STEER/STEERBase/AliExternalTrackParam.cxx

   1 /**************************************************************************
   2  * Copyright(c) 1998-1999, ALICE Experiment at CERN, All rights reserved. *
   3  *                                                                        *
   4  * Author: The ALICE Off-line Project.                                    *
   5  * Contributors are mentioned in the code where appropriate.              *
   6  *                                                                        *
   7  * Permission to use, copy, modify and distribute this software and its   *
   8  * documentation strictly for non-commercial purposes is hereby granted   *
   9  * without fee, provided that the above copyright notice appears in all   *
  10  * copies and that both the copyright notice and this permission notice   *
  11  * appear in the supporting documentation. The authors make no claims     *
  12  * about the suitability of this software for any purpose. It is          *
  13  * provided "as is" without express or implied warranty.                  *
  14  **************************************************************************/
  15
  16 /* $Id$ */
  17
  18 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  19 //                                                                           //
  20 // Implementation of the external track parameterisation class.              //
  21 //                                                                           //
  22 // This parameterisation is used to exchange tracks between the detectors.   //
  23 // A set of functions returning the position and the momentum of tracks      //
  24 // in the global coordinate system as well as the track impact parameters    //
  25 // are implemented.
  26 // Origin: I.Belikov, CERN, Jouri.Belikov@cern.ch                            //
  27 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  28 #include <cassert>
  29
  30 #include <TVectorD.h>
  31 #include <TMatrixDSym.h>
  32 #include <TPolyMarker3D.h>
  33 #include <TVector3.h>
  34 #include <TMatrixD.h>
  35
  36 #include "AliExternalTrackParam.h"
  37 #include "AliVVertex.h"
  38 #include "AliLog.h"
  39
  40 ClassImp(AliExternalTrackParam)
  41
  42 Double32_t AliExternalTrackParam::fgMostProbablePt=kMostProbablePt;
  43 Bool_t AliExternalTrackParam::fgUseLogTermMS = kFALSE;;
  44 //_____________________________________________________________________________
  45 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam() :
  46   AliVTrack(),
  47   fX(0),
  48   fAlpha(0)
  49 {
  50   //
  51   // default constructor
  52   //
  53   for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = 0;
  54   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = 0;
  55 }
  56
  57 //_____________________________________________________________________________
  58 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(const AliExternalTrackParam &track):
  59   AliVTrack(track),
  60   fX(track.fX),
  61   fAlpha(track.fAlpha)
  62 {
  63   //
  64   // copy constructor
  65   //
  66   for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = track.fP[i];
  67   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = track.fC[i];
  68   CheckCovariance();
  69 }
  70
  71 //_____________________________________________________________________________
  72 AliExternalTrackParam& AliExternalTrackParam::operator=(const AliExternalTrackParam &trkPar)
  73 {
  74   //
  75   // assignment operator
  76   //
  77
  78   if (this!=&trkPar) {
  79     AliVTrack::operator=(trkPar);
  80     fX = trkPar.fX;
  81     fAlpha = trkPar.fAlpha;
  82
  83     for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = trkPar.fP[i];
  84     for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = trkPar.fC[i];
  85     CheckCovariance();
  86   }
  87
  88   return *this;
  89 }
  90
  91 //_____________________________________________________________________________
  92 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(Double_t x, Double_t alpha,
  93                                              const Double_t param[5],
  94                                              const Double_t covar[15]) :
  95   AliVTrack(),
  96   fX(x),
  97   fAlpha(alpha)
  98 {
  99   //
 100   // create external track parameters from given arguments
 101   //
 102   for (Int_t i = 0; i < 5; i++)  fP[i] = param[i];
 103   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = covar[i];
 104   CheckCovariance();
 105 }
 106
 107 //_____________________________________________________________________________
 108 void AliExternalTrackParam::CopyFromVTrack(const AliVTrack *vTrack)
 109 {
 110   //
 111   // Recreate TrackParams from VTrack
 112   // This is not a copy contructor !
 113   //
 114   if (!vTrack) {
 115     AliError("Source VTrack is NULL");
 116     return;
 117   }
 118   if (this==vTrack) {
 119     AliError("Copy of itself is requested");
 120     return;
 121   }
 122   //
 123   if (vTrack->InheritsFrom(AliExternalTrackParam::Class())) {
 124     AliDebug(1,"Source itself is AliExternalTrackParam, using assignment operator");
 125     *this = *(AliExternalTrackParam*)vTrack;
 126     return;
 127   }
 128   //
 129   AliVTrack::operator=( *vTrack );
 130   //
 131   Double_t xyz[3],pxpypz[3],cv[21];
 132   vTrack->GetXYZ(xyz);
 133   pxpypz[0]=vTrack->Px();
 134   pxpypz[1]=vTrack->Py();
 135   pxpypz[2]=vTrack->Pz();
 136   vTrack->GetCovarianceXYZPxPyPz(cv);
 137   Short_t sign = (Short_t)vTrack->Charge();
 138   Set(xyz,pxpypz,cv,sign);
 139 }
 140
 141 //_____________________________________________________________________________
 142 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(const AliVTrack *vTrack) :
 143   AliVTrack(),
 144   fX(0.),
 145   fAlpha(0.)
 146 {
 147   //
 148   // Constructor from virtual track,
 149   // This is not a copy contructor !
 150   //
 151
 152   if (vTrack->InheritsFrom("AliExternalTrackParam")) {
 153      AliError("This is not a copy constructor. Use AliExternalTrackParam(const AliExternalTrackParam &) !");
 154      AliWarning("Calling the default constructor...");
 155      AliExternalTrackParam();
 156      return;
 157   }
 158
 159   Double_t xyz[3],pxpypz[3],cv[21];
 160   vTrack->GetXYZ(xyz);
 161   pxpypz[0]=vTrack->Px();
 162   pxpypz[1]=vTrack->Py();
 163   pxpypz[2]=vTrack->Pz();
 164   vTrack->GetCovarianceXYZPxPyPz(cv);
 165   Short_t sign = (Short_t)vTrack->Charge();
 166
 167   Set(xyz,pxpypz,cv,sign);
 168 }
 169
 170 //_____________________________________________________________________________
 171 AliExternalTrackParam::AliExternalTrackParam(Double_t xyz[3],Double_t pxpypz[3],
 172                                              Double_t cv[21],Short_t sign) :
 173   AliVTrack(),
 174   fX(0.),
 175   fAlpha(0.)
 176 {
 177   //
 178   // constructor from the global parameters
 179   //
 180
 181   Set(xyz,pxpypz,cv,sign);
 182 }
 183
 184 //_____________________________________________________________________________
 185 void AliExternalTrackParam::Set(Double_t xyz[3],Double_t pxpypz[3],
 186                                 Double_t cv[21],Short_t sign)
 187 {
 188   //
 189   // create external track parameters from the global parameters
 190   // x,y,z,px,py,pz and their 6x6 covariance matrix
 191   // A.Dainese 10.10.08
 192
 193   // Calculate alpha: the rotation angle of the corresponding local system.
 194   //
 195   // For global radial position inside the beam pipe, alpha is the
 196   // azimuthal angle of the momentum projected on (x,y).
 197   //
 198   // For global radial position outside the ITS, alpha is the
 199   // azimuthal angle of the centre of the TPC sector in which the point
 200   // xyz lies
 201   //
 202   const double kSafe = 1e-5;
 203   Double_t radPos2 = xyz[0]*xyz[0]+xyz[1]*xyz[1];
 204   Double_t radMax  = 45.; // approximately ITS outer radius
 205   if (radPos2 < radMax*radMax) { // inside the ITS
 206      fAlpha = TMath::ATan2(pxpypz[1],pxpypz[0]);
 207   } else { // outside the ITS
 208      Float_t phiPos = TMath::Pi()+TMath::ATan2(-xyz[1], -xyz[0]);
 209      fAlpha =
 210      TMath::DegToRad()*(20*((((Int_t)(phiPos*TMath::RadToDeg()))/20))+10);
 211   }
 212   //
 213   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
 214   // protection:  avoid alpha being too close to 0 or +-pi/2
 215   if (TMath::Abs(sn)<kSafe) {
 216     fAlpha = kSafe;
 217     cs=TMath::Cos(fAlpha);
 218     sn=TMath::Sin(fAlpha);
 219   }
 220   else if (cs<kSafe) {
 221     fAlpha -= TMath::Sign(kSafe, fAlpha);
 222     cs=TMath::Cos(fAlpha);
 223     sn=TMath::Sin(fAlpha);
 224   }
 225   // Get the vertex of origin and the momentum
 226   TVector3 ver(xyz[0],xyz[1],xyz[2]);
 227   TVector3 mom(pxpypz[0],pxpypz[1],pxpypz[2]);
 228   //
 229   // avoid momenta along axis
 230   if (TMath::Abs(mom[0])<kSafe) mom[0] = TMath::Sign(kSafe*TMath::Abs(mom[1]), mom[0]);
 231   if (TMath::Abs(mom[1])<kSafe) mom[1] = TMath::Sign(kSafe*TMath::Abs(mom[0]), mom[1]);
 232
 233   // Rotate to the local coordinate system
 234   ver.RotateZ(-fAlpha);
 235   mom.RotateZ(-fAlpha);
 236
 237   // x of the reference plane
 238   fX = ver.X();
 239
 240   Double_t charge = (Double_t)sign;
 241
 242   fP[0] = ver.Y();
 243   fP[1] = ver.Z();
 244   fP[2] = TMath::Sin(mom.Phi());
 245   fP[3] = mom.Pz()/mom.Pt();
 246   fP[4] = TMath::Sign(1/mom.Pt(),charge);
 247
 248   // Covariance matrix (formulas to be simplified)
 249
 250   if      (TMath::Abs( 1-fP[2]) < kSafe) fP[2] = 1.- kSafe; //Protection
 251   else if (TMath::Abs(-1-fP[2]) < kSafe) fP[2] =-1.+ kSafe; //Protection
 252
 253   Double_t pt=1./TMath::Abs(fP[4]);
 254   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2]));
 255
 256   Double_t m00=-sn;// m10=cs;
 257   Double_t m23=-pt*(sn + fP[2]*cs/r), m43=-pt*pt*(r*cs - fP[2]*sn);
 258   Double_t m24= pt*(cs - fP[2]*sn/r), m44=-pt*pt*(r*sn + fP[2]*cs);
 259   Double_t m35=pt, m45=-pt*pt*fP[3];
 260
 261   m43*=GetSign();
 262   m44*=GetSign();
 263   m45*=GetSign();
 264
 265   Double_t cv34 = TMath::Sqrt(cv[3 ]*cv[3 ]+cv[4 ]*cv[4 ]);
 266   Double_t a1=cv[13]-cv[9]*(m23*m44+m43*m24)/m23/m43;
 267   Double_t a2=m23*m24-m23*(m23*m44+m43*m24)/m43;
 268   Double_t a3=m43*m44-m43*(m23*m44+m43*m24)/m23;
 269   Double_t a4=cv[14]-2.*cv[9]*m24*m44/m23/m43;
 270   Double_t a5=m24*m24-2.*m24*m44*m23/m43;
 271   Double_t a6=m44*m44-2.*m24*m44*m43/m23;
 272
 273   fC[0 ] = cv[0 ]+cv[2 ];
 274   fC[1 ] = TMath::Sign(cv34,cv[3 ]/m00);
 275   fC[2 ] = cv[5 ];
 276   fC[3 ] = (cv[10]/m44-cv[6]/m43)/(m24/m44-m23/m43)/m00;
 277   fC[10] = (cv[6]/m00-fC[3 ]*m23)/m43;
 278   fC[6 ] = (cv[15]/m00-fC[10]*m45)/m35;
 279   fC[4 ] = (cv[12]-cv[8]*m44/m43)/(m24-m23*m44/m43);
 280   fC[11] = (cv[8]-fC[4]*m23)/m43;
 281   fC[7 ] = cv[17]/m35-fC[11]*m45/m35;
 282   fC[5 ] = TMath::Abs((a4-a6*a1/a3)/(a5-a6*a2/a3));
 283   fC[14] = TMath::Abs(a1/a3-a2*fC[5]/a3);
 284   fC[12] = (cv[9]-fC[5]*m23*m23-fC[14]*m43*m43)/m23/m43;
 285   Double_t b1=cv[18]-fC[12]*m23*m45-fC[14]*m43*m45;
 286   Double_t b2=m23*m35;
 287   Double_t b3=m43*m35;
 288   Double_t b4=cv[19]-fC[12]*m24*m45-fC[14]*m44*m45;
 289   Double_t b5=m24*m35;
 290   Double_t b6=m44*m35;
 291   fC[8 ] = (b4-b6*b1/b3)/(b5-b6*b2/b3);
 292   fC[13] = b1/b3-b2*fC[8]/b3;
 293   fC[9 ] = TMath::Abs((cv[20]-fC[14]*(m45*m45)-fC[13]*2.*m35*m45)/(m35*m35));
 294
 295   CheckCovariance();
 296
 297   return;
 298 }
 299
 300 //_____________________________________________________________________________
 301 void AliExternalTrackParam::Reset() {
 302   //
 303   // Resets all the parameters to 0
 304   //
 305   fX=fAlpha=0.;
 306   for (Int_t i = 0; i < 5; i++) fP[i] = 0;
 307   for (Int_t i = 0; i < 15; i++) fC[i] = 0;
 308 }
 309
 310 //_____________________________________________________________________________
 311 void AliExternalTrackParam::AddCovariance(const Double_t c[15]) {
 312   //
 313   // Add "something" to the track covarince matrix.
