i++){
2227     newCov[i]=fC[i];
2228    }
2229
2230   // set the new parameters
2231
2232   Set(newX,fAlpha,newParam,newCov);
2233
2234   return kTRUE;
2235  }
2236
2237 void AliExternalTrackParam::CheckCovariance() {
2238
2239   // This function forces the diagonal elements of the covariance matrix to be positive.
2240   // In case the diagonal element is bigger than the maximal allowed value, it is set to
2241   // the limit and the off-diagonal elements that correspond to it are set to zero.
2242
2243     fC[0] = TMath::Abs(fC[0]);
2244     if (fC[0]>kC0max) {
2245       fC[0] = kC0max;
2246       fC[1] = 0;
2247       fC[3] = 0;
2248       fC[6] = 0;
2249       fC[10] = 0;
2250     }
2251     fC[2] = TMath::Abs(fC[2]);
2252     if (fC[2]>kC2max) {
2253       fC[2] = kC2max;
2254       fC[1] = 0;
2255       fC[4] = 0;
2256       fC[7] = 0;
2257       fC[11] = 0;
2258     }
2259     fC[5] = TMath::Abs(fC[5]);
2260     if (fC[5]>kC5max) {
2261       fC[5] = kC5max;
2262       fC[3] = 0;
2263       fC[4] = 0;
2264       fC[8] = 0;
2265       fC[12] = 0;
2266     }
2267     fC[9] = TMath::Abs(fC[9]);
2268     if (fC[9]>kC9max) {
2269       fC[9] = kC9max;
2270       fC[6] = 0;
2271       fC[7] = 0;
2272       fC[8] = 0;
2273       fC[13] = 0;
2274     }
2275     fC[14] = TMath::Abs(fC[14]);
2276     if (fC[14]>kC14max) {
2277       fC[14] = kC14max;
2278       fC[10] = 0;
2279       fC[11] = 0;
2280       fC[12] = 0;
2281       fC[13] = 0;
2282     }
2283
2284     // The part below is used for tests and normally is commented out
2285 //     TMatrixDSym m(5);
2286 //     TVectorD eig(5);
2287
2288 //     m(0,0)=fC[0];
2289 //     m(1,0)=fC[1];  m(1,1)=fC[2];
2290 //     m(2,0)=fC[3];  m(2,1)=fC[4];  m(2,2)=fC[5];
2291 //     m(3,0)=fC[6];  m(3,1)=fC[7];  m(3,2)=fC[8];  m(3,3)=fC[9];
2292 //     m(4,0)=fC[10]; m(4,1)=fC[11]; m(4,2)=fC[12]; m(4,3)=fC[13]; m(4,4)=fC[14];
2293
2294 //     m(0,1)=m(1,0);
2295 //     m(0,2)=m(2,0); m(1,2)=m(2,1);
2296 //     m(0,3)=m(3,0); m(1,3)=m(3,1); m(2,3)=m(3,2);
2297 //     m(0,4)=m(4,0); m(1,4)=m(4,1); m(2,4)=m(4,2); m(3,4)=m(4,3);
2298 //     m.EigenVectors(eig);
2299
2300 //     //    assert(eig(0)>=0 && eig(1)>=0 && eig(2)>=0 && eig(3)>=0 && eig(4)>=0);
2301 //     if (!(eig(0)>=0 && eig(1)>=0 && eig(2)>=0 && eig(3)>=0 && eig(4)>=0)) {
2302 //       AliWarning("Negative eigenvalues of the covariance matrix!");
2303 //       this->Print();
2304 //       eig.Print();
2305 //     }
2306 }
2307
2308 Bool_t AliExternalTrackParam::ConstrainToVertex(const AliVVertex* vtx, Double_t b[3])
2309 {
2310   // Constrain TPC inner params constrained
2311   //
2312   if (!vtx)
2313     return kFALSE;
2314
2315   Double_t dz[2], cov[3];
2316   if (!PropagateToDCABxByBz(vtx, b, 3, dz, cov))
2317     return kFALSE;
2318
2319   Double_t covar[6];
2320   vtx->GetCovarianceMatrix(covar);
2321
2322   Double_t p[2]= { fP[0] - dz[0], fP[1] - dz[1] };
2323   Double_t c[3]= { covar[2], 0., covar[5] };
2324
2325   Double_t chi2C = GetPredictedChi2(p,c);
2326   if (chi2C>kVeryBig)
2327     return kFALSE;
2328
2329   if (!Update(p,c))
2330     return kFALSE;
2331
2332   return kTRUE;
2333 }
2334
2335 //___________________________________________________________________________________________
2336 Bool_t AliExternalTrackParam::GetXatLabR(Double_t r,Double_t &x, Double_t bz, Int_t dir) const
2337 {
2338   // Get local X of the track position estimated at the radius lab radius r.