 314   // May be needed to account for unknown mis-calibration/mis-alignment
 315   //
 316     fC[0] +=c[0];
 317     fC[1] +=c[1];  fC[2] +=c[2];
 318     fC[3] +=c[3];  fC[4] +=c[4];  fC[5] +=c[5];
 319     fC[6] +=c[6];  fC[7] +=c[7];  fC[8] +=c[8];  fC[9] +=c[9];
 320     fC[10]+=c[10]; fC[11]+=c[11]; fC[12]+=c[12]; fC[13]+=c[13]; fC[14]+=c[14];
 321     CheckCovariance();
 322 }
 323
 324
 325 Double_t AliExternalTrackParam::GetP() const {
 326   //---------------------------------------------------------------------
 327   // This function returns the track momentum
 328   // Results for (nearly) straight tracks are meaningless !
 329   //---------------------------------------------------------------------
 330   if (TMath::Abs(fP[4])<=kAlmost0) return kVeryBig;
 331   return TMath::Sqrt(1.+ fP[3]*fP[3])/TMath::Abs(fP[4]);
 332 }
 333
 334 Double_t AliExternalTrackParam::Get1P() const {
 335   //---------------------------------------------------------------------
 336   // This function returns the 1/(track momentum)
 337   //---------------------------------------------------------------------
 338   return TMath::Abs(fP[4])/TMath::Sqrt(1.+ fP[3]*fP[3]);
 339 }
 340
 341 //_______________________________________________________________________
 342 Double_t AliExternalTrackParam::GetD(Double_t x,Double_t y,Double_t b) const {
 343   //------------------------------------------------------------------
 344   // This function calculates the transverse impact parameter
 345   // with respect to a point with global coordinates (x,y)
 346   // in the magnetic field "b" (kG)
 347   //------------------------------------------------------------------
 348   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) return GetLinearD(x,y);
 349   Double_t rp4=GetC(b);
 350
 351   Double_t xt=fX, yt=fP[0];
 352
 353   Double_t sn=TMath::Sin(fAlpha), cs=TMath::Cos(fAlpha);
 354   Double_t a = x*cs + y*sn;
 355   y = -x*sn + y*cs; x=a;
 356   xt-=x; yt-=y;
 357
 358   sn=rp4*xt - fP[2]; cs=rp4*yt + TMath::Sqrt((1.- fP[2])*(1.+fP[2]));
 359   a=2*(xt*fP[2] - yt*TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2])))-rp4*(xt*xt + yt*yt);
 360   return  -a/(1 + TMath::Sqrt(sn*sn + cs*cs));
 361 }
 362
 363 //_______________________________________________________________________
 364 void AliExternalTrackParam::
 365 GetDZ(Double_t x, Double_t y, Double_t z, Double_t b, Float_t dz[2]) const {
 366   //------------------------------------------------------------------
 367   // This function calculates the transverse and longitudinal impact parameters
 368   // with respect to a point with global coordinates (x,y)
 369   // in the magnetic field "b" (kG)
 370   //------------------------------------------------------------------
 371   Double_t f1 = fP[2], r1 = TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1));
 372   Double_t xt=fX, yt=fP[0];
 373   Double_t sn=TMath::Sin(fAlpha), cs=TMath::Cos(fAlpha);
 374   Double_t a = x*cs + y*sn;
 375   y = -x*sn + y*cs; x=a;
 376   xt-=x; yt-=y;
 377
 378   Double_t rp4=GetC(b);
 379   if ((TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) || (TMath::Abs(rp4) < kAlmost0)) {
 380      dz[0] = -(xt*f1 - yt*r1);
 381      dz[1] = fP[1] + (dz[0]*f1 - xt)/r1*fP[3] - z;
 382      return;
 383   }
 384
 385   sn=rp4*xt - f1; cs=rp4*yt + r1;
 386   a=2*(xt*f1 - yt*r1)-rp4*(xt*xt + yt*yt);
 387   Double_t rr=TMath::Sqrt(sn*sn + cs*cs);
 388   dz[0] = -a/(1 + rr);
 389   Double_t f2 = -sn/rr, r2 = TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
 390   dz[1] = fP[1] + fP[3]/rp4*TMath::ASin(f2*r1 - f1*r2) - z;
 391 }
 392
 393 //_______________________________________________________________________
 394 Double_t AliExternalTrackParam::GetLinearD(Double_t xv,Double_t yv) const {
 395   //------------------------------------------------------------------
 396   // This function calculates the transverse impact parameter
 397   // with respect to a point with global coordinates (xv,yv)
 398   // neglecting the track curvature.
 399   //------------------------------------------------------------------
 400   Double_t sn=TMath::Sin(fAlpha), cs=TMath::Cos(fAlpha);
 401   Double_t x= xv*cs + yv*sn;
 402   Double_t y=-xv*sn + yv*cs;
 403
 404   Double_t d = (fX-x)*fP[2] - (fP[0]-y)*TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2]));
 405
 406   return -d;
 407 }
 408
 409 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMeanMaterialdEdx
 410 (Double_t xOverX0,  Double_t xTimesRho, Double_t mass,
 411  Double_t dEdx,
 412  Bool_t anglecorr) {
 413   //------------------------------------------------------------------
 414   // This function corrects the track parameters for the crossed material.
 415   // "xOverX0"   - X/X0, the thickness in units of the radiation length.
 416   // "xTimesRho" - is the product length*density (g/cm^2).
 417   //     It should be passed as negative when propagating tracks
 418   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel.
 419   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2).
 420   // "dEdx" - mean enery loss (GeV/(g/cm^2)
 421   // "anglecorr" - switch for the angular correction
 422   //------------------------------------------------------------------
 423   Double_t &fP2=fP[2];
 424   Double_t &fP3=fP[3];
 425   Double_t &fP4=fP[4];
 426
 427   Double_t &fC22=fC[5];
 428   Double_t &fC33=fC[9];
 429   Double_t &fC43=fC[13];
 430   Double_t &fC44=fC[14];
 431
 432   //Apply angle correction, if requested
 433   if(anglecorr) {
 434     Double_t angle=TMath::Sqrt((1.+ fP3*fP3)/((1-fP2)*(1.+fP2)));
 435     xOverX0 *=angle;
 436     xTimesRho *=angle;
 437   }
 438
 439   Double_t p=GetP();
 440   Double_t p2=p*p;
 441   Double_t beta2=p2/(p2 + mass*mass);
 442
 443   //Calculating the multiple scattering corrections******************
 444   Double_t cC22 = 0.;
 445   Double_t cC33 = 0.;
 446   Double_t cC43 = 0.;
 447   Double_t cC44 = 0.;
 448   if (xOverX0 != 0) {
 449     //Double_t theta2=1.0259e-6*14*14/28/(beta2*p2)*TMath::Abs(d)*9.36*2.33;
 450     Double_t theta2=0.0136*0.0136/(beta2*p2)*TMath::Abs(xOverX0);
 451     if (GetUseLogTermMS()) {
 452       double lt = 1+0.038*TMath::Log(TMath::Abs(xOverX0));
 453       if (lt>0) theta2 *= lt*lt;
 454     }
 455     if(theta2>TMath::Pi()*TMath::Pi()) return kFALSE;
 456     cC22 = theta2*((1.-fP2)*(1.+fP2))*(1. + fP3*fP3);
 457     cC33 = theta2*(1. + fP3*fP3)*(1. + fP3*fP3);
 458     cC43 = theta2*fP3*fP4*(1. + fP3*fP3);
 459     cC44 = theta2*fP3*fP4*fP3*fP4;
 460   }
 461
 462   //Calculating the energy loss corrections************************
 463   Double_t cP4=1.;
 464   if ((xTimesRho != 0.) && (beta2 < 1.)) {
 465      Double_t dE=dEdx*xTimesRho;
 466      Double_t e=TMath::Sqrt(p2 + mass*mass);
 467      if ( TMath::Abs(dE) > 0.3*e ) return kFALSE; //30% energy loss is too much!
 468      //cP4 = (1.- e/p2*dE);
 469      if ( (1.+ dE/p2*(dE + 2*e)) < 0. ) return kFALSE;
 470      cP4 = 1./TMath::Sqrt(1.+ dE/p2*(dE + 2*e));  //A precise formula by Ruben !
 471      if (TMath::Abs(fP4*cP4)>100.) return kFALSE; //Do not track below 10 MeV/c
 472
 473
 474      // Approximate energy loss fluctuation (M.Ivanov)
 475      const Double_t knst=0.07; // To be tuned.
 476      Double_t sigmadE=knst*TMath::Sqrt(TMath::Abs(dE));
 477      cC44 += ((sigmadE*e/p2*fP4)*(sigmadE*e/p2*fP4));
 478
 479   }
 480
 481   //Applying the corrections*****************************
 482   fC22 += cC22;
 483   fC33 += cC33;
 484   fC43 += cC43;
 485   fC44 += cC44;
 486   fP4  *= cP4;
 487
 488   CheckCovariance();
 489
 490   return kTRUE;
 491 }
 492
 493 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMeanMaterial
 494 (Double_t xOverX0,  Double_t xTimesRho, Double_t mass,
 495  Bool_t anglecorr,
 496  Double_t (*Bethe)(Double_t)) {
 497   //------------------------------------------------------------------
 498   // This function corrects the track parameters for the crossed material.
 499   // "xOverX0"   - X/X0, the thickness in units of the radiation length.
 500   // "xTimesRho" - is the product length*density (g/cm^2).
 501   //     It should be passed as negative when propagating tracks
 502   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel.
 503   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2).
 504   // "anglecorr" - switch for the angular correction
 505   // "Bethe" - function calculating the energy loss (GeV/(g/cm^2))
 506   //------------------------------------------------------------------
 507
 508   Double_t bg=GetP()/mass;
 509   Double_t dEdx=Bethe(bg);
 510
 511   return CorrectForMeanMaterialdEdx(xOverX0,xTimesRho,mass,dEdx,anglecorr);
 512 }
 513
 514 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMeanMaterialZA
 515 (Double_t xOverX0, Double_t xTimesRho, Double_t mass,
 516  Double_t zOverA,
 517  Double_t density,
 518  Double_t exEnergy,
 519  Double_t jp1,
 520  Double_t jp2,
 521  Bool_t anglecorr) {
 522   //------------------------------------------------------------------
 523   // This function corrects the track parameters for the crossed material
 524   // using the full Geant-like Bethe-Bloch formula parameterization
 525   // "xOverX0"   - X/X0, the thickness in units of the radiation length.
 526   // "xTimesRho" - is the product length*density (g/cm^2).
 527   //     It should be passed as negative when propagating tracks
 528   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel.
 529   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2).
 530   // "density"  - mean density (g/cm^3)
 531   // "zOverA"   - mean Z/A
 532   // "exEnergy" - mean exitation energy (GeV)
 533   // "jp1"      - density effect first junction point
 534   // "jp2"      - density effect second junction point
 535   // "anglecorr" - switch for the angular correction
 536   //
 537   //  The default values of the parameters are for silicon
 538   //
 539   //------------------------------------------------------------------
 540
 541   Double_t bg=GetP()/mass;
 542   Double_t dEdx=BetheBlochGeant(bg,density,jp1,jp2,exEnergy,zOverA);
 543
 544   return CorrectForMeanMaterialdEdx(xOverX0,xTimesRho,mass,dEdx,anglecorr);
 545 }
 546
 547
 548
 549 Bool_t AliExternalTrackParam::CorrectForMaterial
 550 (Double_t d,  Double_t x0, Double_t mass, Double_t (*Bethe)(Double_t)) {
 551   //------------------------------------------------------------------
 552   //                    Deprecated function !
 553   //       Better use CorrectForMeanMaterial instead of it.
 554   //
 555   // This function corrects the track parameters for the crossed material
 556   // "d"    - the thickness (fraction of the radiation length)
 557   //     It should be passed as negative when propagating tracks
 558   //     from the intreaction point to the outside of the central barrel.
 559   // "x0"   - the radiation length (g/cm^2)
 560   // "mass" - the mass of this particle (GeV/c^2)
 561   //------------------------------------------------------------------
 562
 563   return CorrectForMeanMaterial(d,x0*d,mass,kTRUE,Bethe);
 564
 565 }
 566
 567 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochAleph(Double_t bg,
 568          Double_t kp1,
 569          Double_t kp2,
 570          Double_t kp3,
 571          Double_t kp4,
 572          Double_t kp5) {
 573   //
 574   // This is the empirical ALEPH parameterization of the Bethe-Bloch formula.
 575   // It is normalized to 1 at the minimum.
 576   //
 577   // bg - beta*gamma
 578   //
 579   // The default values for the kp* parameters are for ALICE TPC.
 580   // The returned value is in MIP units
 581   //
 582
 583   Double_t beta = bg/TMath::Sqrt(1.+ bg*bg);
 584
 585   Double_t aa = TMath::Power(beta,kp4);
 586   Double_t bb = TMath::Power(1./bg,kp5);
 587
 588   bb=TMath::Log(kp3+bb);
 589
 590   return (kp2-aa-bb)*kp1/aa;
 591 }
 592
 593 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochGeant(Double_t bg,
 594          Double_t kp0,
 595          Double_t kp1,
 596          Double_t kp2,
 597          Double_t kp3,
 598          Double_t kp4) {
 599   //
 600   // This is the parameterization of the Bethe-Bloch formula inspired by Geant.
 601   //
 602   // bg  - beta*gamma
 603   // kp0 - density [g/cm^3]
 604   // kp1 - density effect first junction point
 605   // kp2 - density effect second junction point
 606   // kp3 - mean excitation energy [GeV]
 607   // kp4 - mean Z/A
 608   //
 609   // The default values for the kp* parameters are for silicon.
 610   // The returned value is in [GeV/(g/cm^2)].
 611   //
 612
 613   const Double_t mK  = 0.307075e-3; // [GeV*cm^2/g]
 614   const Double_t me  = 0.511e-3;    // [GeV/c^2]
 615   const Double_t rho = kp0;
 616   const Double_t x0  = kp1*2.303;
 617   const Double_t x1  = kp2*2.303;
 618   const Double_t mI  = kp3;
 619   const Double_t mZA = kp4;
 620   const Double_t bg2 = bg*bg;
 621   const Double_t maxT= 2*me*bg2;    // neglecting the electron mass
 622
 623   //*** Density effect
 624   Double_t d2=0.;
 625   const Double_t x=TMath::Log(bg);
 626   const Double_t lhwI=TMath::Log(28.816*1e-9*TMath::Sqrt(rho*mZA)/mI);
 627   if (x > x1) {
 628     d2 = lhwI + x - 0.5;
 629   } else if (x > x0) {
 630     const Double_t r=(x1-x)/(x1-x0);
 631     d2 = lhwI + x - 0.5 + (0.5 - lhwI - x0)*r*r*r;
 632   }
 633
 634   return mK*mZA*(1+bg2)/bg2*
 635          (0.5*TMath::Log(2*me*bg2*maxT/(mI*mI)) - bg2/(1+bg2) - d2);
 636 }
 637
 638 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochSolid(Double_t bg) {
 639   //------------------------------------------------------------------
 640   // This is an approximation of the Bethe-Bloch formula,
 641   // reasonable for solid materials.
 642   // All the parameters are, in fact, for Si.
 643   // The returned value is in [GeV/(g/cm^2)]
 644   //------------------------------------------------------------------
 645
 646   return BetheBlochGeant(bg);
 647 }
 648
 649 Double_t AliExternalTrackParam::BetheBlochGas(Double_t bg) {
 650   //------------------------------------------------------------------
 651   // This is an approximation of the Bethe-Bloch formula,
 652   // reasonable for gas materials.
 653   // All the parameters are, in fact, for Ne.
 654   // The returned value is in [GeV/(g/cm^2)]
 655   //------------------------------------------------------------------
 656
 657   const Double_t rho = 0.9e-3;
 658   const Double_t x0  = 2.;
 659   const Double_t x1  = 4.;
 660   const Double_t mI  = 140.e-9;
 661   const Double_t mZA = 0.49555;
 662
 663   return BetheBlochGeant(bg,rho,x0,x1,mI,mZA);
 664 }
 665
 666 Bool_t AliExternalTrackParam::Rotate(Double_t alpha) {
 667   //------------------------------------------------------------------
 668   // Transform this track to the local coord. system rotated
 669   // by angle "alpha" (rad) with respect to the global coord. system.
 670   //------------------------------------------------------------------
 671   if (TMath::Abs(fP[2]) >= kAlmost1) {
 672      AliError(Form("Precondition is not satisfied: |sin(phi)|>1 ! %f",fP[2]));
 673      return kFALSE;
 674   }
 675
 676   if      (alpha < -TMath::Pi()) alpha += 2*TMath::Pi();
 677   else if (alpha >= TMath::Pi()) alpha -= 2*TMath::Pi();
 678
 679   Double_t &fP0=fP[0];
 680   Double_t &fP2=fP[2];
 681   Double_t &fC00=fC[0];
 682   Double_t &fC10=fC[1];
 683   Double_t &fC20=fC[3];
 684   Double_t &fC21=fC[4];
 685   Double_t &fC22=fC[5];
 686   Double_t &fC30=fC[6];
 687   Double_t &fC32=fC[8];
 688   Double_t &fC40=fC[10];
 689   Double_t &fC42=fC[12];
 690
 691   Double_t x=fX;
 692   Double_t ca=TMath::Cos(alpha-fAlpha), sa=TMath::Sin(alpha-fAlpha);
 693   Double_t sf=fP2, cf=TMath::Sqrt((1.- fP2)*(1.+fP2)); // Improve precision
 694
 695   // RS: check if rotation does no invalidate track model (cos(local_phi)>=0, i.e. particle
 696   // direction in local frame is along the X axis
 697   if ((cf*ca+sf*sa)<0) {
 698     AliDebug(1,Form("Rotation failed: local cos(phi) would become %.2f",cf*ca+sf*sa));
 699     return kFALSE;
 700   }
 701   //
 702   Double_t tmp=sf*ca - cf*sa;
 703   if (TMath::Abs(tmp) >= kAlmost1) {
 704      if (TMath::Abs(tmp) > 1.+ Double_t(FLT_EPSILON))
 705         AliWarning(Form("Rotation failed ! %.10e",tmp));
 706      return kFALSE;
 707   }
 708
 709   fAlpha = alpha;
 710   fX =  x*ca + fP0*sa;
 711   fP0= -x*sa + fP0*ca;
 712   fP2=  tmp;
 713
 714   if (TMath::Abs(cf)<kAlmost0) {
 715     AliError(Form("Too small cosine value %f",cf));
 716     cf = kAlmost0;
 717   }
 718
 719   Double_t rr=(ca+sf/cf*sa);
 720
 721   fC00 *= (ca*ca);
 722   fC10 *= ca;
 723   fC20 *= ca*rr;
 724   fC21 *= rr;
 725   fC22 *= rr*rr;
 726   fC30 *= ca;
 727   fC32 *= rr;
 728   fC40 *= ca;
 729   fC42 *= rr;
 730
 731   CheckCovariance();
 732
 733   return kTRUE;
 734 }
 735
 736 Bool_t AliExternalTrackParam::Invert() {
 737   //------------------------------------------------------------------
 738   // Transform this track to the local coord. system rotated by 180 deg.
 739   //------------------------------------------------------------------
 740   fX = -fX;
 741   fAlpha += TMath::Pi();
 742   while (fAlpha < -TMath::Pi()) fAlpha += 2*TMath::Pi();
 743   while (fAlpha >= TMath::Pi()) fAlpha -= 2*TMath::Pi();
 744   //
 745   fP[0] = -fP[0];
 746   fP[2] = -fP[2];
 747   fP[3] = -fP[3];
 748   fP[4] = -fP[4];
 749   //
 750   fC[1] = -fC[1]; // since the Z coordinate is not inverted, the covariances with Z should be inverted
 751   fC[4] = -fC[4];
 752   fC[7] = -fC[7];
 753   fC[11] = -fC[11];
 754   //
 755   return kTRUE;
 756 }
 757
 758 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateTo(Double_t xk, Double_t b) {
 759   //----------------------------------------------------------------
 760   // Propagate this track to the plane X=xk (cm) in the field "b" (kG)
 761   //----------------------------------------------------------------
 762   Double_t dx=xk-fX;
 763   if (TMath::Abs(dx)<=kAlmost0)  return kTRUE;
 764
 765   Double_t crv=GetC(b);
 766   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
 767
 768   Double_t x2r = crv*dx;
 769   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + x2r;
 770   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
 771   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
 772   if (TMath::Abs(fP[4])< kAlmost0) return kFALSE;
 773
 774   Double_t &fP0=fP[0], &fP1=fP[1], &fP2=fP[2], &fP3=fP[3], &fP4=fP[4];
 775   Double_t
 776   &fC00=fC[0],
 777   &fC10=fC[1],   &fC11=fC[2],
 778   &fC20=fC[3],   &fC21=fC[4],   &fC22=fC[5],
 779   &fC30=fC[6],   &fC31=fC[7],   &fC32=fC[8],   &fC33=fC[9],
 780   &fC40=fC[10],  &fC41=fC[11],  &fC42=fC[12],  &fC43=fC[13], &fC44=fC[14];
 781
 782   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
 783   if (TMath::Abs(r1)<kAlmost0)  return kFALSE;
 784   if (TMath::Abs(r2)<kAlmost0)  return kFALSE;
 785
 786   fX=xk;
 787   double dy2dx = (f1+f2)/(r1+r2);
 788   fP0 += dx*dy2dx;
 789   if (TMath::Abs(x2r)<0.05) {
 790     fP1 += dx*(r2 + f2*dy2dx)*fP3;  // Many thanks to P.Hristov !
 791     fP2 += x2r;
 792   }
 793   else {
 794     // for small dx/R the linear apporximation of the arc by the segment is OK,
 795     // but at large dx/R the error is very large and leads to incorrect Z propagation
 796     // angle traversed delta = 2*asin(dist_start_end / R / 2), hence the arc is: R*deltaPhi
 797     // The dist_start_end is obtained from sqrt(dx^2+dy^2) = x/(r1+r2)*sqrt(2+f1*f2+r1*r2)
 798     // Similarly, the rotation angle in linear in dx only for dx<<R
 799     double chord = dx*TMath::Sqrt(1+dy2dx*dy2dx);   // distance from old position to new one
 800     double rot = 2*TMath::ASin(0.5*chord*crv); // angular difference seen from the circle center
 801     fP1 += rot/crv*fP3;
 802     fP2  = TMath::Sin(rot + TMath::ASin(fP2));
 803   }
 804
 805   //f = F - 1
 806
 807   Double_t f02=    dx/(r1*r1*r1);            Double_t cc=crv/fP4;
 808   Double_t f04=0.5*dx*dx/(r1*r1*r1);         f04*=cc;
 809   Double_t f12=    dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);
 810   Double_t f14=0.5*dx*dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);  f14*=cc;
 811   Double_t f13=    dx/r1;
 812   Double_t f24=    dx;                       f24*=cc;
 813
 814   //b = C*ft
 815   Double_t b00=f02*fC20 + f04*fC40, b01=f12*fC20 + f14*fC40 + f13*fC30;
 816   Double_t b02=f24*fC40;
 817   Double_t b10=f02*fC21 + f04*fC41, b11=f12*fC21 + f14*fC41 + f13*fC31;
 818   Double_t b12=f24*fC41;
 819   Double_t b20=f02*fC22 + f04*fC42, b21=f12*fC22 + f14*fC42 + f13*fC32;
 820   Double_t b22=f24*fC42;
 821   Double_t b40=f02*fC42 + f04*fC44, b41=f12*fC42 + f14*fC44 + f13*fC43;
 822   Double_t b42=f24*fC44;
 823   Double_t b30=f02*fC32 + f04*fC43, b31=f12*fC32 + f14*fC43 + f13*fC33;
 824   Double_t b32=f24*fC43;
 825
 826   //a = f*b = f*C*ft
 827   Double_t a00=f02*b20+f04*b40,a01=f02*b21+f04*b41,a02=f02*b22+f04*b42;
 828   Double_t a11=f12*b21+f14*b41+f13*b31,a12=f12*b22+f14*b42+f13*b32;
 829   Double_t a22=f24*b42;
 830
 831   //F*C*Ft = C + (b + bt + a)
 832   fC00 += b00 + b00 + a00;
 833   fC10 += b10 + b01 + a01;
 834   fC20 += b20 + b02 + a02;
 835   fC30 += b30;
 836   fC40 += b40;
 837   fC11 += b11 + b11 + a11;
 838   fC21 += b21 + b12 + a12;
 839   fC31 += b31;
 840   fC41 += b41;
 841   fC22 += b22 + b22 + a22;
 842   fC32 += b32;
 843   fC42 += b42;
 844
 845   CheckCovariance();
 846
 847   return kTRUE;
 848 }
 849
 850 Bool_t
 851 AliExternalTrackParam::Propagate(Double_t alpha, Double_t x, Double_t b) {
 852   //------------------------------------------------------------------
 853   // Transform this track to the local coord. system rotated
 854   // by angle "alpha" (rad) with respect to the global coord. system,
 855   // and propagate this track to the plane X=xk (cm) in the field "b" (kG)
 856   //------------------------------------------------------------------
 857
 858   //Save the parameters
 859   Double_t as=fAlpha;
 860   Double_t xs=fX;
 861   Double_t ps[5], cs[15];
 862   for (Int_t i=0; i<5;  i++) ps[i]=fP[i];
 863   for (Int_t i=0; i<15; i++) cs[i]=fC[i];
 864
 865   if (Rotate(alpha))
 866      if (PropagateTo(x,b)) return kTRUE;
 867
 868   //Restore the parameters, if the operation failed
 869   fAlpha=as;
 870   fX=xs;
 871   for (Int_t i=0; i<5;  i++) fP[i]=ps[i];
 872   for (Int_t i=0; i<15; i++) fC[i]=cs[i];
 873   return kFALSE;
 874 }
 875
 876 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateBxByBz
 877 (Double_t alpha, Double_t x, Double_t b[3]) {
 878   //------------------------------------------------------------------
 879   // Transform this track to the local coord. system rotated
 880   // by angle "alpha" (rad) with respect to the global coord. system,
 881   // and propagate this track to the plane X=xk (cm),
 882   // taking into account all three components of the B field, "b[3]" (kG)
 883   //------------------------------------------------------------------
 884
 885   //Save the parameters
 886   Double_t as=fAlpha;
 887   Double_t xs=fX;
 888   Double_t ps[5], cs[15];
 889   for (Int_t i=0; i<5;  i++) ps[i]=fP[i];
 890   for (Int_t i=0; i<15; i++) cs[i]=fC[i];
 891
 892   if (Rotate(alpha))
 893      if (PropagateToBxByBz(x,b)) return kTRUE;
 894
 895   //Restore the parameters, if the operation failed
 896   fAlpha=as;
 897   fX=xs;
 898   for (Int_t i=0; i<5;  i++) fP[i]=ps[i];
 899   for (Int_t i=0; i<15; i++) fC[i]=cs[i];
 900   return kFALSE;
 901 }
 902
 903
 904 void AliExternalTrackParam::Propagate(Double_t len, Double_t x[3],
 905 Double_t p[3], Double_t bz) const {
 906   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 907   // Origin: K. Shileev (Kirill.Shileev@cern.ch)
 908   // Extrapolate track along simple helix in magnetic field
 909   // Arguments: len -distance alogn helix, [cm]
 910   //            bz  - mag field, [kGaus]
 911   // Returns: x and p contain extrapolated positon and momentum
 912   // The momentum returned for straight-line tracks is meaningless !