2339   // The track curvature is accounted exactly
2340   //
2341   // The flag "dir" can be used to remove the ambiguity of which intersection to take (out of 2 possible)
2342   // 0  - take the intersection closest to the current track position
2343   // >0 - go along the track (increasing fX)
2344   // <0 - go backward (decreasing fX)
2345   //
2346   const Double_t &fy=fP[0], &sn = fP[2];
2347   //
2348   double crv = GetC(bz);
2349   if (TMath::Abs(crv)<=kAlmost0) { // this is a straight track
2350     if (TMath::Abs(sn)>=kAlmost1) { // || to Y axis
2351       double det = (r-fX)*(r+fX);
2352       if (det<0) return kFALSE;     // does not reach raduis r
2353       x = fX;
2354       if (dir==0) return kTRUE;
2355       det = TMath::Sqrt(det);
2356       if (dir>0) {                       // along the track direction
2357         if (sn>0) {if (fy>det)  return kFALSE;} // track is along Y axis and above the circle
2358         else      {if (fy<-det) return kFALSE;} // track is against Y axis amd belo the circle
2359       }
2360       else if(dir>0) {                                    // agains track direction
2361         if (sn>0) {if (fy<-det) return kFALSE;} // track is along Y axis
2362         else if (fy>det)  return kFALSE;        // track is against Y axis
2363       }
2364     }
2365     else if (TMath::Abs(sn)<=kAlmost0) { // || to X axis
2366       double det = (r-fy)*(r+fy);
2367       if (det<0) return kFALSE;     // does not reach raduis r
2368       det = TMath::Sqrt(det);
2369       if (!dir) {
2370         x = fX>0  ? det : -det;    // choose the solution requiring the smalest step
2371         return kTRUE;
2372       }
2373       else if (dir>0) {                    // along the track direction
2374         if      (fX > det) return kFALSE;  // current point is in on the right from the circle
2375         else if (fX <-det) x = -det;       // on the left
2376         else               x =  det;       // within the circle
2377       }
2378       else {                               // against the track direction
2379         if      (fX <-det) return kFALSE;
2380         else if (fX > det) x =  det;
2381         else               x = -det;
2382       }
2383     }
2384     else {                                 // general case of straight line
2385       double cs = TMath::Sqrt((1-sn)*(1+sn));
2386       double xsyc = fX*sn-fy*cs;
2387       double det = (r-xsyc)*(r+xsyc);
2388       if (det<0) return kFALSE;    // does not reach raduis r
2389       det = TMath::Sqrt(det);
2390       double xcys = fX*cs+fy*sn;
2391       double t = -xcys;
2392       if (dir==0) t += t>0 ? -det:det;  // chose the solution requiring the smalest step
2393       else if (dir>0) {                 // go in increasing fX direction. ( t+-det > 0)
2394         if (t>=-det) t += -det;         // take minimal step giving t>0
2395         else return kFALSE;             // both solutions have negative t
2396       }
2397       else {                            // go in increasing fX direction. (t+-det < 0)
2398         if (t<det) t -= det;            // take minimal step giving t<0
2399         else return kFALSE;             // both solutions have positive t
2400       }
2401       x = fX + cs*t;
2402     }
2403   }
2404   else {                                 // helix
2405     // get center of the track circle
2406     double tR = 1./crv;   // track radius (for the moment signed)
2407     double cs = TMath::Sqrt((1-sn)*(1+sn));
2408     double x0 = fX - sn*tR;
2409     double y0 = fy + cs*tR;
2410     double r0 = TMath::Sqrt(x0*x0+y0*y0);
2411     //    printf("Xc:%+e Yc:%+e\n",x0,y0);
2412     //
2413     if (r0<=kAlmost0) return kFALSE;            // the track is concentric to circle
2414     tR = TMath::Abs(tR);
2415     double tR2r0 = tR/r0;
2416     double g = 0.5*(r*r/(r0*tR) - tR2r0 - 1./tR2r0);
2417     double det = (1.-g)*(1.+g);
2418     if (det<0) return kFALSE;         // does not reach raduis r
2419     det = TMath::Sqrt(det);
2420     //
2421     // the intersection happens in 2 points: {x0+tR*C,y0+tR*S}
2422     // with C=f*c0+-|s0|*det and S=f*s0-+c0 sign(s0)*det
2423     // where s0 and c0 make direction for the circle center (=x0/r0 and y0/r0)
2424     //
2425     double tmp = 1.+g*tR2r0;
2426     x = x0*tmp;
2427     double y = y0*tmp;
2428     if (TMath::Abs(y0)>kAlmost0) { // when y0==0 the x,y is unique
2429       double dfx = tR2r0*TMath::Abs(y0)*det;
2430       double dfy = tR2r0*x0*TMath::Sign(det,y0);
2431       if (dir==0) {                    // chose the one which corresponds to smallest step
2432         double delta = (x-fX)*dfx-(y-fy)*dfy; // the choice of + in C will lead to smaller step if delta<0
2433         if (delta<0) x += dfx;
2434         else         x -= dfx;
2435       }
2436       else if (dir>0) {  // along track direction: x must be > fX
2437         x -= dfx; // try the smallest step (dfx is positive)
2438         if (x<fX && (x+=dfx+dfx)<fX) return kFALSE;
2439       }
2440       else { // backward: x must be < fX
2441         x += dfx; // try the smallest step (dfx is positive)
2442         if (x>fX && (x-=dfx+dfx)>fX) return kFALSE;
2443       }
2444     }
2445     else { // special case: track touching the circle just in 1 point
2446       if ( (dir>0&&x<fX) || (dir<0&&x>fX) ) return kFALSE;
2447     }
2448   }
2449   //
2450   return kTRUE;
2451 }