 913   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 914   GetXYZ(x);
 915
 916   if (OneOverPt() < kAlmost0 || TMath::Abs(bz) < kAlmost0Field || GetC(bz) < kAlmost0){ //straight-line tracks
 917      Double_t unit[3]; GetDirection(unit);
 918      x[0]+=unit[0]*len;
 919      x[1]+=unit[1]*len;
 920      x[2]+=unit[2]*len;
 921
 922      p[0]=unit[0]/kAlmost0;
 923      p[1]=unit[1]/kAlmost0;
 924      p[2]=unit[2]/kAlmost0;
 925   } else {
 926      GetPxPyPz(p);
 927      Double_t pp=GetP();
 928      Double_t a = -kB2C*bz*GetSign();
 929      Double_t rho = a/pp;
 930      x[0] += p[0]*TMath::Sin(rho*len)/a - p[1]*(1-TMath::Cos(rho*len))/a;
 931      x[1] += p[1]*TMath::Sin(rho*len)/a + p[0]*(1-TMath::Cos(rho*len))/a;
 932      x[2] += p[2]*len/pp;
 933
 934      Double_t p0=p[0];
 935      p[0] = p0  *TMath::Cos(rho*len) - p[1]*TMath::Sin(rho*len);
 936      p[1] = p[1]*TMath::Cos(rho*len) + p0  *TMath::Sin(rho*len);
 937   }
 938 }
 939
 940 Bool_t AliExternalTrackParam::Intersect(Double_t pnt[3], Double_t norm[3],
 941 Double_t bz) const {
 942   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 943   // Origin: K. Shileev (Kirill.Shileev@cern.ch)
 944   // Finds point of intersection (if exists) of the helix with the plane.
 945   // Stores result in fX and fP.
 946   // Arguments: planePoint,planeNorm - the plane defined by any plane's point
 947   // and vector, normal to the plane
 948   // Returns: kTrue if helix intersects the plane, kFALSE otherwise.
 949   //+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 950   Double_t x0[3]; GetXYZ(x0); //get track position in MARS
 951
 952   //estimates initial helix length up to plane
 953   Double_t s=
 954     (pnt[0]-x0[0])*norm[0] + (pnt[1]-x0[1])*norm[1] + (pnt[2]-x0[2])*norm[2];
 955   Double_t dist=99999,distPrev=dist;
 956   Double_t x[3],p[3];
 957   while(TMath::Abs(dist)>0.00001){
 958     //calculates helix at the distance s from x0 ALONG the helix
 959     Propagate(s,x,p,bz);
 960
 961     //distance between current helix position and plane
 962     dist=(x[0]-pnt[0])*norm[0]+(x[1]-pnt[1])*norm[1]+(x[2]-pnt[2])*norm[2];
 963
 964     if(TMath::Abs(dist) >= TMath::Abs(distPrev)) {return kFALSE;}
 965     distPrev=dist;
 966     s-=dist;
 967   }
 968   //on exit pnt is intersection point,norm is track vector at that point,
 969   //all in MARS
 970   for (Int_t i=0; i<3; i++) {pnt[i]=x[i]; norm[i]=p[i];}
 971   return kTRUE;
 972 }
 973
 974 Double_t
 975 AliExternalTrackParam::GetPredictedChi2(Double_t p[2],Double_t cov[3]) const {
 976   //----------------------------------------------------------------
 977   // Estimate the chi2 of the space point "p" with the cov. matrix "cov"
 978   //----------------------------------------------------------------
 979   Double_t sdd = fC[0] + cov[0];
 980   Double_t sdz = fC[1] + cov[1];
 981   Double_t szz = fC[2] + cov[2];
 982   Double_t det = sdd*szz - sdz*sdz;
 983
 984   if (TMath::Abs(det) < kAlmost0) return kVeryBig;
 985
 986   Double_t d = fP[0] - p[0];
 987   Double_t z = fP[1] - p[1];
 988
 989   return (d*szz*d - 2*d*sdz*z + z*sdd*z)/det;
 990 }
 991
 992 Double_t AliExternalTrackParam::
 993 GetPredictedChi2(Double_t p[3],Double_t covyz[3],Double_t covxyz[3]) const {
 994   //----------------------------------------------------------------
 995   // Estimate the chi2 of the 3D space point "p" and
 996   // the full covariance matrix "covyz" and "covxyz"
 997   //
 998   // Cov(x,x) ... :   covxyz[0]
 999   // Cov(y,x) ... :   covxyz[1]  covyz[0]
1000   // Cov(z,x) ... :   covxyz[2]  covyz[1]  covyz[2]
1001   //----------------------------------------------------------------
1002
1003   Double_t res[3] = {
1004     GetX() - p[0],
1005     GetY() - p[1],
1006     GetZ() - p[2]
1007   };
1008
1009   Double_t f=GetSnp();
1010   if (TMath::Abs(f) >= kAlmost1) return kVeryBig;
1011   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-f)*(1.+f));
1012   Double_t a=f/r, b=GetTgl()/r;
1013
1014   Double_t s2=333.*333.;  //something reasonably big (cm^2)
1015
1016   TMatrixDSym v(3);
1017   v(0,0)=  s2;  v(0,1)=  a*s2;                 v(0,2)=  b*s2;;
1018   v(1,0)=a*s2;  v(1,1)=a*a*s2 + GetSigmaY2();  v(1,2)=a*b*s2 + GetSigmaZY();
1019   v(2,0)=b*s2;  v(2,1)=a*b*s2 + GetSigmaZY();  v(2,2)=b*b*s2 + GetSigmaZ2();
1020
1021   v(0,0)+=covxyz[0]; v(0,1)+=covxyz[1]; v(0,2)+=covxyz[2];
1022   v(1,0)+=covxyz[1]; v(1,1)+=covyz[0];  v(1,2)+=covyz[1];
1023   v(2,0)+=covxyz[2]; v(2,1)+=covyz[1];  v(2,2)+=covyz[2];
1024
1025   v.Invert();
1026   if (!v.IsValid()) return kVeryBig;
1027
1028   Double_t chi2=0.;
1029   for (Int_t i = 0; i < 3; i++)
1030     for (Int_t j = 0; j < 3; j++) chi2 += res[i]*res[j]*v(i,j);
1031
1032   return chi2;
1033 }
1034
1035 Double_t AliExternalTrackParam::
1036 GetPredictedChi2(const AliExternalTrackParam *t) const {
1037   //----------------------------------------------------------------
1038   // Estimate the chi2 (5 dof) of this track with respect to the track
1039   // given by the argument.
1040   // The two tracks must be in the same reference system
1041   // and estimated at the same reference plane.
1042   //----------------------------------------------------------------
1043
1044   if (TMath::Abs(1. - t->GetAlpha()/GetAlpha()) > FLT_EPSILON) {
1045       AliError("The reference systems of the tracks differ !");
1046       return kVeryBig;
1047   }
1048   if (TMath::Abs(1. - t->GetX()/GetX()) > FLT_EPSILON) {
1049       AliError("The reference of the tracks planes differ !");
1050       return kVeryBig;
1051   }
1052
1053   TMatrixDSym c(5);
1054     c(0,0)=GetSigmaY2();
1055     c(1,0)=GetSigmaZY();   c(1,1)=GetSigmaZ2();
1056     c(2,0)=GetSigmaSnpY(); c(2,1)=GetSigmaSnpZ(); c(2,2)=GetSigmaSnp2();
1057     c(3,0)=GetSigmaTglY(); c(3,1)=GetSigmaTglZ(); c(3,2)=GetSigmaTglSnp(); c(3,3)=GetSigmaTgl2();
1058     c(4,0)=GetSigma1PtY(); c(4,1)=GetSigma1PtZ(); c(4,2)=GetSigma1PtSnp(); c(4,3)=GetSigma1PtTgl(); c(4,4)=GetSigma1Pt2();
1059
1060     c(0,0)+=t->GetSigmaY2();
1061     c(1,0)+=t->GetSigmaZY();  c(1,1)+=t->GetSigmaZ2();
1062     c(2,0)+=t->GetSigmaSnpY();c(2,1)+=t->GetSigmaSnpZ();c(2,2)+=t->GetSigmaSnp2();
1063     c(3,0)+=t->GetSigmaTglY();c(3,1)+=t->GetSigmaTglZ();c(3,2)+=t->GetSigmaTglSnp();c(3,3)+=t->GetSigmaTgl2();
1064     c(4,0)+=t->GetSigma1PtY();c(4,1)+=t->GetSigma1PtZ();c(4,2)+=t->GetSigma1PtSnp();c(4,3)+=t->GetSigma1PtTgl();c(4,4)+=t->GetSigma1Pt2();
1065     c(0,1)=c(1,0);
1066     c(0,2)=c(2,0); c(1,2)=c(2,1);
1067     c(0,3)=c(3,0); c(1,3)=c(3,1); c(2,3)=c(3,2);
1068     c(0,4)=c(4,0); c(1,4)=c(4,1); c(2,4)=c(4,2); c(3,4)=c(4,3);
1069
1070   c.Invert();
1071   if (!c.IsValid()) return kVeryBig;
1072
1073
1074   Double_t res[5] = {
1075     GetY()   - t->GetY(),
1076     GetZ()   - t->GetZ(),
1077     GetSnp() - t->GetSnp(),
1078     GetTgl() - t->GetTgl(),
1079     GetSigned1Pt() - t->GetSigned1Pt()
1080   };
1081
1082   Double_t chi2=0.;
1083   for (Int_t i = 0; i < 5; i++)
1084     for (Int_t j = 0; j < 5; j++) chi2 += res[i]*res[j]*c(i,j);
1085
1086   return chi2;
1087 }
1088
1089 Bool_t AliExternalTrackParam::
1090 PropagateTo(Double_t p[3],Double_t covyz[3],Double_t covxyz[3],Double_t bz) {
1091   //----------------------------------------------------------------
1092   // Propagate this track to the plane
1093   // the 3D space point "p" (with the covariance matrix "covyz" and "covxyz")
1094   // belongs to.
1095   // The magnetic field is "bz" (kG)
1096   //
1097   // The track curvature and the change of the covariance matrix
1098   // of the track parameters are negleted !
1099   // (So the "step" should be small compared with 1/curvature)
1100   //----------------------------------------------------------------
1101
1102   Double_t f=GetSnp();
1103   if (TMath::Abs(f) >= kAlmost1) return kFALSE;
1104   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-f)*(1.+f));
1105   Double_t a=f/r, b=GetTgl()/r;
1106
1107   Double_t s2=333.*333.;  //something reasonably big (cm^2)
1108
1109   TMatrixDSym tV(3);
1110   tV(0,0)=  s2;  tV(0,1)=  a*s2;  tV(0,2)=  b*s2;
1111   tV(1,0)=a*s2;  tV(1,1)=a*a*s2;  tV(1,2)=a*b*s2;
1112   tV(2,0)=b*s2;  tV(2,1)=a*b*s2;  tV(2,2)=b*b*s2;
1113
1114   TMatrixDSym pV(3);
1115   pV(0,0)=covxyz[0]; pV(0,1)=covxyz[1]; pV(0,2)=covxyz[2];
1116   pV(1,0)=covxyz[1]; pV(1,1)=covyz[0];  pV(1,2)=covyz[1];
1117   pV(2,0)=covxyz[2]; pV(2,1)=covyz[1];  pV(2,2)=covyz[2];
1118
1119   TMatrixDSym tpV(tV);
1120   tpV+=pV;
1121   tpV.Invert();
1122   if (!tpV.IsValid()) return kFALSE;
1123
1124   TMatrixDSym pW(3),tW(3);
1125   for (Int_t i=0; i<3; i++)
1126     for (Int_t j=0; j<3; j++) {
1127       pW(i,j)=tW(i,j)=0.;
1128       for (Int_t k=0; k<3; k++) {
1129         pW(i,j) += tV(i,k)*tpV(k,j);
1130         tW(i,j) += pV(i,k)*tpV(k,j);
1131       }
1132     }
1133
1134   Double_t t[3] = {GetX(), GetY(), GetZ()};
1135
1136   Double_t x=0.;
1137   for (Int_t i=0; i<3; i++) x += (tW(0,i)*t[i] + pW(0,i)*p[i]);
1138   Double_t crv=GetC(bz);
1139   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
1140   f += crv*(x-fX);
1141   if (TMath::Abs(f) >= kAlmost1) return kFALSE;
1142   fX=x;
1143
1144   fP[0]=0.;
1145   for (Int_t i=0; i<3; i++) fP[0] += (tW(1,i)*t[i] + pW(1,i)*p[i]);
1146   fP[1]=0.;
1147   for (Int_t i=0; i<3; i++) fP[1] += (tW(2,i)*t[i] + pW(2,i)*p[i]);
1148
1149   return kTRUE;
1150 }
1151
1152 Double_t *AliExternalTrackParam::GetResiduals(
1153 Double_t *p,Double_t *cov,Bool_t updated) const {
1154   //------------------------------------------------------------------
1155   // Returns the track residuals with the space point "p" having
1156   // the covariance matrix "cov".
1157   // If "updated" is kTRUE, the track parameters expected to be updated,
1158   // otherwise they must be predicted.
1159   //------------------------------------------------------------------
1160   static Double_t res[2];
1161
1162   Double_t r00=cov[0], r01=cov[1], r11=cov[2];
1163   if (updated) {
1164      r00-=fC[0]; r01-=fC[1]; r11-=fC[2];
1165   } else {
1166      r00+=fC[0]; r01+=fC[1]; r11+=fC[2];
1167   }
1168   Double_t det=r00*r11 - r01*r01;
1169
1170   if (TMath::Abs(det) < kAlmost0) return 0;
1171
1172   Double_t tmp=r00; r00=r11/det; r11=tmp/det;
1173
1174   if (r00 < 0.) return 0;
1175   if (r11 < 0.) return 0;
1176
1177   Double_t dy = fP[0] - p[0];
1178   Double_t dz = fP[1] - p[1];
1179
1180   res[0]=dy*TMath::Sqrt(r00);
1181   res[1]=dz*TMath::Sqrt(r11);
1182
1183   return res;
1184 }
1185
1186 Bool_t AliExternalTrackParam::Update(Double_t p[2], Double_t cov[3]) {
1187   //------------------------------------------------------------------
1188   // Update the track parameters with the space point "p" having
1189   // the covariance matrix "cov"
1190   //------------------------------------------------------------------
1191   Double_t &fP0=fP[0], &fP1=fP[1], &fP2=fP[2], &fP3=fP[3], &fP4=fP[4];
1192   Double_t
1193   &fC00=fC[0],
1194   &fC10=fC[1],   &fC11=fC[2],
1195   &fC20=fC[3],   &fC21=fC[4],   &fC22=fC[5],
1196   &fC30=fC[6],   &fC31=fC[7],   &fC32=fC[8],   &fC33=fC[9],
1197   &fC40=fC[10],  &fC41=fC[11],  &fC42=fC[12],  &fC43=fC[13], &fC44=fC[14];
1198
1199   Double_t r00=cov[0], r01=cov[1], r11=cov[2];
1200   r00+=fC00; r01+=fC10; r11+=fC11;
1201   Double_t det=r00*r11 - r01*r01;
1202
1203   if (TMath::Abs(det) < kAlmost0) return kFALSE;
1204
1205
1206   Double_t tmp=r00; r00=r11/det; r11=tmp/det; r01=-r01/det;
1207
1208   Double_t k00=fC00*r00+fC10*r01, k01=fC00*r01+fC10*r11;
1209   Double_t k10=fC10*r00+fC11*r01, k11=fC10*r01+fC11*r11;
1210   Double_t k20=fC20*r00+fC21*r01, k21=fC20*r01+fC21*r11;
1211   Double_t k30=fC30*r00+fC31*r01, k31=fC30*r01+fC31*r11;
1212   Double_t k40=fC40*r00+fC41*r01, k41=fC40*r01+fC41*r11;
1213
1214   Double_t dy=p[0] - fP0, dz=p[1] - fP1;
1215   Double_t sf=fP2 + k20*dy + k21*dz;
1216   if (TMath::Abs(sf) > kAlmost1) return kFALSE;
1217
1218   fP0 += k00*dy + k01*dz;
1219   fP1 += k10*dy + k11*dz;
1220   fP2  = sf;
1221   fP3 += k30*dy + k31*dz;
1222   fP4 += k40*dy + k41*dz;
1223
1224   Double_t c01=fC10, c02=fC20, c03=fC30, c04=fC40;
1225   Double_t c12=fC21, c13=fC31, c14=fC41;
1226
1227   fC00-=k00*fC00+k01*fC10; fC10-=k00*c01+k01*fC11;
1228   fC20-=k00*c02+k01*c12;   fC30-=k00*c03+k01*c13;
1229   fC40-=k00*c04+k01*c14;
1230
1231   fC11-=k10*c01+k11*fC11;
1232   fC21-=k10*c02+k11*c12;   fC31-=k10*c03+k11*c13;
1233   fC41-=k10*c04+k11*c14;
1234
1235   fC22-=k20*c02+k21*c12;   fC32-=k20*c03+k21*c13;
1236   fC42-=k20*c04+k21*c14;
1237
1238   fC33-=k30*c03+k31*c13;
1239   fC43-=k30*c04+k31*c14;
1240
1241   fC44-=k40*c04+k41*c14;
1242
1243   CheckCovariance();
1244
1245   return kTRUE;
1246 }
1247
1248 void
1249 AliExternalTrackParam::GetHelixParameters(Double_t hlx[6], Double_t b) const {
1250   //--------------------------------------------------------------------
1251   // External track parameters -> helix parameters
1252   // "b" - magnetic field (kG)
1253   //--------------------------------------------------------------------
1254   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
1255
1256   hlx[0]=fP[0]; hlx[1]=fP[1]; hlx[2]=fP[2]; hlx[3]=fP[3];
1257
1258   hlx[5]=fX*cs - hlx[0]*sn;               // x0
1259   hlx[0]=fX*sn + hlx[0]*cs;               // y0
1260 //hlx[1]=                                 // z0
1261   hlx[2]=TMath::ASin(hlx[2]) + fAlpha;    // phi0
1262 //hlx[3]=                                 // tgl
1263   hlx[4]=GetC(b);                         // C
1264 }
1265
1266
1267 static void Evaluate(const Double_t *h, Double_t t,
1268                      Double_t r[3],  //radius vector
1269                      Double_t g[3],  //first defivatives
1270                      Double_t gg[3]) //second derivatives
1271 {
1272   //--------------------------------------------------------------------
1273   // Calculate position of a point on a track and some derivatives
1274   //--------------------------------------------------------------------
1275   Double_t phase=h[4]*t+h[2];
1276   Double_t sn=TMath::Sin(phase), cs=TMath::Cos(phase);
1277
1278   r[0] = h[5];
1279   r[1] = h[0];
1280   if (TMath::Abs(h[4])>kAlmost0) {
1281      r[0] += (sn - h[6])/h[4];
1282      r[1] -= (cs - h[7])/h[4];
1283   }
1284   r[2] = h[1] + h[3]*t;
1285
1286   g[0] = cs; g[1]=sn; g[2]=h[3];
1287
1288   gg[0]=-h[4]*sn; gg[1]=h[4]*cs; gg[2]=0.;
1289 }
1290
1291 Double_t AliExternalTrackParam::GetDCA(const AliExternalTrackParam *p,
1292 Double_t b, Double_t &xthis, Double_t &xp) const {
1293   //------------------------------------------------------------
1294   // Returns the (weighed !) distance of closest approach between
1295   // this track and the track "p".
1296   // Other returned values:
1297   //   xthis, xt - coordinates of tracks' reference planes at the DCA
1298   //-----------------------------------------------------------
1299   Double_t dy2=GetSigmaY2() + p->GetSigmaY2();
1300   Double_t dz2=GetSigmaZ2() + p->GetSigmaZ2();
1301   Double_t dx2=dy2;
1302
1303   Double_t p1[8]; GetHelixParameters(p1,b);
1304   p1[6]=TMath::Sin(p1[2]); p1[7]=TMath::Cos(p1[2]);
1305   Double_t p2[8]; p->GetHelixParameters(p2,b);
1306   p2[6]=TMath::Sin(p2[2]); p2[7]=TMath::Cos(p2[2]);
1307
1308
1309   Double_t r1[3],g1[3],gg1[3]; Double_t t1=0.;
1310   Evaluate(p1,t1,r1,g1,gg1);
1311   Double_t r2[3],g2[3],gg2[3]; Double_t t2=0.;
1312   Evaluate(p2,t2,r2,g2,gg2);
1313
1314   Double_t dx=r2[0]-r1[0], dy=r2[1]-r1[1], dz=r2[2]-r1[2];
1315   Double_t dm=dx*dx/dx2 + dy*dy/dy2 + dz*dz/dz2;
1316
1317   Int_t max=27;
1318   while (max--) {
1319      Double_t gt1=-(dx*g1[0]/dx2 + dy*g1[1]/dy2 + dz*g1[2]/dz2);
1320      Double_t gt2=+(dx*g2[0]/dx2 + dy*g2[1]/dy2 + dz*g2[2]/dz2);
1321      Double_t h11=(g1[0]*g1[0] - dx*gg1[0])/dx2 +
1322                   (g1[1]*g1[1] - dy*gg1[1])/dy2 +
1323                   (g1[2]*g1[2] - dz*gg1[2])/dz2;
1324      Double_t h22=(g2[0]*g2[0] + dx*gg2[0])/dx2 +
1325                   (g2[1]*g2[1] + dy*gg2[1])/dy2 +
1326                   (g2[2]*g2[2] + dz*gg2[2])/dz2;
1327      Double_t h12=-(g1[0]*g2[0]/dx2 + g1[1]*g2[1]/dy2 + g1[2]*g2[2]/dz2);
1328
1329      Double_t det=h11*h22-h12*h12;
1330
1331      Double_t dt1,dt2;
1332      if (TMath::Abs(det)<1.e-33) {
1333         //(quasi)singular Hessian
1334         dt1=-gt1; dt2=-gt2;
1335      } else {
1336         dt1=-(gt1*h22 - gt2*h12)/det;
1337         dt2=-(h11*gt2 - h12*gt1)/det;
1338      }
1339
1340      if ((dt1*gt1+dt2*gt2)>0) {dt1=-dt1; dt2=-dt2;}
1341
1342      //check delta(phase1) ?
1343      //check delta(phase2) ?
1344
1345      if (TMath::Abs(dt1)/(TMath::Abs(t1)+1.e-3) < 1.e-4)
1346      if (TMath::Abs(dt2)/(TMath::Abs(t2)+1.e-3) < 1.e-4) {
1347         if ((gt1*gt1+gt2*gt2) > 1.e-4/dy2/dy2)
1348           AliDebug(1," stopped at not a stationary point !");
1349         Double_t lmb=h11+h22; lmb=lmb-TMath::Sqrt(lmb*lmb-4*det);
1350         if (lmb < 0.)
1351           AliDebug(1," stopped at not a minimum !");
1352         break;
1353      }
1354
1355      Double_t dd=dm;
1356      for (Int_t div=1 ; ; div*=2) {
1357         Evaluate(p1,t1+dt1,r1,g1,gg1);
1358         Evaluate(p2,t2+dt2,r2,g2,gg2);
1359         dx=r2[0]-r1[0]; dy=r2[1]-r1[1]; dz=r2[2]-r1[2];
1360         dd=dx*dx/dx2 + dy*dy/dy2 + dz*dz/dz2;
1361         if (dd<dm) break;
1362         dt1*=0.5; dt2*=0.5;
1363         if (div>512) {
1364           AliDebug(1," overshoot !"); break;
1365         }
1366      }
1367      dm=dd;
1368
1369      t1+=dt1;
1370      t2+=dt2;
1371
1372   }
1373
1374   if (max<=0) AliDebug(1," too many iterations !");
1375
1376   Double_t cs=TMath::Cos(GetAlpha());
1377   Double_t sn=TMath::Sin(GetAlpha());
1378   xthis=r1[0]*cs + r1[1]*sn;
1379
1380   cs=TMath::Cos(p->GetAlpha());
1381   sn=TMath::Sin(p->GetAlpha());
1382   xp=r2[0]*cs + r2[1]*sn;
1383
1384   return TMath::Sqrt(dm*TMath::Sqrt(dy2*dz2));
1385 }
1386
1387 Double_t AliExternalTrackParam::
1388 PropagateToDCA(AliExternalTrackParam *p, Double_t b) {
1389   //--------------------------------------------------------------
1390   // Propagates this track and the argument track to the position of the
1391   // distance of closest approach.
1392   // Returns the (weighed !) distance of closest approach.
1393   //--------------------------------------------------------------
1394   Double_t xthis,xp;
1395   Double_t dca=GetDCA(p,b,xthis,xp);
1396
1397   if (!PropagateTo(xthis,b)) {
1398     //AliWarning(" propagation failed !");
1399     return 1e+33;
1400   }
1401
1402   if (!p->PropagateTo(xp,b)) {
1403     //AliWarning(" propagation failed !";
1404     return 1e+33;
1405   }
1406
1407   return dca;
1408 }
1409
1410
1411 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateToDCA(const AliVVertex *vtx,
1412 Double_t b, Double_t maxd, Double_t dz[2], Double_t covar[3]) {
1413   //
1414   // Propagate this track to the DCA to vertex "vtx",
1415   // if the (rough) transverse impact parameter is not bigger then "maxd".
1416   //            Magnetic field is "b" (kG).
1417   //
1418   // a) The track gets extapolated to the DCA to the vertex.
1419   // b) The impact parameters and their covariance matrix are calculated.
1420   //
1421   //    In the case of success, the returned value is kTRUE
1422   //    (otherwise, it's kFALSE)
1423   //
1424   Double_t alpha=GetAlpha();
1425   Double_t sn=TMath::Sin(alpha), cs=TMath::Cos(alpha);
1426   Double_t x=GetX(), y=GetParameter()[0], snp=GetParameter()[2];
1427   Double_t xv= vtx->GetX()*cs + vtx->GetY()*sn;
1428   Double_t yv=-vtx->GetX()*sn + vtx->GetY()*cs, zv=vtx->GetZ();
1429   x-=xv; y-=yv;
1430
1431   //Estimate the impact parameter neglecting the track curvature
1432   Double_t d=TMath::Abs(x*snp - y*TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1433   if (d > maxd) return kFALSE;
1434
1435   //Propagate to the DCA
1436   Double_t crv=GetC(b);
1437   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
1438
1439   Double_t tgfv=-(crv*x - snp)/(crv*y + TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1440   sn=tgfv/TMath::Sqrt(1.+ tgfv*tgfv); cs=TMath::Sqrt((1.-sn)*(1.+sn));
1441   if (TMath::Abs(tgfv)>0.) cs = sn/tgfv;
1442   else cs=1.;
1443
1444   x = xv*cs + yv*sn;
1445   yv=-xv*sn + yv*cs; xv=x;
1446
1447   if (!Propagate(alpha+TMath::ASin(sn),xv,b)) return kFALSE;
1448
1449   if (dz==0) return kTRUE;
1450   dz[0] = GetParameter()[0] - yv;
1451   dz[1] = GetParameter()[1] - zv;
1452
1453   if (covar==0) return kTRUE;
1454   Double_t cov[6]; vtx->GetCovarianceMatrix(cov);
1455
1456   //***** Improvements by A.Dainese
1457   alpha=GetAlpha(); sn=TMath::Sin(alpha); cs=TMath::Cos(alpha);
1458   Double_t s2ylocvtx = cov[0]*sn*sn + cov[2]*cs*cs - 2.*cov[1]*cs*sn;
1459   covar[0] = GetCovariance()[0] + s2ylocvtx;   // neglecting correlations
1460   covar[1] = GetCovariance()[1];               // between (x,y) and z
1461   covar[2] = GetCovariance()[2] + cov[5];      // in vertex's covariance matrix
1462   //*****
1463
1464   return kTRUE;
1465 }
1466
1467 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateToDCABxByBz(const AliVVertex *vtx,
1468 Double_t b[3], Double_t maxd, Double_t dz[2], Double_t covar[3]) {
1469   //
1470   // Propagate this track to the DCA to vertex "vtx",
1471   // if the (rough) transverse impact parameter is not bigger then "maxd".
1472   //
1473   // This function takes into account all three components of the magnetic
1474   // field given by the b[3] arument (kG)
1475   //
1476   // a) The track gets extapolated to the DCA to the vertex.
1477   // b) The impact parameters and their covariance matrix are calculated.
1478   //
1479   //    In the case of success, the returned value is kTRUE
1480   //    (otherwise, it's kFALSE)
1481   //
1482   Double_t alpha=GetAlpha();
1483   Double_t sn=TMath::Sin(alpha), cs=TMath::Cos(alpha);
1484   Double_t x=GetX(), y=GetParameter()[0], snp=GetParameter()[2];
1485   Double_t xv= vtx->GetX()*cs + vtx->GetY()*sn;
1486   Double_t yv=-vtx->GetX()*sn + vtx->GetY()*cs, zv=vtx->GetZ();
1487   x-=xv; y-=yv;
1488
1489   //Estimate the impact parameter neglecting the track curvature
1490   Double_t d=TMath::Abs(x*snp - y*TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1491   if (d > maxd) return kFALSE;
1492
1493   //Propagate to the DCA
1494   Double_t crv=GetC(b[2]);
1495   if (TMath::Abs(b[2]) < kAlmost0Field) crv=0.;
1496
1497   Double_t tgfv=-(crv*x - snp)/(crv*y + TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp)));
1498   sn=tgfv/TMath::Sqrt(1.+ tgfv*tgfv); cs=TMath::Sqrt((1.-sn)*(1.+sn));
1499   if (TMath::Abs(tgfv)>0.) cs = sn/tgfv;
1500   else cs=1.;
1501
1502   x = xv*cs + yv*sn;
1503   yv=-xv*sn + yv*cs; xv=x;
1504
1505   if (!PropagateBxByBz(alpha+TMath::ASin(sn),xv,b)) return kFALSE;
1506
1507   if (dz==0) return kTRUE;
1508   dz[0] = GetParameter()[0] - yv;
1509   dz[1] = GetParameter()[1] - zv;
1510
1511   if (covar==0) return kTRUE;
1512   Double_t cov[6]; vtx->GetCovarianceMatrix(cov);
1513
1514   //***** Improvements by A.Dainese
1515   alpha=GetAlpha(); sn=TMath::Sin(alpha); cs=TMath::Cos(alpha);
1516   Double_t s2ylocvtx = cov[0]*sn*sn + cov[2]*cs*cs - 2.*cov[1]*cs*sn;
1517   covar[0] = GetCovariance()[0] + s2ylocvtx;   // neglecting correlations
1518   covar[1] = GetCovariance()[1];               // between (x,y) and z
1519   covar[2] = GetCovariance()[2] + cov[5];      // in vertex's covariance matrix
1520   //*****
1521
1522   return kTRUE;
1523 }
1524
1525 void AliExternalTrackParam::GetDirection(Double_t d[3]) const {
1526   //----------------------------------------------------------------
1527   // This function returns a unit vector along the track direction
1528   // in the global coordinate system.
1529   //----------------------------------------------------------------
1530   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
1531   Double_t snp=fP[2];
1532   Double_t csp =TMath::Sqrt((1.-snp)*(1.+snp));
1533   Double_t norm=TMath::Sqrt(1.+ fP[3]*fP[3]);
1534   d[0]=(csp*cs - snp*sn)/norm;
1535   d[1]=(snp*cs + csp*sn)/norm;
1536   d[2]=fP[3]/norm;
1537 }
1538
1539 Bool_t AliExternalTrackParam::GetPxPyPz(Double_t p[3]) const {
1540   //---------------------------------------------------------------------
1541   // This function returns the global track momentum components
1542   // Results for (nearly) straight tracks are meaningless !
1543   //---------------------------------------------------------------------
1544   p[0]=fP[4]; p[1]=fP[2]; p[2]=fP[3];
1545   return Local2GlobalMomentum(p,fAlpha);
1546 }
1547
1548 Double_t AliExternalTrackParam::Px() const {
1549   //---------------------------------------------------------------------
1550   // Returns x-component of momentum
1551   // Result for (nearly) straight tracks is meaningless !
1552   //---------------------------------------------------------------------
1553
1554   Double_t p[3]={kVeryBig,kVeryBig,kVeryBig};
1555   GetPxPyPz(p);
1556
1557   return p[0];
1558 }
1559
1560 Double_t AliExternalTrackParam::Py() const {
1561   //---------------------------------------------------------------------
1562   // Returns y-component of momentum
1563   // Result for (nearly) straight tracks is meaningless !
1564   //---------------------------------------------------------------------
1565
1566   Double_t p[3]={kVeryBig,kVeryBig,kVeryBig};
1567   GetPxPyPz(p);
1568
1569   return p[1];
1570 }
1571
1572 Double_t AliExternalTrackParam::Xv() const {
1573   //---------------------------------------------------------------------
1574   // Returns x-component of first track point
1575   //---------------------------------------------------------------------
1576
1577   Double_t r[3]={0.,0.,0.};
1578   GetXYZ(r);
1579
1580   return r[0];
1581 }
1582
1583 Double_t AliExternalTrackParam::Yv() const {
1584   //---------------------------------------------------------------------
1585   // Returns y-component of first track point
1586   //---------------------------------------------------------------------
1587
1588   Double_t r[3]={0.,0.,0.};
1589   GetXYZ(r);
1590
1591   return r[1];
1592 }
1593
1594 Double_t AliExternalTrackParam::Theta() const {
1595   // return theta angle of momentum
1596
1597   return 0.5*TMath::Pi() - TMath::ATan(fP[3]);
1598 }
1599
1600 Double_t AliExternalTrackParam::Phi() const {
1601   //---------------------------------------------------------------------
1602   // Returns the azimuthal angle of momentum
1603   // 0 <= phi < 2*pi
1604   //---------------------------------------------------------------------
1605
1606   Double_t phi=TMath::ASin(fP[2]) + fAlpha;
1607   if (phi<0.) phi+=2.*TMath::Pi();
1608   else if (phi>=2.*TMath::Pi()) phi-=2.*TMath::Pi();
1609
1610   return phi;
1611 }
1612
1613 Double_t AliExternalTrackParam::M() const {
1614   // return particle mass
1615
1616   // No mass information available so far.
1617   // Redifine in derived class!
1618
1619   return -999.;
1620 }
1621
1622 Double_t AliExternalTrackParam::E() const {
1623   // return particle energy
1624
1625   // No PID information available so far.
1626   // Redifine in derived class!
1627
1628   return -999.;
1629 }
1630
1631 Double_t AliExternalTrackParam::Eta() const {
1632   // return pseudorapidity
1633
1634   return -TMath::Log(TMath::Tan(0.5 * Theta()));
1635 }
1636
1637 Double_t AliExternalTrackParam::Y() const {
1638   // return rapidity
1639
1640   // No PID information available so far.
1641   // Redifine in derived class!
1642
1643   return -999.;
1644 }
1645
1646 Bool_t AliExternalTrackParam::GetXYZ(Double_t *r) const {
1647   //---------------------------------------------------------------------
1648   // This function returns the global track position
1649   //---------------------------------------------------------------------
1650   r[0]=fX; r[1]=fP[0]; r[2]=fP[1];
1651   return Local2GlobalPosition(r,fAlpha);
1652 }
1653
1654 Bool_t AliExternalTrackParam::GetCovarianceXYZPxPyPz(Double_t cv[21]) const {
1655   //---------------------------------------------------------------------
1656   // This function returns the global covariance matrix of the track params
1657   //
1658   // Cov(x,x) ... :   cv[0]
1659   // Cov(y,x) ... :   cv[1]  cv[2]
1660   // Cov(z,x) ... :   cv[3]  cv[4]  cv[5]
1661   // Cov(px,x)... :   cv[6]  cv[7]  cv[8]  cv[9]
1662   // Cov(py,x)... :   cv[10] cv[11] cv[12] cv[13] cv[14]
1663   // Cov(pz,x)... :   cv[15] cv[16] cv[17] cv[18] cv[19] cv[20]
1664   //
1665   // Results for (nearly) straight tracks are meaningless !
1666   //---------------------------------------------------------------------
1667   if (TMath::Abs(fP[4])<=kAlmost0) {
1668      for (Int_t i=0; i<21; i++) cv[i]=0.;
1669      return kFALSE;
1670   }
1671   if (TMath::Abs(fP[2]) > kAlmost1) {
1672      for (Int_t i=0; i<21; i++) cv[i]=0.;
1673      return kFALSE;
1674   }
1675   Double_t pt=1./TMath::Abs(fP[4]);
1676   Double_t cs=TMath::Cos(fAlpha), sn=TMath::Sin(fAlpha);
1677   Double_t r=TMath::Sqrt((1.-fP[2])*(1.+fP[2]));
1678
1679   Double_t m00=-sn, m10=cs;
1680   Double_t m23=-pt*(sn + fP[2]*cs/r), m43=-pt*pt*(r*cs - fP[2]*sn);
1681   Double_t m24= pt*(cs - fP[2]*sn/r), m44=-pt*pt*(r*sn + fP[2]*cs);
1682   Double_t m35=pt, m45=-pt*pt*fP[3];
1683
1684   m43*=GetSign();
1685   m44*=GetSign();
1686   m45*=GetSign();
1687
1688   cv[0 ] = fC[0]*m00*m00;
1689   cv[1 ] = fC[0]*m00*m10;
1690   cv[2 ] = fC[0]*m10*m10;
1691   cv[3 ] = fC[1]*m00;
1692   cv[4 ] = fC[1]*m10;
1693   cv[5 ] = fC[2];
1694   cv[6 ] = m00*(fC[3]*m23 + fC[10]*m43);
1695   cv[7 ] = m10*(fC[3]*m23 + fC[10]*m43);
1696   cv[8 ] = fC[4]*m23 + fC[11]*m43;
1697   cv[9 ] = m23*(fC[5]*m23 + fC[12]*m43)  +  m43*(fC[12]*m23 + fC[14]*m43);
1698   cv[10] = m00*(fC[3]*m24 + fC[10]*m44);
1699   cv[11] = m10*(fC[3]*m24 + fC[10]*m44);
1700   cv[12] = fC[4]*m24 + fC[11]*m44;
1701   cv[13] = m23*(fC[5]*m24 + fC[12]*m44)  +  m43*(fC[12]*m24 + fC[14]*m44);
1702   cv[14] = m24*(fC[5]*m24 + fC[12]*m44)  +  m44*(fC[12]*m24 + fC[14]*m44);
1703   cv[15] = m00*(fC[6]*m35 + fC[10]*m45);
1704   cv[16] = m10*(fC[6]*m35 + fC[10]*m45);
1705   cv[17] = fC[7]*m35 + fC[11]*m45;
1706   cv[18] = m23*(fC[8]*m35 + fC[12]*m45)  +  m43*(fC[13]*m35 + fC[14]*m45);
1707   cv[19] = m24*(fC[8]*m35 + fC[12]*m45)  +  m44*(fC[13]*m35 + fC[14]*m45);
1708   cv[20] = m35*(fC[9]*m35 + fC[13]*m45)  +  m45*(fC[13]*m35 + fC[14]*m45);
1709
1710   return kTRUE;
1711 }
1712
1713
1714 Bool_t
1715 AliExternalTrackParam::GetPxPyPzAt(Double_t x, Double_t b, Double_t *p) const {
1716   //---------------------------------------------------------------------
1717   // This function returns the global track momentum extrapolated to
1718   // the radial position "x" (cm) in the magnetic field "b" (kG)
1719   //---------------------------------------------------------------------
1720   p[0]=fP[4];
1721   p[1]=fP[2]+(x-fX)*GetC(b);
1722   p[2]=fP[3];
1723   return Local2GlobalMomentum(p,fAlpha);
1724 }
1725
1726 Bool_t
1727 AliExternalTrackParam::GetYAt(Double_t x, Double_t b, Double_t &y) const {
1728   //---------------------------------------------------------------------
1729   // This function returns the local Y-coordinate of the intersection
1730   // point between this track and the reference plane "x" (cm).
1731   // Magnetic field "b" (kG)
1732   //---------------------------------------------------------------------
1733   Double_t dx=x-fX;
1734   if(TMath::Abs(dx)<=kAlmost0) {y=fP[0]; return kTRUE;}
1735
1736   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + dx*GetC(b);
1737
1738   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1739   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1740
1741   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1742   y = fP[0] + dx*(f1+f2)/(r1+r2);
1743   return kTRUE;
1744 }
1745
1746 Bool_t
1747 AliExternalTrackParam::GetZAt(Double_t x, Double_t b, Double_t &z) const {
1748   //---------------------------------------------------------------------
1749   // This function returns the local Z-coordinate of the intersection
1750   // point between this track and the reference plane "x" (cm).
1751   // Magnetic field "b" (kG)
1752   //---------------------------------------------------------------------
1753   Double_t dx=x-fX;
1754   if(TMath::Abs(dx)<=kAlmost0) {z=fP[1]; return kTRUE;}
1755
1756   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + dx*GetC(b);
1757
1758   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1759   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1760
1761   Double_t r1=sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1762   z = fP[1] + dx*(r2 + f2*(f1+f2)/(r1+r2))*fP[3]; // Many thanks to P.Hristov !
1763   return kTRUE;
1764 }
1765
1766 Bool_t
1767 AliExternalTrackParam::GetXYZAt(Double_t x, Double_t b, Double_t *r) const {
1768   //---------------------------------------------------------------------
1769   // This function returns the global track position extrapolated to
1770   // the radial position "x" (cm) in the magnetic field "b" (kG)
1771   //---------------------------------------------------------------------
1772   Double_t dx=x-fX;
1773   if(TMath::Abs(dx)<=kAlmost0) return GetXYZ(r);
1774
1775   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + dx*GetC(b);
1776
1777   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1778   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1779
1780   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1781   r[0] = x;
1782   r[1] = fP[0] + dx*(f1+f2)/(r1+r2);
1783   r[2] = fP[1] + dx*(r2 + f2*(f1+f2)/(r1+r2))*fP[3];//Thanks to Andrea & Peter
1784
1785   return Local2GlobalPosition(r,fAlpha);
1786 }
1787
1788 //_____________________________________________________________________________
1789 void AliExternalTrackParam::Print(Option_t* /*option*/) const
1790 {
1791 // print the parameters and the covariance matrix
1792
1793   printf("AliExternalTrackParam: x = %-12g  alpha = %-12g\n", fX, fAlpha);
1794   printf("  parameters: %12g %12g %12g %12g %12g\n",
1795          fP[0], fP[1], fP[2], fP[3], fP[4]);
1796   printf("  covariance: %12g\n", fC[0]);
1797   printf("              %12g %12g\n", fC[1], fC[2]);
1798   printf("              %12g %12g %12g\n", fC[3], fC[4], fC[5]);
1799   printf("              %12g %12g %12g %12g\n",
1800          fC[6], fC[7], fC[8], fC[9]);
1801   printf("              %12g %12g %12g %12g %12g\n",
1802          fC[10], fC[11], fC[12], fC[13], fC[14]);
1803 }
1804
1805 Double_t AliExternalTrackParam::GetSnpAt(Double_t x,Double_t b) const {
1806   //
1807   // Get sinus at given x
1808   //
1809   Double_t crv=GetC(b);
1810   if (TMath::Abs(b) < kAlmost0Field) crv=0.;
1811   Double_t dx = x-fX;
1812   Double_t res = fP[2]+dx*crv;
1813   return res;
1814 }
1815
1816 Bool_t AliExternalTrackParam::GetDistance(AliExternalTrackParam *param2, Double_t x, Double_t dist[3], Double_t bz){
1817   //------------------------------------------------------------------------
1818   // Get the distance between two tracks at the local position x
1819   // working in the local frame of this track.
1820   // Origin :   Marian.Ivanov@cern.ch
1821   //-----------------------------------------------------------------------
1822   Double_t xyz[3];
1823   Double_t xyz2[3];
1824   xyz[0]=x;
1825   if (!GetYAt(x,bz,xyz[1])) return kFALSE;
1826   if (!GetZAt(x,bz,xyz[2])) return kFALSE;
1827   //
1828   //
1829   if (TMath::Abs(GetAlpha()-param2->GetAlpha())<kAlmost0){
1830     xyz2[0]=x;
1831     if (!param2->GetYAt(x,bz,xyz2[1])) return kFALSE;
1832     if (!param2->GetZAt(x,bz,xyz2[2])) return kFALSE;
1833   }else{
1834     //
1835     Double_t xyz1[3];
1836     Double_t dfi = param2->GetAlpha()-GetAlpha();
1837     Double_t ca = TMath::Cos(dfi), sa = TMath::Sin(dfi);
1838     xyz2[0] =  xyz[0]*ca+xyz[1]*sa;
1839     xyz2[1] = -xyz[0]*sa+xyz[1]*ca;
1840     //
1841     xyz1[0]=xyz2[0];
1842     if (!param2->GetYAt(xyz2[0],bz,xyz1[1])) return kFALSE;
1843     if (!param2->GetZAt(xyz2[0],bz,xyz1[2])) return kFALSE;
1844     //
1845     xyz2[0] =  xyz1[0]*ca-xyz1[1]*sa;
1846     xyz2[1] = +xyz1[0]*sa+xyz1[1]*ca;
1847     xyz2[2] = xyz1[2];
1848   }
1849   dist[0] = xyz[0]-xyz2[0];
1850   dist[1] = xyz[1]-xyz2[1];
1851   dist[2] = xyz[2]-xyz2[2];
1852
1853   return kTRUE;
1854 }
1855
1856
1857 //
1858 // Draw functionality.
1859 // Origin: Marian Ivanov, Marian.Ivanov@cern.ch
1860 //
1861
1862 void  AliExternalTrackParam::DrawTrack(Float_t magf, Float_t minR, Float_t maxR, Float_t stepR){
1863   //
1864   // Draw track line
1865   //
1866   if (minR>maxR) return ;
1867   if (stepR<=0) return ;
1868   Int_t npoints = TMath::Nint((maxR-minR)/stepR)+1;
1869   if (npoints<1) return;
1870   TPolyMarker3D *polymarker = new TPolyMarker3D(npoints);
1871   FillPolymarker(polymarker, magf,minR,maxR,stepR);
1872   polymarker->Draw();
1873 }
1874
1875 //
1876 void AliExternalTrackParam::FillPolymarker(TPolyMarker3D *pol, Float_t magF, Float_t minR, Float_t maxR, Float_t stepR){
1877   //
1878   // Fill points in the polymarker
1879   //
1880   Int_t counter=0;
1881   for (Double_t r=minR; r<maxR; r+=stepR){
1882     Double_t point[3];
1883     GetXYZAt(r,magF,point);
1884     pol->SetPoint(counter,point[0],point[1], point[2]);
1885     //    printf("xyz\t%f\t%f\t%f\n",point[0], point[1],point[2]);
1886     counter++;
1887   }
1888 }
1889
1890 Int_t AliExternalTrackParam::GetIndex(Int_t i, Int_t j) const {
1891   //
1892   Int_t min = TMath::Min(i,j);
1893   Int_t max = TMath::Max(i,j);
1894
1895   return min+(max+1)*max/2;
1896 }
1897
1898
1899 void AliExternalTrackParam::g3helx3(Double_t qfield,
1900                                     Double_t step,
1901                                     Double_t vect[7]) {
1902 /******************************************************************
1903  *                                                                *
1904  *       GEANT3 tracking routine in a constant field oriented     *
1905  *       along axis 3                                             *
1906  *       Tracking is performed with a conventional                *
1907  *       helix step method                                        *
1908  *                                                                *
1909  *       Authors    R.Brun, M.Hansroul  *********                 *
1910  *       Rewritten  V.Perevoztchikov                              *
1911  *                                                                *
1912  *       Rewritten in C++ by I.Belikov                            *
1913  *                                                                *
1914  *  qfield (kG)       - particle charge times magnetic field      *
1915  *  step   (cm)       - step length along the helix               *
1916  *  vect[7](cm,GeV/c) - input/output x, y, z, px/p, py/p ,pz/p, p *
1917  *                                                                *
1918  ******************************************************************/
1919   const Int_t ix=0, iy=1, iz=2, ipx=3, ipy=4, ipz=5, ipp=6;
1920   const Double_t kOvSqSix=TMath::Sqrt(1./6.);
1921
1922   Double_t cosx=vect[ipx], cosy=vect[ipy], cosz=vect[ipz];
1923
1924   Double_t rho = qfield*kB2C/vect[ipp];
1925   Double_t tet = rho*step;
1926
1927   Double_t tsint, sintt, sint, cos1t;
1928   if (TMath::Abs(tet) > 0.03) {
1929      sint  = TMath::Sin(tet);
1930      sintt = sint/tet;
1931      tsint = (tet - sint)/tet;
1932      Double_t t=TMath::Sin(0.5*tet);
1933      cos1t = 2*t*t/tet;
1934   } else {
1935      tsint = tet*tet/6.;
1936      sintt = (1.-tet*kOvSqSix)*(1.+tet*kOvSqSix); // 1.- tsint;
1937      sint  = tet*sintt;
1938      cos1t = 0.5*tet;
1939   }
1940
1941   Double_t f1 = step*sintt;
1942   Double_t f2 = step*cos1t;
1943   Double_t f3 = step*tsint*cosz;
1944   Double_t f4 = -tet*cos1t;
1945   Double_t f5 = sint;
1946
1947   vect[ix]  += f1*cosx - f2*cosy;
1948   vect[iy]  += f1*cosy + f2*cosx;
1949   vect[iz]  += f1*cosz + f3;
1950
1951   vect[ipx] += f4*cosx - f5*cosy;
1952   vect[ipy] += f4*cosy + f5*cosx;
1953
1954 }
1955
1956 Bool_t AliExternalTrackParam::PropagateToBxByBz(Double_t xk, const Double_t b[3]) {
1957   //----------------------------------------------------------------
1958   // Extrapolate this track to the plane X=xk in the field b[].
1959   //
1960   // X [cm] is in the "tracking coordinate system" of this track.
1961   // b[]={Bx,By,Bz} [kG] is in the Global coordidate system.
1962   //----------------------------------------------------------------
1963
1964   Double_t dx=xk-fX;
1965   if (TMath::Abs(dx)<=kAlmost0)  return kTRUE;
1966   if (TMath::Abs(fP[4])<=kAlmost0) return kFALSE;
1967   // Do not propagate tracks outside the ALICE detector
1968   if (TMath::Abs(dx)>1e5 ||
1969       TMath::Abs(GetY())>1e5 ||
1970       TMath::Abs(GetZ())>1e5) {
1971     AliWarning(Form("Anomalous track, target X:%f",xk));
1972     Print();
1973     return kFALSE;
1974   }
1975
1976   Double_t crv=GetC(b[2]);
1977   if (TMath::Abs(b[2]) < kAlmost0Field) crv=0.;
1978
1979   Double_t x2r = crv*dx;
1980   Double_t f1=fP[2], f2=f1 + x2r;
1981   if (TMath::Abs(f1) >= kAlmost1) return kFALSE;
1982   if (TMath::Abs(f2) >= kAlmost1) return kFALSE;
1983
1984
1985   // Estimate the covariance matrix
1986   Double_t &fP3=fP[3], &fP4=fP[4];
1987   Double_t
1988   &fC00=fC[0],
1989   &fC10=fC[1],   &fC11=fC[2],
1990   &fC20=fC[3],   &fC21=fC[4],   &fC22=fC[5],
1991   &fC30=fC[6],   &fC31=fC[7],   &fC32=fC[8],   &fC33=fC[9],
1992   &fC40=fC[10],  &fC41=fC[11],  &fC42=fC[12],  &fC43=fC[13], &fC44=fC[14];
1993
1994   Double_t r1=TMath::Sqrt((1.-f1)*(1.+f1)), r2=TMath::Sqrt((1.-f2)*(1.+f2));
1995
1996   //f = F - 1
1997   Double_t f02=    dx/(r1*r1*r1);            Double_t cc=crv/fP4;
1998   Double_t f04=0.5*dx*dx/(r1*r1*r1);         f04*=cc;
1999   Double_t f12=    dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);
2000   Double_t f14=0.5*dx*dx*fP3*f1/(r1*r1*r1);  f14*=cc;
2001   Double_t f13=    dx/r1;
2002   Double_t f24=    dx;                       f24*=cc;
2003
2004   //b = C*ft
2005   Double_t b00=f02*fC20 + f04*fC40, b01=f12*fC20 + f14*fC40 + f13*fC30;
2006   Double_t b02=f24*fC40;
2007   Double_t b10=f02*fC21 + f04*fC41, b11=f12*fC21 + f14*fC41 + f13*fC31;
2008   Double_t b12=f24*fC41;
2009   Double_t b20=f02*fC22 + f04*fC42, b21=f12*fC22 + f14*fC42 + f13*fC32;
2010   Double_t b22=f24*fC42;
2011   Double_t b40=f02*fC42 + f04*fC44, b41=f12*fC42 + f14*fC44 + f13*fC43;
2012   Double_t b42=f24*fC44;
2013   Double_t b30=f02*fC32 + f04*fC43, b31=f12*fC32 + f14*fC43 + f13*fC33;
2014   Double_t b32=f24*fC43;
2015
2016   //a = f*b = f*C*ft
2017   Double_t a00=f02*b20+f04*b40,a01=f02*b21+f04*b41,a02=f02*b22+f04*b42;
2018   Double_t a11=f12*b21+f14*b41+f13*b31,a12=f12*b22+f14*b42+f13*b32;
2019   Double_t a22=f24*b42;
2020
2021   //F*C*Ft = C + (b + bt + a)
2022   fC00 += b00 + b00 + a00;
2023   fC10 += b10 + b01 + a01;
2024   fC20 += b20 + b02 + a02;
2025   fC30 += b30;
2026   fC40 += b40;
2027   fC11 += b11 + b11 + a11;
2028   fC21 += b21 + b12 + a12;
2029   fC31 += b31;
2030   fC41 += b41;
2031   fC22 += b22 + b22 + a22;
2032   fC32 += b32;
2033   fC42 += b42;
2034
2035   CheckCovariance();
2036
2037   // Appoximate step length
2038   double dy2dx = (f1+f2)/(r1+r2);
2039   Double_t step = (TMath::Abs(x2r)<0.05) ? dx*TMath::Abs(r2 + f2*dy2dx)  // chord
2040     : 2.*TMath::ASin(0.5*dx*TMath::Sqrt(1.+dy2dx*dy2dx)*crv)/crv;        // arc
2041   step *= TMath::Sqrt(1.+ GetTgl()*GetTgl());
2042
2043   // Get the track's (x,y,z) and (px,py,pz) in the Global System
2044   Double_t r[3]; GetXYZ(r);
2045   Double_t p[3]; GetPxPyPz(p);
2046   Double_t pp=GetP();
2047   p[0] /= pp;
2048   p[1] /= pp;
2049   p[2] /= pp;
2050
2051
2052   // Rotate to the system where Bx=By=0.
2053   Double_t bt=TMath::Sqrt(b[0]*b[0] + b[1]*b[1]);
2054   Double_t cosphi=1., sinphi=0.;
2055   if (bt > kAlmost0) {cosphi=b[0]/bt; sinphi=b[1]/bt;}
2056   Double_t bb=TMath::Sqrt(b[0]*b[0] + b[1]*b[1] + b[2]*b[2]);
2057   Double_t costet=1., sintet=0.;
2058   if (bb > kAlmost0) {costet=b[2]/bb; sintet=bt/bb;}
2059   Double_t vect[7];
2060
2061   vect[0] = costet*cosphi*r[0] + costet*sinphi*r[1] - sintet*r[2];
2062   vect[1] = -sinphi*r[0] + cosphi*r[1];
2063   vect[2] = sintet*cosphi*r[0] + sintet*sinphi*r[1] + costet*r[2];
2064
2065   vect[3] = costet*cosphi*p[0] + costet*sinphi*p[1] - sintet*p[2];
2066   vect[4] = -sinphi*p[0] + cosphi*p[1];
2067   vect[5] = sintet*cosphi*p[0] + sintet*sinphi*p[1] + costet*p[2];
2068
2069   vect[6] = pp;
2070
2071
2072   // Do the helix step
2073   g3helx3(GetSign()*bb,step,vect);
2074
2075
2076   // Rotate back to the Global System
2077   r[0] = cosphi*costet*vect[0] - sinphi*vect[1] + cosphi*sintet*vect[2];
2078   r[1] = sinphi*costet*vect[0] + cosphi*vect[1] + sinphi*sintet*vect[2];
2079   r[2] = -sintet*vect[0] + costet*vect[2];
2080
2081   p[0] = cosphi*costet*vect[3] - sinphi*vect[4] + cosphi*sintet*vect[5];
2082   p[1] = sinphi*costet*vect[3] + cosphi*vect[4] + sinphi*sintet*vect[5];
2083   p[2] = -sintet*vect[3] + costet*vect[5];
2084
2085
2086   // Rotate back to the Tracking System
2087   Double_t cosalp = TMath::Cos(fAlpha);
2088   Double_t sinalp =-TMath::Sin(fAlpha);
2089
2090   Double_t
2091   t    = cosalp*r[0] - sinalp*r[1];
2092   r[1] = sinalp*r[0] + cosalp*r[1];
2093   r[0] = t;
2094
2095   t    = cosalp*p[0] - sinalp*p[1];
2096   p[1] = sinalp*p[0] + cosalp*p[1];
2097   p[0] = t;
2098
2099
2100   // Do the final correcting step to the target plane (linear approximation)
2101   Double_t x=r[0], y=r[1], z=r[2];
2102   if (TMath::Abs(dx) > kAlmost0) {
2103      if (TMath::Abs(p[0]) < kAlmost0) return kFALSE;
2104      dx = xk - r[0];
2105      x += dx;
2106      y += p[1]/p[0]*dx;
2107      z += p[2]/p[0]*dx;
2108   }
2109
2110
2111   // Calculate the track parameters
2112   t=TMath::Sqrt(p[0]*p[0] + p[1]*p[1]);
2113   fX    = x;
2114   fP[0] = y;
2115   fP[1] = z;
2116   fP[2] = p[1]/t;
2117   fP[3] = p[2]/t;
2118   fP[4] = GetSign()/(t*pp);
2119
2120   return kTRUE;
2121 }
2122
2123 Bool_t AliExternalTrackParam::Translate(Double_t *vTrasl,Double_t *covV){
2124   //
2125   //Translation: in the event mixing, the tracks can be shifted
2126   //of the difference among primary vertices (vTrasl) and
2127   //the covariance matrix is changed accordingly
2128   //(covV = covariance of the primary vertex).
2129   //Origin: "Romita, Rossella" <R.Romita@gsi.de>
2130   //
2131   TVector3 translation;
2132   // vTrasl coordinates in the local system
2133   translation.SetXYZ(vTrasl[0],vTrasl[1],vTrasl[2]);
2134   translation.RotateZ(-fAlpha);
2135   translation.GetXYZ(vTrasl);
2136
2137  //compute the new x,y,z of the track
2138   Double_t newX=fX-vTrasl[0];
2139   Double_t newY=fP[0]-vTrasl[1];
2140   Double_t newZ=fP[1]-vTrasl[2];
2141
2142   //define the new parameters
2143   Double_t newParam[5];
2144   newParam[0]=newY;
2145   newParam[1]=newZ;
2146   newParam[2]=fP[2];
2147   newParam[3]=fP[3];
2148   newParam[4]=fP[4];
2149
2150   // recompute the covariance matrix:
2151   // 1. covV in the local system
2152   Double_t cosRot=TMath::Cos(fAlpha), sinRot=TMath::Sin(fAlpha);
2153   TMatrixD qQi(3,3);
2154   qQi(0,0) = cosRot;
2155   qQi(0,1) = sinRot;
2156   qQi(0,2) = 0.;
2157   qQi(1,0) = -sinRot;
2158   qQi(1,1) = cosRot;
2159   qQi(1,2) = 0.;
2160   qQi(2,0) = 0.;
2161   qQi(2,1) = 0.;
2162   qQi(2,2) = 1.;
2163   TMatrixD uUi(3,3);
2164   uUi(0,0) = covV[0];
2165   uUi(0,0) = covV[0];
2166   uUi(1,0) = covV[1];
2167   uUi(0,1) = covV[1];
2168   uUi(2,0) = covV[3];
2169   uUi(0,2) = covV[3];
2170   uUi(1,1) = covV[2];
2171   uUi(2,2) = covV[5];
2172   uUi(1,2) = covV[4];
2173   if(uUi.Determinant() <= 0.) {return kFALSE;}
2174   TMatrixD uUiQi(uUi,TMatrixD::kMult,qQi);
2175   TMatrixD m(qQi,TMatrixD::kTransposeMult,uUiQi);
2176
2177   //2. compute the new covariance matrix of the track
2178   Double_t sigmaXX=m(0,0);
2179   Double_t sigmaXZ=m(2,0);
2180   Double_t sigmaXY=m(1,0);
2181   Double_t sigmaYY=GetSigmaY2()+m(1,1);
2182   Double_t sigmaYZ=fC[1]+m(1,2);
2183   Double_t sigmaZZ=fC[2]+m(2,2);
2184   Double_t covarianceYY=sigmaYY + (-1.)*((sigmaXY*sigmaXY)/sigmaXX);
2185   Double_t covarianceYZ=sigmaYZ-(sigmaXZ*sigmaXY/sigmaXX);
2186   Double_t covarianceZZ=sigmaZZ-((sigmaXZ*sigmaXZ)/sigmaXX);
2187
2188   Double_t newCov[15];
2189   newCov[0]=covarianceYY;
2190   newCov[1]=covarianceYZ;
2191   newCov[2]=covarianceZZ;
2192   for(Int_t i=3;i<15;i++){
2193     newCov[i]=fC[i];
2194    }
2195
2196   // set the new parameters
2197
2198   Set(newX,fAlpha,newParam,newCov);
2199
2200   return kTRUE;
2201  }
2202
2203 void AliExternalTrackParam::CheckCovariance() {
2204
2205   // This function forces the diagonal elements of the covariance matrix to be positive.
2206   // In case the diagonal element is bigger than the maximal allowed value, it is set to
2207   // the limit and the off-diagonal elements that correspond to it are set to zero.
2208
2209     fC[0] = TMath::Abs(fC[0]);
2210     if (fC[0]>kC0max) {
2211       fC[0] = kC0max;
2212       fC[1] = 0;
2213       fC[3] = 0;
2214       fC[6] = 0;
2215       fC[10] = 0;
2216     }
2217     fC[2] = TMath::Abs(fC[2]);
2218     if (fC[2]>kC2max) {
2219       fC[2] = kC2max;
2220       fC[1] = 0;
2221       fC[4] = 0;
2222       fC[7] = 0;
2223       fC[11] = 0;
2224     }
2225     fC[5] = TMath::Abs(fC[5]);
2226     if (fC[5]>kC5max) {
2227       fC[5] = kC5max;
2228       fC[3] = 0;
2229       fC[4] = 0;
2230       fC[8] = 0;
2231       fC[12] = 0;
2232     }
2233     fC[9] = TMath::Abs(fC[9]);
2234     if (fC[9]>kC9max) {
2235       fC[9] = kC9max;
2236       fC[6] = 0;
2237       fC[7] = 0;
2238       fC[8] = 0;
2239       fC[13] = 0;
2240     }
2241     fC[14] = TMath::Abs(fC[14]);
2242     if (fC[14]>kC14max) {
2243       fC[14] = kC14max;
2244       fC[10] = 0;
2245       fC[11] = 0;
2246       fC[12] = 0;
2247       fC[13] = 0;
2248     }
2249
2250     // The part below is used for tests and normally is commented out
2251 //     TMatrixDSym m(5);
2252 //     TVectorD eig(5);
2253
2254 //     m(0,0)=fC[0];
2255 //     m(1,0)=fC[1];  m(1,1)=fC[2];
2256 //     m(2,0)=fC[3];  m(2,1)=fC[4];  m(2,2)=fC[5];
2257 //     m(3,0)=fC[6];  m(3,1)=fC[7];  m(3,2)=fC[8];  m(3,3)=fC[9];
2258 //     m(4,0)=fC[10]; m(4,1)=fC[11]; m(4,2)=fC[12]; m(4,3)=fC[13]; m(4,4)=fC[14];
2259
2260 //     m(0,1)=m(1,0);
2261 //     m(0,2)=m(2,0); m(1,2)=m(2,1);
2262 //     m(0,3)=m(3,0); m(1,3)=m(3,1); m(2,3)=m(3,2);
2263 //     m(0,4)=m(4,0); m(1,4)=m(4,1); m(2,4)=m(4,2); m(3,4)=m(4,3);
2264 //     m.EigenVectors(eig);
2265
2266 //     //    assert(eig(0)>=0 && eig(1)>=0 && eig(2)>=0 && eig(3)>=0 && eig(4)>=0);
2267 //     if (!(eig(0)>=0 && eig(1)>=0 && eig(2)>=0 && eig(3)>=0 && eig(4)>=0)) {
2268 //       AliWarning("Negative eigenvalues of the covariance matrix!");
2269 //       this->Print();
2270 //       eig.Print();
2271 //     }
2272 }
2273
2274 Bool_t AliExternalTrackParam::ConstrainToVertex(const AliVVertex* vtx, Double_t b[3])
2275 {
2276   // Constrain TPC inner params constrained
2277   //
2278   if (!vtx)
2279     return kFALSE;
2280
2281   Double_t dz[2], cov[3];
2282   if (!PropagateToDCABxByBz(vtx, b, 3, dz, cov))
2283     return kFALSE;
2284
2285   Double_t covar[6];
2286   vtx->GetCovarianceMatrix(covar);
2287
2288   Double_t p[2]= { fP[0] - dz[0], fP[1] - dz[1] };
2289   Double_t c[3]= { covar[2], 0., covar[5] };
2290
2291   Double_t chi2C = GetPredictedChi2(p,c);
2292   if (chi2C>kVeryBig)
2293     return kFALSE;
2294
2295   if (!Update(p,c))
2296     return kFALSE;
2297
2298   return kTRUE;
2299 }